Презентация по информатике "Решение логических задач при подготовке к ЕГЭ".

Презентация по решению задач ЕГЭ по теме "Логика" .

Рассмотрены различные варианты задач с решениями.

Презентация поможет при подготовке к ЕГЭ.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?

Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.

Быстро и объективно проверять знания учащихся.

Сделать изучение нового материала максимально понятным.

Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.

Наладить дисциплину на своих уроках.

Получить возможность работать творчески.

=> ПОЛУЧИТЬ СУПЕРСПОСОБНОСТИ УЧИТЕЛЯ <=

Просмотр содержимого документа
«Презентация по информатике "Решение логических задач при подготовке к ЕГЭ". »

Решение логических задач

при подготовке к ЕГЭ

Автор: Сергеенкова И.М.,

учитель информатики.

ГБОУ Школа № 1191

Г. Москва

Сергеенкова ИМ - 1191

Что нужно знать для решения задач:

Для логических величин обычно используются три операции :

Конъюнкция – логическое умножение (И) – and, &, ∧ .

Дизъюнкция – логическое сложение (ИЛИ) – or, |, v .

Логическое отрицание (НЕ) – not, ¬ .

Дополнительные логические операции:

4. Импликация - логическое следование А В

5. Эквивалентность - логическое равенство А В

Логические выражения можно преобразовывать в соответствии с законами алгебры логики :

Законы рефлексивности a ∨ a = a a ∧ a = a

Законы коммутативности a ∨ b = b ∨ a a ∧ b = b ∧ a

Законы ассоциативности (a ∧ b) ∧ c = a ∧ (b ∧ c) (a ∨ b) ∨ c = a ∨ (b ∨ c)

Законы дистрибутивности a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)

Закон отрицания отрицания ¬ (¬ a) = a

Законы де Моргана ¬ (a ∧ b) = ¬ a ∨ ¬ b ¬ (a ∨ b) = ¬ a ∧ ¬ b

Законы поглощения a ∨ (a ∧ b) = a a ∧ (a ∨ b) = a

Таблицы истинности

Логические операции удобно описывать так называемыми таблицами истинности , в которых отражают результаты вычислений сложных высказываний при различных значениях исходных простых высказываний.

Простые высказывания обозначаются переменными (например, A и B ).

Дизъюнкция

Конъюнкция

Инверсия

Эквивалентность

Импликация

Задание 1.

Сколько различных решений имеет уравнение

(K v L v M) ^ (¬L ^ ¬M ^ N) = 1 ,

где K, L, M, N – логические переменные?

Решение задачи № 1

Высказывание (K v L v M) ^ (¬L ^ ¬M ^ N) истинно только в том случае, когда истинны оба высказывания ( K v L v M) и (¬L ^ ¬M ^ N).

Второе из этих высказываний, (¬L ^ ¬M ^ N ), истинно только при L = 0, M = 0, N = 1 .

При найденных значениях L и M первое высказывание, ( K v L v M), истинно, если K = 1 .

Ответ : уравнение имеет только одно решение.

Сергеенкова ИМ - 1191

Задание 2.

Сколько различных решений имеет уравнение

(K ^ L) v (M ^ N) = 1,

где K, L, M, N – логические переменные?

Сергеенкова ИМ - 1191

Решение задачи № 2

Высказывание (K ^ L) v (M ^ N ) истинно, когда истинно хотя бы одно из высказываний (K ^ L), (M ^ N).

Первое из этих высказываний, (K ^ L), истинно при K = 1, L = 1 , а поскольку второе высказывание при этом может принимать любое значение, то для M и N следует учитывать четыре различных набора: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1).

Второе из этих высказываний, (M ^ N), истинно при M = 1, N = 1, а поскольку первое высказывание при этом может принимать любое значение, то для K и L следует учитывать четыре различных набора: (0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1). Последний из этих наборов следует исключить, т.к. он уже учитывался ранее, когда M и N могли принимать любые значения.

