Представление чисел в памяти компьютера

Представление чисел в памяти компьютера

9 класс

Какую информация сейчас может обрабатывать компьютер?

Правило № 1

Информация (данные и программы) в памяти компьютера хранятся в двоичном виде, т. е. в виде цепочек из 1 и 0

1 или 0 – это бит

Правило № 2

Представление данных в компьютере дискретно

Дискретное множество состоит из отдельных друг от друга элементов

Компьютеры по своей природе изначально могли работать только с числами.

В математике ряд натуральных чисел дискретен и бесконечен и вправо и влево.

Любое вычислительное устройство может работать с ограниченным множеством целых чисел.

Формат представления целых чисел со знаком

Самое большое число

Самое большое число по модулю

9

9

9

9

9

9

9

9

9

Возьмем калькулятор на табло которого помещается 10 знаков

Проблема ограниченности

В компьютере дело обстоит аналогично

-

9

9

9

9

9

9

9

9

9

Знак (+ или -)

16 бит памяти

Самое большое целое положительное число

2 15 – 1 = 32 767

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Если под целое число выделяется ячейка памяти в 16 битов

0 признак отрицательного числа

Знак (+ или -)

16 бит памяти

Самое большое целое отрицательное число

– 32 768

1

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

Ограниченность целого числа в компьютере возникает из-за ограничений на размер ячейки памяти для хранения этого числа.

Так как память не бесконечна, то и множество чисел не бесконечно.

Правило № 3

Целые числа в памяти компьютера – это дискретное, ограниченное и конечное множество

Границы множества целых чисел зависят от размера ячейки памяти, выделяемой под число

Формат представления целых чисел без знака

16 бит памяти

Самое большое целое число

2 16 – 1 = 65 535

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

Формат представления вещественных чисел

Делим 1 на 3

Следующее число

Шаг = 0,00000001

0,

3

3

3

3

3

3

3

3

Возьмем калькулятор на табло которого помещается 10 знаков

Разделим 1 на 3 и получим бесконечную дробь 0,333333… 3 периоде

Первый разряд зарезервирован под знак числа, остальные цифры не вмещаются, потому результат получается урезанный

0,

3

3

3

3

3

3

3

4

Формат представления вещественных чисел

Делим 100 000 на 3

Следующее число

Шаг = 0,0001

3

3

3

3

3,

3

3

3

3

Возьмем калькулятор на табло которого помещается 10 знаков

Разделим 1 на 3 и получим бесконечную дробь 0,333333… 3 периоде

Первый разряд зарезервирован под знак числа, остальные цифры не вмещаются, потому результат получается урезанный

3

3

3

3

3,

3

3

3

4

Правило № 4

Множество вещественных чисел дискретно с переменной величиной шага между соседними числами

Ограничено ли множество вещественных чисел?

Формат чисел с плавающей запятой

Порядок

1 * 10 9

1

е

+

0

9

Мантисса

На калькуляторе к максимальному количеству девяток + 1 и видим 1е+16

е – умножить на 10 в степени

Формат чисел с плавающей запятой

Самое большое вещественное число

99999 * 10 99

Самое большое по модулю отрицательное число

- 99999 * 10 99

9

9

9

9

9

е

+

9

9

-

9

9

9

9

9

е

+

9

9

Правило № 5

Вещественные числа в памяти компьютера – это дискретное, ограниченное и конечное множество

Границы множества вещественных чисел зависят от размера ячейки памяти, выделяемой под число

Домашнее задание

§ 5

Выполните перевод

1. 101001 2

• 41 10 = ? 2
• 980 10 = ? 16
• 376 10 = ? 8
• 101110 2 = ? 10
• 163 8 = ? 10
• 4С1 16 = ? 10

2. 3D4 16

3. 570 8

4. 46 10

5. 115 10

6. 1217 10

• В си­сте­ме счис­ле­ния с не­ко­то­рым ос­но­ва­ни­ем де­ся­тич­ное число 18 за­пи­сы­ва­ет­ся в виде 30. Ука­жи­те это ос­но­ва­ние.
• В си­сте­ме счис­ле­ния с не­ко­то­рым ос­но­ва­ни­ем де­ся­тич­ное число 49 за­пи­сы­ва­ет­ся в виде 100. Ука­жи­те это ос­но­ва­ние.
• В си­сте­ме счис­ле­ния с не­ко­то­рым ос­но­ва­ни­ем де­ся­тич­ное число 144 за­пи­сы­ва­ет­ся в виде 264. Ука­жи­те это ос­но­ва­ние.

