Системы счисления

Представление числовой информации с помощью систем счисления

« Мысль – выражать все числа немногими знаками, придавая им значение по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно оценить, насколько она удивительна …»

Пьер Симон Лаплас (1 7 49 – 18 27 гг.)

История систем счисления

Современный человек в повседневной жизни постоянно сталкивается с числами и цифрами: мы запоминаем номера автобусов и телефонов, в магазине подсчитываем стоимость покупок, ведем свой семейный бюджет и т.д. и т.п.

Числа, цифры…они с нами везде.

А две тысячи лет назад что знал человек о числах?

А пять тысяч лет назад?

Сегодня, в 21 веке, человечество для записи чисел использует в основном десятичную систему счисления.

А что такое система счисления?

Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора специальных знаков.

Основание – это количество цифр используемых системой счисления.

Различные системы счисления делятся на две группы: позиционные и непозиционные.

Позиционные Непозиционные

XXX

десять десять

2 2 2

две два две сотни десятка единицы

десять

• Система счисления, в которой значение цифры не зависит от ее позиции в записи числа.

Система счисления, в которой значение цифры

зависит от ее позиции в записи числа.

5

Анатомического происхождения

• Десятичная Пятеричная Двенадцатеричная Двадцатеричная
• Десятичная
• Пятеричная
• Двенадцатеричная
• Двадцатеричная

• Алфавитные

• Славянская Древнеармянская Древнегрузинская Древнегреческая
• Славянская
• Древнеармянская
• Древнегрузинская
• Древнегреческая

• Прочие

• Римская Вавилонская
• Римская
• Вавилонская

• Машинные

• Двоичная Восьмеричная Шестнадцатеричная
• Двоичная
• Восьмеричная
• Шестнадцатеричная

Обозначения в различных системах счисления ( Приложение1).

• Обозначения в различных системах счисления ( Приложение1).

Непозиционные системы

Унарная – одна цифра обозначает единицу (1 день, 1 камень, 1 баран, …)

Использовалась в древности (10-11 тыс.лет до н.э.). Для записи чисел применялся только один символ – палочка.

Неудобства: громоздкая запись, большая вероятность ошибки.

В дальнейшем люди стали группировать палочки по 3, 5, 10 штук. И при записи стали использовать знаки, соответствующие группе из нескольких предметов.

5

Древнеегипетская десятичная (непозиционная)

Возникла во второй половине 3 тыс. до н.э. Для обозначения ключевых чисел 1, 10, 100 и т.д. использовались специальные значки – иероглифы. Все остальные числа составлялись из этих ключевых при помощи операции сложения. Например, для изображения числа 3252 рисовали три цветка лотоса (3 000), два свернутых пальмовых листа (200), пять дуг (50) и два шеста (2). Причем знаки можно было записывать сверху вниз, справа налево, вперемежку.

В старину на Руси широко применялись системы счисления, напоминающие систему Древнего Египта.

Звезда – тысяча рублей

Колесо – сто рублей

Квадрат – десять рублей

Х - рубль

| - копейку.

Славянская система счисления

алфавитная система счисления (непозиционная)

Более совершенные непозиционные с/с.

К их числу относились славянская, греческая, финикийская и др. В них числа от 1 до 9, целые количества десятков (от 10 до 90) и целые количества сотен (от 10 до 900) обозначались буквами алфавита.

В России славянская нумерация сохранилась до конца 17 века. При Петре I возобладала арабская нумерация, которой пользуемся до сих пор.

Греки над буквами, обозначающими числа, ставили специальный знак – титло.

Римская система счисления

Знакомая нам римская система принципиально ненамного отличается от египетской.

В ней для обозначения чисел

1, 5, 10, 50, 100, 500 и 1000

используются заглавные латинские буквы I , V, X, L , С, D и М (соответственно), являющиеся «цифрами» этой системы счисления. Число в римской системе счисления обозначается набором стоящих подряд «цифр».

Римская система счисления

Правила :

• (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд если младшая цифра (только одна !) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы ( частично непозиционная!)
• (обычно) не ставят больше трех одинаковых цифр подряд
• если младшая цифра (только одна !) стоит слева от старшей, она вычитается из суммы ( частично непозиционная!)

Примеры :

MDC X L I V =

+ 5

= 1 644

+ 500

– 1

+ 50

– 10

+ 100

1000

2389 = 2000 + 300 + 80 + 9

M M

CCC

LXXX

IX

2389 = M M C C C L X X X I X

12

Примеры:

MMCMXCV =

1895 =

12

Индийская мультипликативная (позиционная)

Системы счисления, основанные на позиционном принципе, возникли независимо одна от другой в древнем Междуречье (Вавилон), у племени Майя и в Индии, что говорит о неслучайности перехода к позиционным системам счисления.

В 5в. в Индии и Китае зародились системы, которые использовали не только принцип сложения, но и умножения.

Десятичная (позиционная)

Современная десятичная система нумерации возникла на основе индийской. Такая с/с дает принципиальную возможность записывать сколь угодно большие числа. Запись компактна и удобна для арифметических операций.

В 10 веке десятичная система доходит до Испании, в начале 12в. она появляется и в других странах Европы. Она получила название арабской, потому что в Европе с ней познакомились впервые по латинским переводам с арабского.

С введением десятичных дробей десятичная система стала универсальным средством для записи всех действительных чисел.

Вавилонская шестидесятеричная (позиционная)

2 тыс. лет до н.э. Первая система, основанная на позиционном принципе. Сыграла большую роль в развитии математики и астрономии. До сих пор час делим на 60 минут, минуту – на 60 секунд, окружность – на 360 градусов.

