Системы счисления. Урок информатики 5-11 класс

Представление числовой информации с помощью систем счисления

Презентация по теме «Системы счисления» рассчитана для учащихся старших классов (возможно использование и на начальной ступени обучения данной теме 6, 8 классы). Используется на первом уроке по данной теме, с целью развития интереса обучаемых к рассматриваемому разделу информатики.

Что такое системы счисления?

Позиционные системы счисления

Непозиционные системы счисления

Запись числа в развернутой форме

На слайде представлена тема урока и разделы темы (переход в разделы осуществляется по гиперссылкам).

Система счисления – это способ записи чисел по определенным правилам с помощью заданного набора специальных знаков (цифр)

Системы счисления

непозиционные позиционные

вес цифры не зависит от

её позиции в числе

вес каждой цифры изменяется

в зависимости от её положения

Единичная

Древнеегипетская

Древнегреческая

Славянская

Римская

Двадцатеричная народов племени Майя

Вавилонская

Древнекитайская

десятеричная

Десятичная

Двоичная

и др.

На данном этапе демонстрации презентации вводятся основные понятия темы: система счисления, цифра, число, алфавит системы счисления, непозиционные системы счисления, позиционные системы счисления. Перечисляются примеры непозиционных и позиционных систем счисления (переход осуществляется по гиперссылкам).

НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Единичная система счисления

10 – 11 тыс. лет до н. э.

Узелковое письмо

Потребность в записи чисел появилась в очень древние времена, как только люди начали считать. Количество предметов изображалось нанесением чёрточек или засечек на какой - либо твёрдой поверхности: камне, глине, дереве (до изобретения бумаги было ещё очень и очень далеко). Каждому объекту в такой записи соответствовала одна чёрточка. Археологами найдены такие "записи" при раскопках культурных слоёв, относящихся к периоду палеолита (10 - 11 тысяч лет до н.э.).

Учёные назвали этот способ записи чисел единичной ("палочной") системой счисления. В ней для записи чисел применялся только один вид знаков - "палочка". Каждое число в такой системе счисления обозначалось с помощью строки, составленной из палочек, количество которых и равнялось обозначаемому числу.

Около 1100 года н. э. английский король Генрих I изобрел одну из самых необычных денежных систем в истории, названную системой «мерных реек». Эта денежная система продержалась 726 лет и была отменена в 1826 году. Деревянная полированная рейка с зарубками, обозначающими номинал, расщеплялась по всей длине так, чтобы сохранить зарубки. Неудобства такой системы записи чисел и ограниченность её применения очевидны: чем большее число надо записать, тем длиннее строка из палочек. Да и при записи большого числа легко ошибиться, нанеся лишнее количество палочек или, наоборот, не дописав их.

Перуанцы употребляли для запоминания чисел разноцветные шнуры с завязанными на них узлами.

Интересный способ для записи чисел использовался индийскими цивилизациями примерно в VIII веке до новой эры. Они применяли «узелковое письмо» - связанные между собой нити. Знаками на этих нитях служили узелки, часто с вплетенными в них камнями или ракушками. Узелковая запись чисел позволяла Инкам передавать информацию о числе воинов, обозначать количество умерших или родившихся в той или иной провинции и так далее.

Узелковая письменность Инков

(кипу)

Денежная система

«мерных реек»

Примеры узлов кипу

НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Древнеегипетская система счисления

Примерно  в третьем тысячелетии до нашей эры древние египтяне придумали свою числовую систему, в которой для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки — иероглифы.

        Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Система счисления Древнего Египта является десятичной, но непозиционной.

Записывались цифры числа начиная с больших значений и заканчивая меньшими. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то переходили к следующему разряду.

-1205

-23029

НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Древнегреческие системы счисления

Древнегреческая аттическая пятеричная

- 256

- 2051

- 382

Древнегреческая ионийская десятеричная алфавитная

- 265

В древнейшее время в Греции была распространена так называемая Аттическая система счисления, название происходит от области Греции – Аттики со столицей Афины.

