kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Системы счисления

Нажмите, чтобы узнать подробности

Презентация для проведения урока в 8 классе по тете система счисления

Просмотр содержимого документа
«Системы счисления»

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНФОРМАТИКИ

Ключевые слова

Ключевые слова

  • система счисления
  • цифра
  • алфавит
  • позиционная система счисления
  • основание
  • развёрнутая форма записи числа
  • свёрнутая форма записи числа
  • двоичная система счисления
  • восьмеричная система счисления
  • шестнадцатеричная система счисления
Общие сведения Система счисления - это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Цифры - знаки, при помощи которых записываются числа. Алфавит системы счисления - совокупность цифр. Вавилонская система счисления Египетская система счисления Древнеславянская система счисления

Общие сведения

Система счисления - это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел.

Цифры - знаки, при помощи которых записываются числа.

Алфавит системы счисления - совокупность цифр.

Вавилонская система счисления

Египетская система счисления

Древнеславянская система счисления

Узловые и алгоритмические числа Узловые числа обозначаются цифрами. Алгоритмические числа получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел.   100 +   10 + =

Узловые и алгоритмические числа

Узловые числа обозначаются цифрами.

Алгоритмические числа получаются в результате каких-либо операций из узловых чисел.

100 +

10 +

=

Унарная система счисления Простейшая и самая древняя система - унарная система счисления. В ней для записи любых чисел используется всего один символ - палочка, узелок, зарубка, камушек. Узелки, дощечки Узелковое письмо «кипу» Примеры узлов «кипу» Зарубки Камушки

Унарная система счисления

Простейшая и самая древняя система - унарная система счисления. В ней для записи любых чисел используется всего один символ - палочка, узелок, зарубка, камушек.

Узелки, дощечки

Узелковое письмо «кипу»

Примеры узлов «кипу»

Зарубки

Камушки

Непозиционная система счисления Система счисления называется непозиционной , если количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа. Римская система счисления Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила: каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него. M X V I I I C V X 1935 X X X M 28 L X 40 =

Непозиционная система счисления

Система счисления называется непозиционной , если количественный эквивалент (количественное значение) цифры в числе не зависит от её положения в записи числа.

Римская система счисления

Здесь алгоритмические числа получаются путём сложения и вычитания узловых чисел с учётом следующего правила:

каждый меньший знак, поставленный справа от большего, прибавляется к его значению, а каждый меньший знак, поставленный слева от большего, вычитается из него.

M

X

V

I

I

I

C

V

X

1935

X

X

X

M

28

L

X

40

=

Позиционная система счисления Система счисления называется позиционной , если количественный эквивалент цифры в числе зависит от её положения в записи числа. Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит. Алфавит десятичной системы составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Позиционная система счисления

Система счисления называется позиционной , если количественный эквивалент цифры в числе зависит от её положения в записи числа.

Основание позиционной системы счисления равно количеству цифр, составляющих её алфавит.

Алфавит десятичной системы составляют цифры 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Десятичная система счисления Цифры  1234567890 сложились в Индии около  400 г. н. э. Арабы стали пользоваться подобной нумерацией около  800 г. н. э. Примерно в  1200 г. н. э.  эту нумерацию начали применять в Европе.

Десятичная система счисления

Цифры 1234567890 сложились в Индии около 400 г. н. э.

Арабы стали пользоваться подобной нумерацией около 800 г. н. э.

Примерно в 1200 г. н. э. эту нумерацию начали применять в Европе.

Основная формула В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде: A q =±(a n–1  q n–1 + a n–2   q n–2 +…+ a 0   q 0 + a –1  q –1 +…+ a –m  q –m )  Здесь: А — число; q — основание системы счисления; a i — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления; n — количество целых разрядов числа; m — количество дробных разрядов числа; q i — «вес» i -го разряда. Такая запись числа называется развёрнутой формой записи.

