Компьютерное моделирование и решение нелинейных уравнений

РЕФЕРАТ

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ И РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

1. Динамические системы и построение математической модели

Динамические системы – это системы, в которых входные переменные являются функциями от времени или каких-либо других параметров. Описываются эти системы дифференциальными и интегральными уравнениями. Например, большая часть законов механики, электротехники, теории упругости, теории управления и т.д. описываются с помощью дифференциальных уравнений.

На практике динамические системы встречаются очень часто. Моделирование систем, связанных с движением тел, с расчетом потоков энергии, с расчетом потоков материальных ресурсов, с расчетом оборотов денежных средств и т.д. в конечном счете, сводится к построению и решению дифференциальных уравнений (как правило, II-го порядка).

Прямолинейное движение тела, движущегося под действием переменной силы ,где S=S(t), описывается дифференциальным уравнением второго порядка в форме уравнения Ньютона:

, где

m - масса тела,

S - перемещение тела,

-линейная скорость,

-линейное ускорение.

При этом задаваемые начальные условия , имеют четкий физический смысл. Это - начальное положение тела и его начальная скорость.

Вращательное движение тела под действием крутящего момента , где , описывается аналогично где

Iр - полярный момент инерции тела,

-угол поворота,

- угловая скорость,

- угловое ускорение.

При построении математических моделей систем, машин, механизмов с учетом колебаний, возникающих в них, также необходимо построить и решить дифференциальное уравнение, т.к. все виды колебаний (свободные гармонические, вынужденные) также описываются дифференциальными уравнениями.

На практике лишь небольшое число дифференциальных уравнений допускает интегрирование в квадратурах. Еще реже удается получить решение в элементарных функциях. Поэтому большое распространение при решении математических моделей с помощью ЭВМ получили численные методы решения дифференциальных уравнений.

Нахождение определенного интеграла в процессе моделирования объектов процессов или систем может применяться в следующих задачах:

1. Определение пути при переменной скорости:

1. Нахождение скорости при переменном ускорении:

1. Определение моментов инерции тел:

1. Нахождение работы переменной силы:

1. При решении дифференциальных уравнений.

Итак, дана функция y=f(x).

Найти интеграл этой функции на участке [a,b], т.е. найти

Если подынтегральная функция f(x) задана в аналитическом виде;

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a,b] ;

если известна ее первообразная, т.е.

То интеграл может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница как приращение первообразной на участке [a,b], т.е.

Но на практике формула Ньютона-Лейбница для вычисления интеграла используется редко. Численные методы интегрирования применяются в следующих случаях:

1. подынтегральная функция f(x) задана таблично на участке [a,b] ;

2. подынтегральная функция f(x) задана аналитически, но ее первообразная не выражается через элементарные функции;

3. подынтегральная функция f(x) задана аналитически, имеет первообразную, но ее определение слишком сложно.

В численных методах интегрирования не используется нахождение первообразной. Основу алгоритма численных методов интегрирования составляет геометрический смысл определенного интеграла. Интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции, расположенной под подынтегральной кривой f(x) на участке [a,b] (рис.1).

Рисунок 1 – Геометрический смысл определенного интеграла

Суть всех численных методов интегрирования состоит в приближенном вычислении указанной площади. Поэтому все численные методы являются приближенными.

При вычислении интеграла подынтегральная функция f(x) аппроксимируется интерполяционным многочленом. На практике чтобы не иметь дело с многочленами высоких степеней, весь участок [a,b] делят на части и интерполяционные многочлены строят для каждой части деления.

Порядок вычисления интеграла численными методами следующий (рис.2):

1. Весь участок [a,b] делим на n равных частей с шагом h=(b-a)/n.

2. В каждой части деления подынтегральную функцию f(x) аппроксимируем интерполяционным многочленом. Степень многочлена n = 0,1,2:

3. Для каждой части деления определяем площадь частичной криволинейной трапеции.

4. Суммируем эти площади. Приближенное значение интеграла I равно сумме площадей частичных трапеций

Рисунок 2 – Вычисление определенного интеграла

Нахождение приближенного значения интеграла называется квадратурой, а формулы для приближенного вычисления интеграла - квадратурными формулами или квадратурными суммами.

Разность R между точным значением интеграла и приближенным значением называется остаточным членом или погрешностью квадратурной формулы, т.е.

Если в каждой из частей деления интервала [a,b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом нулевой степени, т.е. прямой, параллельной оси OX, то квадратурная формула называется формулой прямоугольников, а метод – методом прямоугольников.

Если в каждой из частей деления интервала [a,b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом первой степени, т.е. прямой, соединяющей две соседние узловые точки, то квадратурная формула называется формулой трапеций, а метод – методом трапеций.

Если в каждой из частей деления интервала [a,b] подынтегральная функция аппроксимируется многочленом второй степени, то квадратурная формула называется формулой Симпсона, а метод – методом Симпсона.