В этой системе числа 1, 2, 3, 4 изображались соответствующим количеством вертикальных полосок. Число 5 записывалось специальным знаком  (древнее начертание буквы "Пи", с которой начиналось слово "пять" - "пенте"). Числа 6, 7, 8, 9 обозначались сочетаниями этих знаков.

Число 10 обозначалось - заглавной "Дельта" от слова "дека" - "десять". Числа 100, 1 000 и 10 000 обозначались H, X, M. Числа 50, 500, 5 000 обозначались комбинациями чисел 5 и 10, 5 и 100, 5 и 1 000 (см. слайд)

  Примерно в третьем веке до нашей эры аттическая система счисления в Греции была вытеснена другой, так называемой "Ионийской" системой (она возникла в Милеете – греческая малоазиатская колония Ионии).

Для обозначения тысяч и десятков тысяч пользовались теми же цифрами, но только с добавлением особого значка '. Любая буква с этим значком сразу же становилась в тысячу раз больше.

Для отличия цифр и букв писали черточки над цифрами.

- 503

- 731

НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Славянская система счисления

Эта нумерация была создана вместе со славянской алфавитной системой для перевода священных библейских книг для славян греческими монахами братьями Кириллом и Мефодием в IX веке. Эта форма записи чисел получила большое распространение в связи с тем, что имела полное сходство с греческой записью чисел. До XVII века эта форма записи чисел была официальной на территории современной России, Белоруссии, Украины, Болгарии, Венгрии, Сербии и Хорватии. До сих пор православные церковные книги используют эту нумерацию.

Числа записывали из цифр так же слева, направо, от больших к меньшим. Числа от 11 до 19 записывались двумя цифрами, причем единица шла перед десятком.

Для того чтобы не перепутать буквы и цифры, использовались титла - горизонтальные черточки над числами, что мы видим на рисунке. Для обозначения чисел больших, чем 900 использовались специальные значки, которые дорисовывались к букве.

-

-

7

НЕПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Римская система счисления

Это, наверное, самая известная система, после «арабской», она возникла более двух с половиной тысяч лет назад в Древнем Риме. Числа в этой системе, так же как и у нас записывались слева направо, от больших к меньшим.

О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. В римской нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы счисления. В языке же римлян ни каких следов пятеричной системы нет. Значит, эти цифры были заимствованы римлянами у другого народа (скорее всего этрусков). Такая нумерация преобладала в Италии до XIII века, а в других странах Западной Европы - до XVI века.

Итак, для обозначения цифр в латинском языке приняты комбинации следующих 7 знаков: I(1), V (5), X (10), L (50), C(100), D(500), M (1000).

Римскими цифрами  пользовались  очень долго и до сих пор пользуются.  Еще 200 лет назад в деловых бумагах числа должны были обозначаться римскими цифрами  (считалось, что обычные арабские цифры легко подделать). Именно их принято использовать при нумерации столетий и книжных глав, при обозначений размеров одежды и ступеней в музыке.

Для записи чисел используются два правила:

1- каждый меньший знак, поставленный слева от

большего, вычитается из него;

2- каждый меньший знак, поставленный справа от

большего, прибавляется к нему.

Образование чисел в римской системе счисления демонстрируется с помощью мела на доске.

Недостатки непозиционных системы счисления

Непозиционные системы счисления имеют ряд существенных недостатков:

1.    Существует постоянная  потребность введения новых знаков для записи больших чисел.

2.    Невозможно представлять дробные и отрицательные числа.

3.    Сложно выполнять арифметические операции, так как не существует алгоритмов их выполнения. В частности, у всех народов наряду с системами счисления были способы пальцевого счета, а у греков был счетная доска абак – что-то наподобие наших счетов.

Но мы до сих пор пользуемся элементами непозиционной системы счисления в обыденной речи, в частности, мы говорим сто, а не десять десятков, тысяча, миллион, миллиард, триллион.