Основная формула

В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:

A q =±(a n–1 q n–1 + a n–2 q n–2 +…+ a 0 q 0 + a –1 q –1 +…+ a –m q –m )

Здесь:

А — число;

q — основание системы счисления;

a i — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;

n — количество целых разрядов числа;

m — количество дробных разрядов числа;

q i — «вес» i -го разряда.

Такая запись числа называется развёрнутой формой записи.

Развёрнутая форма A q =±(a n–1   q n–1 + a n–2   q n–2 +…+ a 0   q 0 + a –1   q –1 +…+ a –m   q –m )  Примеры записи чисел в развёрнутой форме: 2012=2  10 3 +0  10 2 +1  10 1 +2  10 0 0,125=1  10 -1 +2  10 -2 +5  10 –3 14351,1=1  10 4 +4  10 3 +3  10 2 +5  10 1 +1  10 0 +1  10 –1

Развёрнутая форма

A q =±(a n–1q n–1 + a n–2q n–2 +…+ a 0q 0 + a –1q –1 +…+ a –mq –m )

Примеры записи чисел в развёрнутой форме:

2012=2  10 3 +0  10 2 +1  10 1 +2  10 0

0,125=1  10 -1 +2  10 -2 +5  10 –3

14351,1=1  10 4 +4  10 3 +3  10 2 +5  10 1 +1  10 0 +1  10 –1

Двоичная система  счисления Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2 . Двоичный алфавит : 0 и 1. Для целых двоичных чисел можно записать: a n–1 a n–2 …a 1 a 0 = a n–1  2 n–1 + a n–2  2 n–2 +…+ a 0  2 0 Например: 10011 2 =1  2 4 +0  2 3 +0  2 2 +1  2 1 +1  2 0 = 2 4 +2 1 + 2 0 =19 10 Правило перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления: Вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа

Двоичная система счисления

Двоичной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 2 .

Двоичный алфавит : 0 и 1.

Для целых двоичных чисел можно записать:

a n–1 a n–2 …a 1 a 0 = a n–1 2 n–1 + a n–2 2 n–2 +…+ a 0 2 0

Например:

10011 2 =1 2 4 +0 2 3 +0 2 2 +1 2 1 +1 2 0 = 2 4 +2 1 + 2 0 =19 10

Правило перевода двоичных чисел в десятичную систему счисления:

Вычислить сумму степеней двойки, соответствующих единицам в свёрнутой форме записи двоичного числа

Правило перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления  a n–1  2 n–1 +a n–2  2 n–2 +… a 1  2 1 +a 0 = a n–1  2 n–2 +…+ a 1 (остаток a 0 ) 2  a n–1  2 n–1 +a n–2  2 n–2 +… a 1 = a n–1  2 n–3 +…+ a 2 (остаток a 1 ) 2  a n–1  2 n–1 +a n–2  2 n–2 +… a 2 = a n–1  2 n–4 +…+ a 3 (остаток a 2 ) 2 . . . На n -м шаге получим набор цифр: a 0 a 1 a 2 …a n–1

Правило перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления

a n–1  2 n–1 +a n–2  2 n–2 +… a 1  2 1 +a 0

= a n–1  2 n–2 +…+ a 1 (остаток a 0 )

2

a n–1  2 n–1 +a n–2  2 n–2 +… a 1

= a n–1  2 n–3 +…+ a 2 (остаток a 1 )

2

a n–1  2 n–1 +a n–2  2 n–2 +… a 2

= a n–1  2 n–4 +…+ a 3 (остаток a 2 )

2

. . .

На n -м шаге получим набор цифр: a 0 a 1 a 2 …a n–1

Компактное  оформление 363 10 = 101101011 2 314 10 = 100111010 2

Компактное оформление

363 10 = 101101011 2

314 10 = 100111010 2

Восьмеричная система  счисления Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8. Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. a n–1 a n–2 …a 1 a 0 = a n–1  8 n–1 +a n–2  8 n–2 +…+a 0  8 0 Пример : 1063 8 =1  8 3 +0  8 2 +6  8 1 +3  8 0 =563 10 . Для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения. Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю.

