Просмотр содержимого документа
«Ах, эта удивительная поверхность»
«Ах, эта удивительная поверхность» СЛАЙД 1
Девиз урока: “Просто, как все гениально. Гениально, как все простое”.
Цели: ознакомление с листом Мебиуса как объектом топологии.
Задачи:
-Показать, что лист Мебиуса-объект топологии, доказать, что лист - объект топологии;
-Сформулировать свойства листа Мебиуса;
-Рассмотреть применение листа Мебиуса на практике;
Дидактические:
-развивать у учащихся самостоятельную познавательную деятельность;
-развивать навыки самостоятельной работы с информацией и умения по поиску нужной информации;
-формировать навыки работы в группе;
-прививать навыки самостоятельного поиска новых закономерностей;
-формировать научно-исследовательские навыки;
-расширять кругозор в познании окружающего мира;
-формировать мировоззренческие взгляды учащихся;
-осуществлять межпредметные связи.
Методические:
-учащиеся будут знать понятие топологии, как раздел математики, и объект ее изучения;
-учащиеся будут знать: кто такой Мебиус, что такое «лента Мебиуса», как ее можно сделать самому, какими свойствами она обладает;
-учащиеся будут уметь: делать из полоски бумаги ленту Мебиуса и демонстрировать ее простейшие свойства и опыты с ней.
Компетентности:
-формировать компетентности в сфере самостоятельной деятельности,
основанные на усвоении способов приобретения знаний из различных источников информации и
в сфере культурно - досуговой деятельности.
Проблемные вопросы:
-Мебиус-это кто или что?
-Как получить лист Мебиуса? Какими свойствами он обладает?
-Кому и почему интересен лист Мебиуса?
Ключевые слова:
Лист, лента, Август Мебиус, поверхность, плоскость, топология, сторона, край, Карл Гаусс, Иоганн Листинг, опыт, эксперимент.
Ход урока
1.Организационный момент. Постановка цели.
Сегодня у нас необычный урок, надеюсь, что он будет полон удивлений, восхищений и открытий. Пусть ваши группы будут мини-лабораториями по проведению этих открытий. Я предлагаю вам выбрать название каждой лаборатории. (Экспериментаторы, испытатели, исследователи, первооткрыватели…)
А поможет сделать наш урок увлекательным МЕБИУС.
Вопрос: Мебиус- это кто или что? (ответы)
2.Работа со справочной информацией по группам: СЛАЙД 2 (портрет)
1)биография
2)научная деятельность СЛАЙД 3 (портреты Гаусса и Листинга)
3)достижения, заслуги.
Выступления учащихся.
3.Вводная беседа.
Давайте мы попробуем совершить маленькое путешествие в удивительное открытие Мебиуса - познакомимся с его знаменитой лентой и попытаемся определить ее некоторые свойства,поучимся в обычном находить неожиданное и даже таинственное.
У каждого из нас есть интуитивное представление о том, что такое "поверхность". Поверхность листа бумаги, поверхность стен класса, поверхность земного шара известны всем. Может ли быть что-нибудь неожиданное и даже таинственное в таком обычном понятии? Так вот пример листа Мёбиуса показывает, что может.
Давайте поучимся делать из полоски бумаги ленту Мебиуса. Слайд 4 (рис. Ленты)
4.Практическая работа по склеиванию ЛИСТА.
Берем 2 полоски разлинованной бумаги и склеиваем. Получилось кольцо.
А вот теперь попытаемся познакомиться со свойствами этого листа.
Все результаты экспериментов будем записывать в таблицу – на доске и в своих информационных листах. (см. приложение)
4.Эксперименты.
ОПЫТ 1.
Берем полоску прямоугольной формы и склеиваем кольцо.
Простое кольцо - что получим, если разрежем полоску посередине? (предполагаемые ответы)
(2 кольца той же длины, но вдвое уже). Запись результата.
ОПЫТ 2.
А что получим из ленты Мебиуса? (предполагаемые ответы, проведение опыта, формулировка выводов, заполнение таблицы)
Показ на застежке молнии. (1 кольцо, вдвое длиннее и уже).
ОПЫТ 3.
Отметьте точку на листе, фломастером или карандашом проведите линию посередине листа.
Что получили?
Так сколько же сторон у такого листа? (предполагаемые ответы, проведение опыта, формулировка выводов, заполнение таблицы)
До Мебиуса считалось, что любая поверхность (например, лист бумаги) имеет две стороны, а оказалось, что существуют объекты с 1 стороной! У ленты, из которой сделан лист Мёбиуса, имеются две стороны. А у него самого, оказывается только одна сторона!