Все числа составлялись из двух знаков: прямой клин (для обозначения единиц) и лежачий клин (для обозначения десятков). Число 60 снова обозначалось прямым клином, также, как и 3600. Для определения значения числа надо было его запись разбить на разряды справа налево. Цифра в каждом последующем разряде была в 60 раз больше той же цифры в предыдущем.

Таблицу умножения вавилоняне никогда не запоминали, так как это было практически невозможно. При вычислении они пользовались готовыми таблицами умножения.

Позиционные системы счисления

Система счисления

Основание

Десятичная

Алфавит цифр

10

Двоичная

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

2

0, 1

Десятичная система: первоначально – счет на пальцах изобретена в Индии, заимствована арабами, завезена в Европу.

Другие позиционные системы:

Алфавит: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 Основание (количество цифр): 10

• двоичная , восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика) двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов) двадцатеричная (1 франк = 20 су) шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)
• двоичная , восьмеричная, шестнадцатеричная (информатика)
• двенадцатеричная (1 фут = 12 дюймов, 1 шиллинг = 12 пенсов)
• двадцатеричная (1 франк = 20 су)
• шестидесятеричная (1 минута = 60 секунд, 1 час = 60 минут)

Пример 1.

Свернутая форма

Х 10 =673,49 10

Развернутая форма

2 1 0 -1 -2

673 ,4 9 10 =

6*10 2 +7*10 1 +3*10 0 +4*10 -1 +9* 10 -2

=6*100+7*10+3*1+0,4+0,09=673,49 10

Пример 2.

Свернутая форма

Х 10 =101,11 2

Развернутая форма

2 1 0 -1 -2

101 ,11 2 =

1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 +1*2 -1 +1* 2 -2 =4+0+1+1/2+1/4=5,75 10

4 3 2 1 0 -1 -2

Записать в развернутой форме следующие числа

• 12345,6789 10
• 1000110,1101 2
• 123,706 8
• 10212 3
• 12 A5B0F,5E 16
• 11 43 ,1 21 5
• 555,55 6
• 1203 , 1 4

Записать в свернутой форме

• 4 · 10 3 +0 · 10 2 +2 · 10 1 +9 · 10 0 +8 · 10 -1

• 1 · 2 5 +1 · 2 4 +1 · 2 3 +0 · 2 2 + 1 · 2 1 +1 · 2 0 +1 · 2 -1 +1 · 2 -2
• 6 · 16 3 + 10· 16 2 +0 · 16 1 + 12· 16 0 +1 · 1 6 -1

• 1 · 5 4 +3 · 5 3 + 0 · 5 2+ 4 · 5 1 + 0 · 5 0+ 0 · 5 -1+ 1 · 5 -2

Перевод чисел из десятичной системы счисления в любую другую

Представим число записанное в десятичной системе счисления в позиционных системах счисления:

двоичной, восьмеричной, шестнадцатеричной.

62 10 = А 2

67 10 = А 8

91 10 = А 16

Представим число 62 10

в двоичной системе счисления:

Ответ: 62 10 = 111110 2

Представим число 67 10

в восьмеричной системе счисления:

Ответ: 67 10 = 103 8

Представим число 91 10

в шестнадцатеричной системе счисления:

Ответ: 91 10 = 5 B 16

Правила перевода

Из десятичной системы счисления

в позиционные системы счисления:

• Разделить десятичное число на основание системы счисления. Получится частное и остаток.

• Выполнять деление до тех пор, пока последнее частное не станет меньшим основания новой системы счисления.
• Записать последнее частное и все остатки в обратном порядке. Полученное число и будет записью в новой системы счисления .

Перевод дробных чисел

P q

A 10

• Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой С.С. до тех пор, пока дробная часть не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность;
• полученные целые части произведения привести в соответствие с алфавитом новой С.С. ;
• составить дробную часть числа в новой С.С., начиная с целой части первого произведения.

0, 734 10 = х 2 = х 8 = х 16

0, 734

0, 734

0, 734

х 2

х 16

х 8

5

744

468

872

1 1

1

1

B

5

х 16

х 8

х 2

904

1 1

976

6

0

936

6

B

0

х 2

х 8

х 16

7

1

E

464

872

14

1

808

7

0, 734 10 =0,1 0 1 2

0, 734 10 =0, BBE 16

0, 734 10 =0, 567 8

Перевод чисел в десятичную систему счисления из любой другой

Перевод чисел в десятичную систему счисления из любой другой

P q A 10

• Представить число в развернутом виде и вычислить полученное выражение

Представим число 2010321 4

в десятичной системе счисления:

6 5 4 3 2 1 0

2010321 4 = 2∙4 6 +0∙4 5 +1∙4 4 +0∙4 3 +3∙4 2 +2∙4 1 +1∙4 0 =

Ответ: 2010321 4 =825 10

Представим число 347 8

в десятичной системе счисления:

2 1 0

347 8 = 3∙8 2 +4∙8 1 +7∙8 0 =192+32+7=231 10

Ответ: 347 8 =231 10

Представим число A 7В 16

в десятичной системе счисления:

2 1 0

А7В 16 =

10*16 2 +7*16 1 +11*16 0 =2560+112+11=

2683 10

Ответ: А7В 16 = 2683 10

Закрепление пройденного материала

Переведите число из десятичной системы в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную, а затем проверьте результаты, выполнив обратные действия.

• 125 10
• 229 10
• 209,125 10

Закрепление пройденного материала

• Переведите числа в десятичную систему, а затем проверьте результаты, выполнив обратные действия.

• 10110111 2
• 1011011 2
• 110100,11 2
• 517 8
• 123,41 8
• АВС 16
• 1 DE , C8 16

Итоги урока. Что нового узнали для себя на уроке, и что вам уже было знакомо? Каково ваше представление о числах сейчас, когда вы узнали о существовании других СС? Какие моменты вам были не понятны?