Восьмеричная система счисления

Восьмеричной системой счисления называется позиционная система счисления с основанием 8.

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.

a n–1 a n–2 …a 1 a 0 = a n–1  8 n–1 +a n–2  8 n–2 +…+a 0  8 0

Пример : 1063 8 =1  8 3 +0  8 2 +6  8 1 +3  8 0 =563 10 .

Для перевода целого восьмеричного числа в десятичную систему счисления следует перейти к его развёрнутой записи и вычислить значение получившегося выражения.

Для перевода целого десятичного числа в восьмеричную систему счисления следует последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на 8 до тех пор, пока не получим частное, равное нулю.

Шестнадцатеричная система  счисления Основание : q = 16. Алфавит : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. 3АF 16 =3  16 2 +10  16 1 +15  16 0 =768+160+15=943 10 . Переведём десятичное число 154 в шестнадцатеричную систему счисления: 16 154 16 -144 9 9 10 0 (А) 154 10 = 9А 16

Шестнадцатеричная система счисления

Основание : q = 16.

Алфавит : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

3АF 16 =3  16 2 +10  16 1 +15  16 0 =768+160+15=943 10 .

Переведём десятичное число 154 в шестнадцатеричную систему счисления:

16

154

16

-144

9

9

10

0

(А)

154 10 = 9А 16

Правило перевода целых десятичных чисел в систему счисления с основанием q 1) последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, равное нулю; 2) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления; 3) составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего полученного остатка. Цифровые весы

Правило перевода целых десятичных чисел в систему счисления с основанием q

1) последовательно выполнять деление данного числа и получаемых целых частных на основание новой системы счисления до тех пор, пока не получим частное, равное нулю;

2) полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления;

3) составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего полученного остатка.

Цифровые весы

Таблица соответствия 10-х, 2-х, 8-х и 16-х чисел от 1 до 16

Таблица соответствия 10-х, 2-х, 8-х и 16-х чисел от 1 до 16

Двоичная арифметика Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании следующих таблиц сложения и умножения: Арифметика одноразрядных двоичных чисел Арифметика многоразрядных двоичных чисел Умножение и деление двоичных чисел

Двоичная арифметика

Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании следующих таблиц сложения и умножения:

Арифметика одноразрядных двоичных чисел

Арифметика многоразрядных двоичных чисел

Умножение и деление двоичных чисел

«Компьютерные» системы счисления Двоичная система используется в компьютерной технике, так как:  двоичные числа представляются в компьютере с помощью простых технических элементов с двумя устойчивыми состояниями;  представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво;  двоичная арифметика наиболее проста;  существует математический аппарат, обеспечивающий логические преобразования двоичных данных. Двоичный код удобен для компьютера. Человеку неудобно пользоваться длинными и однородными кодами. Специалисты заменяют двоичные коды на величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления.

«Компьютерные» системы счисления

Двоичная система используется в компьютерной технике, так как:

  • двоичные числа представляются в компьютере с помощью простых технических элементов с двумя устойчивыми состояниями;
  • представление информации посредством только двух состояний надёжно и помехоустойчиво;
  • двоичная арифметика наиболее проста;
  • существует математический аппарат, обеспечивающий логические преобразования двоичных данных.

Двоичный код удобен для компьютера.

Человеку неудобно пользоваться длинными и однородными кодами. Специалисты заменяют двоичные коды на величины в восьмеричной или шестнадцатеричной системах счисления.

Самое главное Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Система счисления называется позиционной , если количественный эквивалент цифры в числе зависит от её положения в записи числа. В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде: A q =±(a n–1  q n–1 + a n–2  q n–2 +…+ a 0  q 0 + a –1  q –1 +…+ a –m  q –m ) Здесь: А — число; q — основание системы счисления; a i — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления; n — количество целых разрядов числа; m — количество дробных разрядов числа; q i — «вес» i -го разряда.