2. Метод прямоугольников

Словесный алгоритм метода прямоугольников:

1. Весь участок [a,b] делим на n равных частей с шагом h=(b-a)/n.

2. Определяем значение y_i подынтегральной функции f(x) в каждой части деления, т.е.

1. В каждой части деления подынтегральную функцию f(x) аппроксимируем интерполяционным многочленом степени n = 0, т.е. прямой, параллельной оси OX. В результате вся подынтегральная функция на участке [a,b] аппроксимируется ломаной линией.

2. Для каждой части деления определяем площадь S_i частичного прямоугольника.

3. Суммируем эти площади. Приближенное значение интеграла I равно сумме площадей частичных прямоугольников.

Если высота каждого частичного прямоугольника равна значению подынтегральной функции в левых концах каждого шага, то метод называется методом левых прямоугольников (рис.3). Тогда квадратурная формула имеет вид

Рисунок 3 – Метод левых прямоугольников

Если высота каждого частичного прямоугольника равна значению подынтегральной функции в правых концах каждого шага, то метод называется методом правых прямоугольников (рис.4). Тогда квадратурная формула имеет вид

Рисунок 4 – Метод правых прямоугольников

Точность каждого метода прямоугольников имеет порядок h.

Алгоритм вычисления интеграла построим в виде итерационного процесса поиска с автоматическим выбором шага. На каждом шаге будем уменьшать шаг в два раза, то есть увеличивать число шагов n в два раза. Выход из процесса поиска организуем по точности вычисления интеграла. Начальное число шагов n=2. Схема алгоритма методов прямоугольников представлена на (рис. 5).

Рисунок 5 – Схема алгоритма метода прямоугольников (с автоматическим выбором шага)

Условные обозначения:

a,b – концы интервала,

– аданная точность,

с=0 – метод левых прямоугольников,

с=1 – метод правых прямоугольников,

S1 – значение интеграла на предыдущем шаге,

S – значение интеграла на текущем шаге.

1. Метод трапеций

Словесный алгоритм метода трапеций:

1. Интервал [a,b] делим на n равных частей с шагом h=(b-a)/n.

2. Вычисляем значение подынтегральной функции в каждой узловой точке

1. На каждом шаге подынтегральную функцию f(x) аппроксимируем прямой, соединяющей две соседние узловые точки. В результате вся подынтегральная функция на участке [a,b] заменяется ломаной линией проходящей через все узловые точки.

2. Вычисляем площадь каждой частичной трапеции.

3. Приближенное значение интеграла равно сумме площадей частичных трапеций, т.е.

Найдем площади S_i частичных трапеций:

Приближенное значение интеграла равно

Точность метода трапеций имеет порядок h².

Схема алгоритма метода трапеций представлена на рисунке 6

Рисунок 6 – Схема алгоритма метода трапеций (с автоматическим выбором шага)

1. Метод Симпсона

В методе Симпсона в каждой части деления подынтегральная функция аппроксимируется квадратичной параболой a₀x²+a₁x+a₂. В результате вся кривая подынтегральной функции на участке [a,b] заменяется кусочно-непрерывной линией, состоящей из отрезков квадратичных парабол. Приближенное значение интеграла I равно сумме площадей под квадратичными параболами.

Т.к. для построения квадратичной параболы необходимо иметь три точки, то каждая часть деления в методе Симпсона включает два шага, т.е.

L_k=2h.

В результате количество частей деления N2=n/2. Тогда n в методе Симпсона всегда четное число.

Определим площадь S₁ на участке [x₀, x₂]

Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, площадь S₁ равна определенному интегралу от квадратичной параболы на участке [x₀, x₂]:

Неизвестные коэффициенты квадратичной параболы а₀ , а₁, а₂ определяем из условия прохождения параболой через три узловых точки с координатами (x₀y₀), (x₁y₁), (x₂y₂).

На основании этого условия строим систему линейных уравнений:

Решая эту систему, найдем коэффициенты параболы.

В результате имеем: ..

Для участка [x₂, x₄]: ..

:::::::::::::::::::

Для участка [x_i-1, x_i+1]:  .,

Где .

Суммируя все площади S₁ под квадратичными параболами, получим квадратурную формулу по методу Симпсона:

где

N2 - количество частей деления.

Точность метода Симпсона имеет порядок (h³/h⁴).

Схема алгоритма метода Симпсона:

Рисунок 7 – Схема алгоритма Симпсона (с автоматическим выбором шага)

Список используемой литературы

1. Динамические системы. Среда. Методы решения задач. Учебное пособие/ Гуз С.Н., Дегтяр С.Н. – Мозырь: МГПУ, 2002.

2. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. - М.: Наука, 1969. – 544 с.

3. Дьяконов В.П. Математические модели и их построение 2000: учебный курс. – СПб.: Питер, 2000.

4. Кирьянов Д.В. Математические модели и их построение. – СПб.: БХВ-Петербург, 2003.

6. Очков В.Ф. Методы решения нелинейных уравнений. - М.: Компьютер пресс, 1998. - 380 с.