Далее рассмотрим позиционные системы счисления

Памятник Петру I

«Медный всадник»

в Санкт-Петербурге

Евангелическо-лютеранский Храм в честь Святой троицы

Город Москва

Куранты на Спасской башне Московского Кремля

Юбилейная медаль

«Тридцать лет победы в Великой Отечественной войне 1941 – 1945 гг.»

7

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

.

Система счёта у древних Майя

Эта система очень интересна тем, что на ее развитие не повлияла ни одна из цивилизаций Европы и Азии. Эта система применялась для календаря и астрономических наблюдений. Характерной особенностью ее было наличие нуля (изображение ракушки). Основанием этой системы было число 20, хотя сильно заметны следы пятеричной системы. Первые 19 чисел получались путем комбинирование точек (один) и черточек (пять).

Число 20 изображалось из двух цифр, ноль и один наверху и называлось уиналу. Записывались числа столбиком, внизу располагались наименьшие разряды, вверху наибольшие, в результате получалась «этажерка» с полками. Если число ноль появлялось без единицы наверху, то это обозначало, что единиц данного разряда нет. Но, если хоть одна единица была в этом разряде, то знак нуля исчезал, например, число 21.

.

- 55

- 249

- 21

- 20

7

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Вавилонская система счисления

- - единицы

- ноль

- десятки

- 3

- 20

В древнем Вавилоне примерно во II тысячелетие до нашей эры была такая система счисления - числа менее 60 обозначались с помощью двух знаков. Они имели клинообразный вид, так как вавилоняне писали на глиняных табличках палочками треугольной формы. Числа больше 60 записывались по разрядам, с небольшими пробелами между ними.

Лишь в V веке до нашей эры был введен особый знак  - наклонный клин для обозначения пропущенных разрядов, игравший роль нуля.

1*60*60+2*60+5 = 3725

2*60*60+3 = 7203

- 32

- 3725

- 7203

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Древнекитайская система счисления

Великая Китайская стена –

символ Китая

Эта система одна из старейших и самых прогрессивных, поскольку в нее заложены такие же принципы, как и в современную «арабскую», которой мы с Вами пользуемся. Возникла эта система около 4 000 тысяч лет тому назад в Китае.

Числа в этой системе, так же как и у нас записывались слева направо, от больших к меньшим. Если десятков, единиц, или какого-то другого разряда не было, то сначала ничего не ставили и переходили к следующему разряду. (Во времена династии Мин был введен знак для пустого разряда - кружок - аналог нашего нуля). Чтобы не перепутать разряды использовали несколько служебных иероглифов, писавшихся после основного иероглифа, и показывающих какое значение принимает иероглиф-цифра в данном разряде.

-1000

-548

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Десятичная система счисления

Арабская нумерация самая распространенная на сегодняшний день нумерация, которой мы пользуемся в настоящее время.

Применяемые в настоящее время цифры 1234567890 сложились в Индии около 400 г.н.э. Арабы стали пользоваться подобной нумерацией около 800 г.н.э., а примерно в 1200 г.н.э. ее начали применять в Европе, однако в Европе они стали известны благодаря трудам арабских математиков, и потому за ними утвердилось название «арабские», хотя сами арабы вплоть до настоящего времени пользуются совсем другими символами.

Форма «арабских» цифр со временем сильно изменялась. Та форма, в которой мы их пишем, установилась XVI веке.

В России арабская нумерация стала использоваться при Петре I (до конца XVII века сохранилась славянская нумерация).

По мнению марроканского историка Абделькари Боунжира арабским цифрам в их первоначальном варианте было придано значение в строгом соответствии с числом углов, которые образуют фигуры.

ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

Основание системы – это количество

различных знаков, используемых для

изображения чисел в данной системе.