Самое главное

Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел.

Система счисления называется позиционной , если количественный эквивалент цифры в числе зависит от её положения в записи числа.

В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:

A q =±(a n–1 q n–1 + a n–2 q n–2 +…+ a 0 q 0 + a –1 q –1 +…+ a –m q –m )

Здесь:

А — число;

q — основание системы счисления;

a i — цифры, принадлежащие алфавиту данной системы счисления;

n — количество целых разрядов числа;

m — количество дробных разрядов числа;

q i — «вес» i -го разряда.

Вопросы и задания

Переведите целые числа из десятичной системы счисления в восьмеричную:

а) 513

б) 600

в) 2010

Выполните операцию умножения над двоичными числами:

Запишите десятичные эквиваленты следующих чисел:

а) 1010 · 11

а) 172 8

б) 111 · 101

б) 2ЕА 16

в) 1010 · 111

в) 101010 2

г) 10,1 2

д) 243 6

Переведите целые числа из десятичной системы счисления в двоичную:

а) 89

б) 600

в) 2010

Запишите в развёрнутом виде числа:

Какое минимальное основание имеет система счисления, если в ней записаны числа 123, 222, 111, 241? Определите десятичный эквивалент данных чисел в найденной системе счисления.

Переведите целые числа из десятичной системы счисления в шестнадцатеричную:

а) 143,511 10

а) 513

б) 600

б) 143511 8

в) 143511 16

в) 2010

г) 1435,11 8

Укажите, какое из чисел 110011 2 , 111 4 ,35 8 и1В 16 является:

а) наибольшим

б) наименьшим

Чем различаются унарные, позиционные и непозиционные системы счисления?

Расставьте знаки арифметических операций так, чтобы были верны следующие равенства в двоичной системе:

Найдите основание х системы счисления, если:

Выполните операцию сложения над двоичными числами:

Как от свёрнутой формы записи десятичного числа перейти к его развёрнутой форме?

Объясните, почему позиционные системы счисления с основаниями 5, 10, 12 и 20 называют системами счисления анатомического происхождения.

Цифры каких систем счисления приведены на рисунке?

а) 14 x =9 10

а) 101010 + 1101

а) 1100 ? 11 ? 100 = 100000;

б) 2002 x =130 10

б) 1100 ? 10 ? 10 = 100;

б) 1010 + 1010

в) 1100 ? 11 ? 100 = 0.

в) 10101 + 111

Вычислите выражения:

Заполните таблицу, в каждой строке которой одно и то же число должно быть записано в системах счисления с основаниями 2, 8, 10 и 16.

Верны ли следующие равенства?

а) 33 4 =21 7

а) (1111101 2 +AF 16 ):36 8

б) 33 8 =21 4

б) 125 8 + 101 2 ·2A 16 – 141 8

Ответ дайте в десятичной системе счисления.

Задачник «Системы счисления»

Опорный конспект Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел. Цифры - знаки, при помощи которых записываются числа. Алфавит - совокупность цифр системы счисления. Система счисления Позиционная Непозиционная Римская Десятичная Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде: A q =±(a n–1  q n–1 + a n–2    q n–2 +…+ a 0    q 0 + a –1    q –1 +…+ a –m    q –m ).

Опорный конспект

Система счисления — это знаковая система, в которой приняты определённые правила записи чисел.

Цифры - знаки, при помощи которых записываются числа.

Алфавит - совокупность цифр системы счисления.

Система счисления

Позиционная

Непозиционная

Римская

Десятичная

Двоичная

Восьмеричная

Шестнадцатеричная

В позиционной системе счисления с основанием q любое число может быть представлено в виде:

A q =±(a n–1q n–1 + a n–2q n–2 +…+ a 0q 0 + a –1q –1 +…+ a –mq –m ).

