Системы счисления

Тема урока. Система счисления

Цель урока:

Образовательная:

• знакомство с понятием «система счисления»;

• умение различать виды систем счисления и применять их на практическом занятии;

• умение правильно записывать числа в системах счисления;

• формирование способности для применения правил перевода чисел из одной системы счисления в другие.

Развивающая:

• развивать логическое мышление, умение обобщать, конкретизировать;

• формирование внимания, умения наблюдать и закреплять знания;

Воспитательная:

• воспитывать самостоятельность, уважительное отношение друг к друг;

• воспитание информационной культуры учащихся.

Этапы урока:

1.Организационный момент.

2. Изучение нового материала.

3. Практическая часть.

4.Подведение итогов.

Ход урока:

1.Организационный момент.

Приветствие, проверка присутствующих.

2. Изучение нового материала.

С древних времен в практической деятельности человека часто возникала потребность счета и измерения. Результаты счета предметов выражались вначале весьма примитивно: зарубки на палочках, узелки на веревках и др. С развитием письменности человек начал отображать с помощью знаков (записывать) информацию о количестве предметов на подручных материалах: глиняных табличках, папирусе, бересте и др. Таким образом, для обозначения чисел стали использовать знаки. 

Способ записи чисел с помощью письменных знаков называют системой счисления. Знаки, с помощью которых записываются числа, называют цифрами, а их совокупность — алфавитом системы счисления.

Система счисления — это совокупность правил записи чисел посредством конечного набора символов (цифр).

Системы счисления бывают:

• непозиционными (в этих системах значение цифры не зависит от ее позиции — положения в записи числа);

• позиционными (значение цифры зависит от позиции).

Человек использует десятичную систему счисления, а компьютер – двоичную систему счисления. Поэтому часто возникает необходимость перевода чисел из десятичной системы в двоичную и наоборот.

3.3. Правила перевода чисел из одной системы счисления в другую

Перевод чисел из одной системы счисления в другую составляет важную часть машинной арифметики. Рассмотрим основные правила перевода.

1. Для перевода двоичного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 2, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней двойки:

Таблица 4. Степени числа 2

n (степень)	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
	1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024

Пример . Число   перевести в десятичную систему счисления.

2. Для перевода восьмеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 8, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней восьмерки:

Таблица 5. Степени числа 8

n (степень)	0	1	2	3	4	5	6
	1	8	64	512	4096	32768	262144

Пример . Число   перевести в десятичную систему счисления.

3. Для перевода шестнадцатеричного числа в десятичное необходимо его записать в виде многочлена, состоящего из произведений цифр числа и соответствующей степени числа 16, и вычислить по правилам десятичной арифметики:

При переводе удобно пользоваться таблицей степеней числа 16:

Таблица 6. Степени числа 16

n (степень)	0	1	2	3	4	5	6
	1	16	256	4096	65536	1048576	16777216

Пример . Число   перевести в десятичную систему счисления.

Запишем степени чисел:

Степени двойки :

Степень восьмерки :

8⁰=1

8¹=8

8²=64

8³=512

8⁴=4096

Степень шестнадцати :

16⁰=1

16¹=16

16²=256

16³=4096

Перевод целых чисел из десятичной системы счисления в двоичную систему счисления

Алгоритм перевода целого десятичного числа в двоичное:

1. Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на основание системы счисления ( на 2) до тех пор, пока частное от деления не окажется равным нулю;

2. Получить искомое двоичное число, для чего записать полученные остатки в обратной последовательности.

Например:

54₁₀=110110₂

Перевод десятичных дробей в двоичную систему счисления

Алгоритм перевода десятичной дроби в двоичную:

1. Последовательно выполнять умножение исходной десятичной дроби и получаемых дробей на основание системы ( на 2) до тех пор, пока не получим нулевую дробную часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений;

2. Получить искомую двоичную дробь, записав полученные целые части произведений в прямой последовательности.

Например, переведём десятичную дробь 0,75₁₀ в двоичную систему

0,75₁₀=0,11₂

Перевод чисел, содержащих и целую, и дробную часть, производится в два этапа. Отдельно переводится по соответствующему алгоритму целая часть и отдельно – дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть от дробной отделяется запятой.

Например, переведём десятичную дробь 71,5₁₀ в двоичную систему счисления

1. Переведём целую часть 71₁₀ в двоичную систему счисления по алгоритму перевода целого десятичного числа в двоичное:
   71₁₀=1000111₂

2. Переведём дробную часть методом последовательного умножения:
   0,5₁₀=0,1₂

3. Запишем результат 71,5₁₀=1000111+ 0,1= 1000111,1₂

4. Преобразование из двоичной системы счисления в десятичную осуществляется с помощью выражения вида: X_s=A ₀S⁰+ A ₁S¹+ A ₂S²+…, где X_s – число в S-й системе счисления, S – основание системы, А – цифра числа. Данное выражение используется для преобразования целых чисел, причём отчёт цифр идёт справа налево.

5. Например, перевести число 110110₂ в десятичную систему счисления. 110110₂=0*2⁰+1*2¹+1*2²+0*2³+1*2⁴+1*2⁵= 0+2+4+0+16+32=54₁₀

6. Аналогичным образом можно использовать формулу и для отрицательных чисел, и для нахождения дробной части числа.

7. Например, перевести число 10,11₂ в десятичную систему счисления.

8. 10,11₂=1*2^-2+ 1*2^-1+0*2⁰+1* 2¹=1/4+1/2+0*1+1*2=0,25+0,5+0+2=2,75₁₀

Таким образом, для перевода числа из любой системы счисления в десятичную следует:

1. пронумеровать разряды исходного числа;

2. записать сумму, слагаемые которой получаются как произведения очередной цифры на основание системы счисления, возведенное в степень, равную номеру разряда;

3. выполнить вычисления и записать полученный результат (указав основание новой системы счисления — 10).

Примеры:

3. Практическая часть.

Перевод чисел из одной системы счисления в другую

4.Подведение итогов.

Досвидание. Спасибо за урок.