Ответ : таким образом, уравнение имеет 7 решений.

Сергеенкова ИМ - 1191

M) v (L ^ K) v ¬N ложно. Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M, N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K =1, L = 1, M = 0, N = 1. Сергеенкова ИМ - 1191" width="640"

Задание 3 .

Укажите значения переменных K, L, M, N, при которых логическое выражение

(K - M) v (L ^ K) v ¬N

ложно.

Ответ запишите в виде строки из четырех символов: значений переменных K, L, M, N (в указанном порядке). Так, например, строка 1101 соответствует тому, что K =1, L = 1, M = 0, N = 1.

Сергеенкова ИМ - 1191

M) v (L ^ K) v ¬N ложно, когда ложны все высказывания K - M, L ^ K, ¬N. Первое из этих высказываний, K - M , ложно, если K = 1, M = 0. Второе из этих высказываний, L ^ K, при K = 1 ложно, если L = 0. Третье из этих высказываний, ¬N , ложно, если N = 1. Таким образом, значения переменных, при которых логическое выражение, заданное в условии задачи, ложно: 1001. Ответ : 1001. Сергеенкова ИМ - 1191" width="640"

Решение задачи 3 .

Высказывание (K - M) v (L ^ K) v ¬N ложно, когда ложны все высказывания

K - M,

L ^ K,

¬N.

Первое из этих высказываний, K - M , ложно, если

K = 1, M = 0.

Второе из этих высказываний, L ^ K, при K = 1 ложно,

если L = 0.

Третье из этих высказываний, ¬N , ложно, если N = 1.

Таким образом, значения переменных, при которых логическое выражение, заданное в условии задачи, ложно: 1001.

Ответ : 1001.

Сергеенкова ИМ - 1191

x2) / (x2-x3) / (x3-x4) / (x4-x5 ) = 1 (y1-y2) / (y2-y3) / (y3-y4) / (y4-y5 ) = 1 x1/y1 =1 В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств. В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов. Решение . " width="640"

Задача 4

Сколько существует различных наборов значений логических переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, которые удовлетворяют всем перечисленным ниже условиям?

(x1-x2) / (x2-x3) / (x3-x4) / (x4-x5 ) = 1

(y1-y2) / (y2-y3) / (y3-y4) / (y4-y5 ) = 1

x1/y1 =1

В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений переменных x1, x2, x3, x4, x5, y1, y2, y3, y4, y5, при которых выполнена данная система равенств.

В качестве ответа Вам нужно указать количество таких наборов.

Решение .

=i выполнено x[k] = 1 . Поэтому первое уравнение имеет 6 решений (1-я цифра в наборе – значение x1, 2-я цифра в наборе – значение x2 и т.д.): 00000, 00001, 00011, 00111, 01111, 11111 Второе уравнение имеет 6 аналогичных решений (1-я цифра в наборе – значение y1, 2-я цифра в наборе – значение y2 и т.д.): 00000, 00001, 00011, 00111, 01111, 11111 Решение системы – пара таких наборов. Ввиду третьего уравнения, один наборов в паре должен быть набором 11111. Таких пар – 11: {11111, 11111}, 5 пар вида {11111, R} и 5 пар вида {R, 11111}, здесь R – один из наборов 00000, 00001, 00011, 00111, 01111. Ответ : 11" width="640"

Решение задачи 4

Первое уравнение означает, что если x[i]=1, то для всех k=i выполнено x[k] = 1 . Поэтому первое уравнение имеет 6 решений (1-я цифра в наборе – значение x1, 2-я цифра в наборе – значение x2 и т.д.):

00000, 00001, 00011, 00111, 01111, 11111

Второе уравнение имеет 6 аналогичных решений (1-я цифра в наборе – значение y1, 2-я цифра в наборе – значение y2 и т.д.):

00000, 00001, 00011, 00111, 01111, 11111

Решение системы – пара таких наборов. Ввиду третьего уравнения, один наборов в паре должен быть набором 11111. Таких пар – 11: {11111, 11111}, 5 пар вида {11111, R} и 5 пар вида {R, 11111}, здесь R – один из наборов 00000, 00001, 00011, 00111, 01111.