Двоичная

0, 1

Восьмеричная

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

На данном этапе демонстрации вводятся понятия основания системы, разряда числа. Следует помнить и не забывать, что первый разряд числа является нулевым.

Десятичная

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Шестнадцатеричная

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B , C,D,E,F

Запись числа в развернутой форме

Десятичная

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Свернутая форма

777 10

Развернутая форма

7∙10 2 +7∙10 1 +7∙10 0

777 10 =

На данном этапе демонстрации вводятся понятия основания системы, разряда числа. Следует помнить и не забывать, что первый разряд числа является нулевым.

Любое десятичное число можно представить в виде суммы степеней числа 10 – основания системы.

Запись числа в развернутой форме

Десятичная

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Свернутая форма

777 ,77 10

A 10 =a n-1 a n-2 …a 0 ,a -1 …a -m

Развернутая форма

777 ,77 10 =

На данном этапе демонстрации вводятся понятия основания системы, разряда числа. Следует помнить и не забывать, что первый разряд числа является нулевым.

= 7∙10 2 +7∙10 1 +7∙10 0 +7∙10 -1 +7∙10 -2

A 10 =a n-1 ∙10 n-1 +a n-2 ∙10 n-2 +…+a 0 ∙10 0 +a -1 ∙10 -1 +…+a -m ∙10 -m

Запись числа в развернутой форме

Двоичная

0, 1

Свернутая форма

A 2 =a n-1 a n-2 …a 0 ,a -1 …a -m

101,1 2

Развернутая форма

101,1 2 =

1 ∙ 2 2 + 0 ∙ 2 1 + 1 ∙ 2 0 + 1 ∙2 -1

A 2 =a n-1 ∙ 2 n-1 +a n-2 ∙ 2 n-2 +…+a 0 ∙ 2 0 +

a -1 ∙ 2 -1 +…+a -m ∙ 2 -m

На данном этапе демонстрации вводятся понятия основания системы, разряда числа. Следует помнить и не забывать, что первый разряд числа является нулевым.

Любое двоичное число можно представить в виде суммы степеней числа 2 – основания системы.

Запись числа в развернутой форме

Системы счисления с произвольным основанием ( q- ичная система счисления)

0, 1, 2, . . . ,q-1

A q =a n-1 ∙q n-1 +a n-2 ∙q n-2 +…+a 0 ∙q 0 +

a -1 ∙q -1 +…+a -m ∙q -m

В q- ичной системе счисления числа в развернутой форме записываются в виде суммы степеней основания q с коэффициентами, в качестве которых выступают цифры данного числа.

На данном этапе демонстрации вводятся понятия основания системы, разряда числа. Следует помнить и не забывать, что первый разряд числа является нулевым.

Запись числа в развернутой форме

Восьмеричная

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

Свернутая форма

374,2 8

Развернутая форма

На данном этапе демонстрации вводятся понятия основания системы, разряда числа. Следует помнить и не забывать, что первый разряд числа является нулевым.

374,28=

3∙8 2 +7∙8 1 +4∙8 0 + 2 ∙ 8 -1

Запись числа в развернутой форме

Шестнадцатеричная

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, A,B,C,D,E,F

Свернутая форма

8A , F 16

Развернутая форма

8 ∙ 16 1 + A ∙ 16 0 +F∙16 -1

8A , F =

На данном этапе демонстрации вводятся понятия основания системы, разряда числа. Следует помнить и не забывать, что первый разряд числа является нулевым.

8A , F =

8 ∙ 16 1 + 10 ∙ 16 0 +15∙16 -1

1. Какое минимальное основание может иметь система счисления, если в ней записаны числа 174; 23; 10012; 97.

2. Запишите числа в развернутой форме:

23,45 10

10010,01 2

54,7 8

5 C ,2А1 6

3.Запишите числа в римской системе счисления:

793 10

1642 10

Слайд демонстрируется на этапе первичного закрепления, изученного на уроке. На слайде представлены вопросы для реализации самоконтроля учащихся.