5. Выявление свойств листа.
Попробуем закрасить лист Мёбиуса- кусок за куском, не переходя через край ленты. И что же? Вы закрасите весь лист Мёбиуса!
« Если кто- нибудь вздумает раскрасить «только одну » строну поверхности мёбиусовой ленты, пусть лучше сразу погрузит ее в ведро с краской»,- пишут Рихард Курант и Герберт Роббинс в превосходной книге « Что такое математика».
ОПЫТ 4. Солдатик - перевертыш.
Я вырезала бумажного солдатика и отправила его вдоль пунктира, идущего посередине листа Мёбиуса. И вот он вернулся к месту старта. Но в каком виде! В перевернутом! А чтобы он вернулся к старту в нормальном положении, ему нужно совершить ещё одно « круголистное » путешествие.
А сколько краев у такого листа? (предполагаемые ответы, проведение опыта, формулировка выводов, заполнение таблицы)
А если настроить вдоль такой улицы домов и пронумеровать их слева четные, справа нечетные, то, что увидим в результате такого движения? (продолжая движение, увидим слева четные, справа нечетные).
Что произошло? Изменились понятия левое - правое или четное -нечетное!
Вывод: свойство - односторонность. Лист ограничен всего лишь одной замкнутой линией.
Физики, кстати, утверждают, что все оптические законы основаны на свойствах ленты Мебиуса, в частности отражение в зеркале - это своеобразный перенос во времени, краткосрочный, длящийся сотые доли секунды, ведь мы видим перед собой... правильно, зеркального своего двойника.
Вывод: лист имеет свойство – неориентированность.
ОПЫТ 5.
Интереснее другое свойство – связность. Если квадрат разрезать от стороны к стороне, то он, естественно, распадётся на два отдельных куска. Точно также любой удар ножом разделит яблоко на две части.
А сколько нужно сделать разрезов, чтобы располовинить наше кольцо? (предполагаемые ответы, проведение опыта, формулировка выводов, заполнение таблицы)
Нужно уже два разреза.
И два раза придётся резать бублик, если вы хотите угостить им двух друзей.
Поэтому любой ученый скажет вам, что квадрат и ромашка – односвязны, кольцо и оправа от очков – друсвязны, а всяческие решётки, диски с отверстиями и подобные сложные фигуры – многосвязны. Ну, а наш лист Мёбиуса?
Вывод: Конечно двусвязен,
Вот такие неожиданные вещи происходят с простой бумажной полоской, если склеить из неё лист Мебиуса. 6. Изучение листа как объекта топологии.
В 1865 году, семидесятипятилетний Мебиус впервые описал свойства односторонней поверхности.
Лист Мёбиуса – один из объектов области математики под названием «топология». Удивительные свойства листа Мёбиуса – он имеет один край, одну сторону, – не связаны с его положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология.
А что же такое топология?
Работа со справочной информацией по группам. Продолжите : Топология – это…
Выступления учащихся.
СЛАЙД 6 (тополог.тела)
С точки зрения топологии баранка и кружка одно и то же. Сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар - разные объекты: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.
7.Эксперименты. Выводы.
Давайте попробуем еще поэкспериментировать с такой лентой!
ОПЫТ 6. по группам.
А еще, из свойств, следуют удивительные превращения ленты. Если разрезать ленту на расстояние 1/3, 1/4,1/5 ее ширины от края, то получится …
(предполагаемые ответы, проведение опыта, формулировка выводов, заполнение таблицы).
Вывод: (два кольца. Но! Одно большое и сцепленное с ним маленькое).
Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль, посередине, то у вас окажется весьма “затейливое” переплетение двух колец – одинаковых по размеру, но разных по ширине.
ОПЫТ 7.
Что получится, если перед склеиванием ленты перекрутить ее два раза (т.е. на 360градусов)? (предполагаемые ответы, проведение опыта, формулировка выводов, заполнение таблицы)
Такая поверхность будет уже двусторонней. Свойства этой поверхности не менее удивительны. Ведь если разрезать ее вдоль посередине, то вы получите два одинаковых кольца, но опять же сцепленных между собой.
Учитель сам демонстрирует опыт. Комментирует свои действия.
Разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине, вы обнаружите уже четыре кольца, соединенных друг с другом. Можно теперь рвать кольца по очереди – и всякий раз оставшиеся будут по-прежнему сцеплены вместе.
Возьмем ленту, разделим каждую ее сторону на три одинаковые полоски и склеим, перекрутив один раз лист Мёбиуса. Будем резать по пунктирной линии. Если бы лента не была перекручена, то сначала мы бы отрезали одно кольцо, а потом еще два остальных. Все три кольца, каждое той же длины, что и первоначальное, но втрое меньше ширины. Но у нас лист Мёбиуса. И, «не отрывая» ножниц от бумаги, разрежем по всем пунктирным линиям сразу и получим два сцепленных кольца. Одно из них вдвое длиннее исходного и перекручено два раза. Второе- лист Мёбиуса, ширина которого втрое меньше, чем у исходного.
Анализ данных заполненной таблицы. К каждому опыту в таблице прикрепляется полученная модель.
Число перекручиваний
Результат разрезания
Свойства
Рисунок
0
2 кольца
Длина окружности та же, но кольцо в два раза уже
Модель
1
1 кольцо
Кольцо перекручено дважды, оно вдвое длиннее, но уже
Модель
2
2 кольца
Кольцо перекручено дважды, оно вдвое длиннее, но уже
Модель
3
1 кольцо
Кольцо перекручено 6 раз и оно вдвое уже
модель
8.Рассмортим примеры более сложных экспериментов с лентой Мебиуса. СЛАЙД 8.
9. Применение листа Мебиуса: комментирование материалов СЛАЙДОВ 9,10.
Но лента Мёбиуса не только упражнение для разума, она и вполне практически применяется. Чудесные свойства листа Мебиуса привели к новым открытиям и изобретениям (очень полезным). Лист Мебиуса служил вдохновением для скульпторов, художников и графиков. Многие физические явления используют для объяснения лист Мебиуса. Ученые генетики рассматривают код ДНК в качестве модели ленты Мебиуса. Лист Мебиуса применяется для усовершенствования технических приборов. Загадочная лента Мебиуса применяется для показа фокусов в цирке.
На уроке в 6 классе вы изучали рациональные числа и выясняли , что их бесконечно много. Тогда мы заговорили о символе бесконечности в математике. Всем стало интересно откуда взялся этот символ , интересовала история его появления и что самое интересное какая же геометрическая фигура может ему соответствовать!
Вот теперь мы можем смело сказать, что символом бесконечности служит лист Мебиуса, что это одновременно простая и загадочная фигура!
Свойства листа Мебиуса не смогли оставить равнодушными знаменитого художника М. Эшера. Он посвятил ему серию картин (демонстрация репродукций художника). Также свойства листа Мебиуса используют в матричном принтере в картридже - красящая лента также имеет вид листа Мёбиуса для увеличения срока годности (демонстрация картриджа). Проект «Мёбиусиана» посвящен исследованию свойств листа Мёбиуса. В виде ленты Мёбиуса делают полосу ленточного конвейера, что позволяет ему работать дольше потому, что вся поверхность ленты равномерно изнашивается.
Еще применяются ленты Мёбиуса в системах записи на непрерывную плёнку (чтобы удвоить время записи), в матричных принтерах.
10.ИТОГ УРОКА.
РЕФЛЕКСИЯ. Какими бы вы пословицами оценили свой труд и труд членов своей группы? СЛАЙД 11.
Какие открытия вы сделали для себя по теме нашего урока? СЛАЙД 12.
Прочтение учениками стихов, посвященных Мебиусу. (СМ. на информационных карточках групп).
– Простая полоска бумаги, но перекрученная всего лишь раз и склеенная затем в кольцо, сразу же превращается в загадочную ленту Мебиуса и приобретает удивительные свойства. Но кто знает, вдруг вы станете со временем знаменитыми топологами и совершите не одно замечательное открытие. И быть может, какую-нибудь замысловатую поверхность назовут вашим именем.
Награждение всех учащихся медалями с портретом Мебиуса за стремление к познанию, смелость, усердие и трудолюбие.
Домашние задание. Некоторые из вас уже задумывались: а что получится, если ленту перекрутить на три оборота и склеить. Проведите опыт самостоятельно:
Взять не бумажную ленту, а полосу любой ткани.
Повернуть один из концов полоски на три оборота, т.е. на 540 градусов.
Сшить оба конца.
Теперь возьмите ножницы и аккуратно разрежьте полоску посередине. Посмотрите, что получается.