Ответ : 11

Замечание к задаче 4.

На первый раз выпишем все решения явно:

{11111, 00000}; {11111, 00001}; {11111, 00011}; {11111, 00111}; {11111, 01111};

{11111, 11111}

{00000, 11111}; {00001, 11111}; {00011, 11111}; {00111, 11111}; {01111, 11111};

{11111, 11111}

Написано 12 пар, но решений — 11.

Выделенная жирным пара {11111, 11111} написана 2 раза !

Пример 5 .

Упростить выражения

так, чтобы в полученных формулах не содержалось отрицания сложных высказываний.

Решение:

2) → (X3))? 1) 1 2) 2 3) 3 4) 4 Решение : Высказывание истинно, если выражение в скобках ложно. Импликация ложна тогда и только тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Посылка истинна в вариантах 3 и 4, однако вариант 4 не подходит, так как в таком случае следствие истинно. Следовательно ответ 3 ." width="640"

Задание 6

Для какого из указанных значений X истинно высказывание

¬ ((X2) → (X3))?

1) 1

2) 2

3) 3

4) 4

Решение :

Высказывание истинно, если выражение в скобках ложно. Импликация ложна тогда и только тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Посылка истинна в вариантах 3 и 4, однако вариант 4 не подходит, так как в таком случае следствие истинно.

Следовательно ответ 3 .

Задание 7

Для какого из названий животных ложно высказывание:

(Заканчивается на согласную букву) Λ (B слове 6 букв) → (Четвертая буква согласная) ?

1) Страус

2) Леопард

3) Верблюд

4) Кенгуру

Решение :

В первую очередь выполняется логическое " И ".

Импликация ложна только тогда, когда посылка истина, а следствие ложно. Посылка {(Заканчивается на согласную букву) Λ (B слове 6 букв) } истина для варианта один, а следствие {(Четвертая буква согласная) } для него ложно .

Следовательно, ответ 1 .

$Задание 8 Какое логическое выражение равносильно выражению ¬ (А \/ ¬B)? 1) A \/ B 2) A /\ B 3) ¬A \/ ¬B 4) ¬A /\ B Решение: ¬ (А \/ ¬B) = ¬ A /\ ¬ (¬B) = ¬ A /\ B. Правильный ответ 4 .$

Задание 8

Какое логическое выражение равносильно выражению

¬ (А \/ ¬B)?

1) A \/ B

2) A /\ B

3) ¬A \/ ¬B

4) ¬A /\ B

Решение:

¬ (А \/ ¬B) = ¬ A /\ ¬ (¬B) = ¬ A /\ B.

Правильный ответ 4 .

Задание 9

На числовой прямой даны два отрезка:

P = [2, 10] и Q = [6, 14].

Выберите такой отрезок A, что формула

( (x ∈ А) → (x ∈ P) ) ∨ (x ∈ Q)

тождественно истинна , то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

1) [0, 3]

2) [3, 11]

3) [11, 15]

4) [15, 17]

Решение задачи 9

Введем обозначения:

(x ∈ А) ≡ A ;

(x ∈ P) ≡ P ;

(x ∈ Q) ≡ Q .

Применив преобразование импликации, получаем:

¬A∨P∨Q.

Логическое ИЛИ истинно, если истинно хотя бы одно утверждение.

Выражение P ∨ Q истинно на отрезке [2; 14]. Поскольку все выражение должно быть истинно для любого x, выражение ¬A должно быть истинно на множестве (−∞; 2) ∪ (14; ∞). Таким образом, выражение A должно быть истинно только внутри отрезка [2;14].

Из всех отрезков только отрезок [3; 11] полностью лежит внутри отрезка [2; 14].

Ответ: 2