Электронные образовательные ресурсы

Электронные образовательные ресурсы

  • http://school-collection.edu.ru/catalog/res/caeea6cc-bd1d-4f47-9046-1434ac57e111/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 – Умножение и деление двоичных чисел
  • http://school-collection.edu.ru/catalog/res/402b749c-240b-4e16-9e4d-bea3fc4fa8fa/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 – История развития систем счисления
  • http://school-collection.edu.ru/catalog/res/1a264912-eca9-4b45-8d77-c3655b199113/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 – Перевод недесятичных чисел в десятичную систему счисления
  • http://school-collection.edu.ru/catalog/res/78ba290c-0f7c-4067-aaf4-d72f40f49f3b/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 - Перевод десятичных чисел в другие системы счисления
  • http://school-collection.edu.ru/catalog/res/67cbf74b-f85a-4e9d-88c5-58f203fb90ce/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 - Сложение и вычитание многоразрядных двоичных чисел
  • http://school-collection.edu.ru/catalog/res/8bb7eefa-4ed9-43fe-aebe-4d6ac67bc6ec/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 - Сложение и вычитание одноразрядных двоичных чисел
  • http://school-collection.edu.ru/catalog/res/fc77f535-0c00-4871-b67c-fa2ecf567d46/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 – Задачник
  • http://school-collection.edu.ru/catalog/res/a96df437-5ae3-4cab-8c5f-8d4cd78c5775/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 - Развернутая форма записи числа
  • http://school-collection.edu.ru/catalog/res/19d0fb95-871d-4063-961d-e7dc5725e555/?from=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66&interface=catalog&class=51&subject=19&rub_guid[]=a30a9550-6a62-11da-8cd6-0800200c9a66 – Тренировочный тест


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Информатика

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 8 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Системы счисления

Автор: Алексеева Юлия Васильевна

Дата: 13.01.2021

Номер свидетельства: 569981

Похожие файлы

object(ArrayObject)#871 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(78) "Конспект урока по теме "Системы счисления" "
    ["seo_title"] => string(47) "konspiekt-uroka-po-tiemie-sistiemy-schislieniia"
    ["file_id"] => string(6) "102301"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1402494783"
  }
}
object(ArrayObject)#893 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(110) "План-конспект урока по теме "Системы счисления. Магия чисел" "
    ["seo_title"] => string(68) "plan-konspiekt-uroka-po-tiemie-sistiemy-schislieniia-maghiia-chisiel"
    ["file_id"] => string(6) "223069"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1437195761"
  }
}
object(ArrayObject)#871 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(173) "Конспект урока на тему: "Система счисления. Перевод чисел из одной системы счисления в другой." "
    ["seo_title"] => string(105) "konspiekt-uroka-na-tiemu-sistiema-schislieniia-pierievod-chisiel-iz-odnoi-sistiemy-schislieniia-v-drughoi"
    ["file_id"] => string(6) "136214"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1417072628"
  }
}
object(ArrayObject)#893 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(114) "Контрольная работа № 1 по теме: "Системы счисления" для 6 класса"
    ["seo_title"] => string(67) "kontrol-naia-rabota-1-po-tiemie-sistiemy-schislieniia-dlia-6-klassa"
    ["file_id"] => string(6) "253610"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "testi"
    ["date"] => string(10) "1447611853"
  }
}
object(ArrayObject)#871 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(243) "Системы счисления: двоичная, восьмеричная, десятичная, шестнадцатеричная. Перевод  целых чисел из одной системы счисления в другую "."
    ["seo_title"] => string(156) "sistiemy-schislieniia-dvoichnaia-vos-mierichnaia-diesiatichnaia-shiestnadtsatierichnaia-pierievod-tsielykh-chisiel-iz-odnoi-sistiemy-schislieniia-v-drughuiu"
    ["file_id"] => string(6) "269098"
    ["category_seo"] => string(11) "informatika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1450767077"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства