Конспект урока по теме «Электронные таблицы и математическое моделирование».
Автор: Брев Николай Александрович, учитель информатики и физики МОУ-гимназии г. Переславля-Залесского.
Цель урока - научить реализовывать математические модели в среде табличного процессора и анализировать полученные результаты при проведении компьютерного эксперимента.
Задачи урока:
1. Образовательная
2. Развивающие
развивать практические навыки по составлению моделей в электронных таблицах;
формировать межпредметные связи;
развивать аналитические способности обучающихся, логическое и алгоритмическое мышление.
3. Воспитательные
способствовать обогащению внутреннего мира обучающихся;
воспитывать чувство патриотизма;
ответственное отношение к своему здоровью.
Тип урока: усвоение новых знаний.
Методы:
Формы организации учебной деятельности:
Оборудование: Проектор, экран, ноутбук, компьютеры, раздаточный материал.
Программное обеспечение: MS PowerPoint, MS Excel.
Материал будет полезен учителям информатики и ИКТ, преподающим в 9 классе по учебнику Семакина.
План урока.
Математическая модель. Повторение.
Основные этапы математического моделирования на компьютере.
Построение математической модели. Постановка задачи.
Практическая работа. Реализация построенной математической модели на компьютере. Компьютерный эксперимент.
Анализ полученных результатов. Обсуждение.
Итоги урока.
Ход урока.
Математическая модель. Повторение.
Давайте вспомним, что такое компьютерное математическое моделирование.
Реальную систему, для которой создается математическая модель, принято называть объектом моделирования.
Объектами математического моделирования могут быть:
конструкции, например, железнодорожный мост;
природные объекты, например, водохранилище,
процессы и явления, происходящие во времени, например взлет космической ракеты с космодрома, изменение погодных условий в определенной географической точке, изменение со временем численности определенных популяций.
Для людей могут оказаться жизненно важными вопросы, связанные с этими объектами и процессами. Например:
Какой может быть максимальная нагрузка на железнодорожный мост, при которой не будет происходить его разрушение?
На какой высоте ракета достигнет первой космической скорости и выйдет на орбиту спутника Земли?
Каким будет уровень воды в водохранилище в погодных условиях, которые предсказывают метеорологи?
Не вымрет ли данная популяция животных через сто лет?
На эти вопросы желательно получить ответы теоретическим путем, поскольку экспериментальный путь либо невозможен, либо опасен. Например, при перегрузке моста можно его разрушить, а экспериментально проверить, что будет с популяцией животных через сто лет, просто невозможно. В таких ситуациях на помощь человеку приходят математическое моделирование и вычислительный эксперимент.
Основные этапы математического моделирования на компьютере.
В математической модели используются количественные характеристики объекта (величины). Эти величины связываются между собой через уравнения, отражающие физические или другие законы. Из этих уравнений, зная одни величины (исходные данные), можно вычислить значения других величин (результатов). Часто такие расчеты бывает трудно осуществить вручную, и тогда используются компьютерные методы решения задачи. (Слайд 1)
Реализованная на компьютере математическая модель называется компьютерной математической моделью, а проведение расчетов с помощью компьютерной модели с целью прогнозирования поведения моделируемой системы называется вычислительным экспериментом.
Основные этапы компьютерного математического моделирования (Слайд 2):
Выделение количественных характеристик моделируемой системы, существенных для решаемой задачи.
Получение математических соотношений (формул, уравнений, систем уравнений), связывающих эти характеристики.
Определение способа решения полученной математической задачи и реализация ее на компьютере с помощью прикладных программных средств или на языках программирования.
Решение поставленной задачи путем проведения вычислительного эксперимента.
В результате вычислительного эксперимента можно получить прогноз поведения исследуемой системы; выяснить вопрос о том, как изменение одних характеристик системы отразится на других.
Одним из видов прикладных программных средств, пригодных для реализации математической модели на компьютере, являются электронные таблицы.
Построение математической модели. Постановка задачи.
Чаще всего электронные таблицы используются для получения расчетных ведомостей, смет, справок, списков, т. е. в области делопроизводства. Однако электронные таблицы могут оказаться полезными и для научных целей. С их помощью можно строить компьютерные математические модели, проводить вычислительные эксперименты. Рассмотрим пример такого вычислительного эксперимента.
Ученые установили, что прирост какого-либо вида живых организмов за счет рождаемости прямо пропорционален их количеству, а убыль за счет смертности прямо пропорциональна квадрату их количества. Этот закон известен под названием закона Мальтуса (Слайд 3).
Представьте, что у Вас есть собственное хозяйство, и Вы собираетесь разводить карпов. Прежде чем запускать мальков в пруд, решили провести расчеты. Согласно закону Мальтуса, изменение числа рыб за один год вычисляется по формуле
ΔN= kN – qN2.
Здесь N — число карпов в начале года, k — коэффициент прироста, q — коэффициент смертности. Экспериментально установлено, что для данного вида рыб (карпы) и в данных условиях (состояние водоема, наличие корма) k = 1, q = 0,001. (Слайд 4)
Если первоначально в пруд запущено N0 рыб, то из закона следует, что количество карпов через год будет таким:
N1 = N0 + (kN0 - qN20).
Через два года:
N2 = N1 + (kN1 - qN21) (Слайд 5)
Можно написать общую формулу для вычисления количества рыб в i-м году после их запуска:
Ni = Ni-1 + (kNi-1 – qN2i-1) для i = 1, 2, 3,…
Эта формула является математической моделью процесса размножения рыб в водоеме. (Слайд 6)
Заполним электронную таблицу для проведения по этой формуле расчета рыбного «поголовья» в пруду в течение нескольких лет (Слайд 7).
Строки таблицы, начиная с 6-й, получаются путем копирования предыдущей строки. При этом относительные адреса изменяются автоматически.
Для получения результатов нужно занести в ячейку С4 первоначальное число рыб (например, 100).
Практическая работа. Реализация построенной математической модели на компьютере. Компьютерный эксперимент.
Теперь можно экспериментировать. Необходимо
Заполнить таблицу для проведения расчётов на 15 лет.
По данным таблицы построить точечную диаграмму (с гладкими кривыми).
Проследить, как будет меняться число карпов при различных значениях исходных данных. (Слайд 8)
Обучающиеся, используя раздаточный материал, записывают, как изменяется число карпов в зависимости от начального количества мальков N0, а также коэффициентов k и q.
Анализ полученных результатов. Обсуждение.
Теперь можно проанализировать полученные результаты: (Слайд 9)
| N0 | Изменение N |
| N0 | Растёт до 1000 и далее не изменяется. |
| N0=1000 | Не изменяется. |
| N01000 | Сначала уменьшается, затем растёт до 1000. |
| N0=2000 | Через год все рыбы гибнут. |
(Слайд 10)
| k | Изменение N |
| K=1,5 | Растёт до 1500 и далее не изменяется. |
| K=2,0 | Периодически изменяется. |
| K=2,5 | Амплитуда периодических изменений резко увеличилась. |
| K=3,0 | Нестабильность системы. |
(Слайд 11)
| q | Изменение N |
| 0,001 | Растёт, но до значения N |
| q=0,01 | Не изменяется. |
| 0,01 | Сначала уменьшается, а затем растёт и устанавливается на одном уровне. |
| q=0,02 | Все рыбы гибнут. |
Итоги урока.
На уроке мы вспомнили, что называется математической моделью Математической моделью называется информационная модель объекта, выраженная математическими средствами (формулами, уравнениями и т. п.).
Мы выяснили, что табличный процессор может применяться в качестве инструмента для математического моделирования, построили математическую модель для решения конкретной задачи Полученную математическую модель можно использовать для проведения вычислительного эксперимента.
Проводя вычислительный эксперимент, мы выяснили, как будет меняться количество популяции в зависимости от начальных условий (количества рыб в водоёме, а также внешних условий (коэффициентов прироста и смертности).
1000 Сначала уменьшается, а затем растёт до 1000. N=2000 Через год все рыбы гибнут." width="640"