• 6
• 7
• 7

• В си­сте­ме счис­ле­ния с не­ко­то­рым ос­но­ва­ни­ем де­ся­тич­ное число 25 за­пи­сы­ва­ет­ся как 100. Най­ди­те это ос­но­ва­ние.
• В си­сте­ме счис­ле­ния с не­ко­то­рым ос­но­ва­ни­ем число 12 за­пи­сы­ва­ет­ся в виде 110. Ука­жи­те это ос­но­ва­ние.

4. 5

5. 7

• В системе счисления с основанием N запись числа 79 10 оканчивается на 2, а запись числа 111 10 — на 1. Чему равно число N?
• В системе счисления с основанием N запись числа 77 10 оканчивается на 0, а запись числа 29 10 – на 1. Чему равно число N?
• В некоторой системе счисления записи десятичных чисел 66 и 40 заканчиваются на 1. Определите основание системы счисления.

• 11
• 7
• 13

• Ре­ши­те урав­не­ние: 35 6  + x = 35 7 . Ответ за­пи­ши­те в де­ся­тич­ной си­сте­ме счис­ле­ния.
• Ре­ши­те урав­не­ние: 121 x  + 1 10  = 101 9 .
• Ре­ши­те урав­не­ние 224 x  + 1 10  = 101 8 .

• 3
• 8
• 5

• Ре­ши­те урав­не­ние: 121 x  + 1 10  = 101 9 .

• Ре­ши­те урав­не­ние 224 x  + 1 10  = 101 8 .

• 3
• 8
• 5

• Все 4-буквенные слова, составленные из букв Д, Е, К, О, Р, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы, начиная с 1. Ниже приведено начало списка.

1. ДДДД

2. ДДДЕ

3. ДДДК

4. ДДДО

5. ДДДР

6. ДДЕД

Под каким номером в списке идёт первое слово, которое начинается с буквы K?

Заменим буквы Д, Е, К, О, Р на 0, 1, 2, 3, 4 соответственно (для них порядок очевиден — по возрастанию).

Выпишем начало списка, заменив буквы на цифры:

1. 0000

2. 0001

3. 0002

4. 0003

5. 0004

6. 0010

...

Полученная запись есть числа, записанные в пятеричной системе счисления в порядке возрастания. Первое слово, начинающееся с «К» — 2000 переведём его в десятичную: 2 · 53 + 0 · 52 + 0 · 51 + 0 · 50 = 250.

Не забудем о том, что есть слово номер 1, записывающееся как 0, а значит, 250 — число, соответствующее номеру 251.

• Все трёхбуквенные слова, составленные из букв П, А, Р, У, С, записаны в алфавитном порядке и пронумерованы, начиная с 1. Начало списка выглядит так:

1. ААА

2. ААП

3. ААР

4. ААС

5. ААУ

6. АПА

Под каким номером в списке идёт первое слово, которое начинается с буквы С?

Заменим буквы на цифры следующим образом: А — 0, П — 1, Р — 2, С — 3, У — 4. Получаем список:

1. 000

2. 001

3. 002

4. 003

5. 004

6. 010

...

Для нахождения первого слова, которое начинается с буквы С, нам нужно найти номер САА, то есть 300. Поскольку используется пятибуквенный алфавит, нужно найти значение числа 3005 в десятичном виде. Им является число 75, но так как номер в нашем списке на одну единицу больше самого числа, то остается добавить единицу. Получаем 76.

• Все 6-буквенные слова, составленные из букв А, О, У, записаны в обратном алфавитном порядке. Вот начало списка:

1. УУУУУУ

2. УУУУУО

3. УУУУУА

4. УУУУОУ

На каком месте от начала списка находится слово ОУУУОО?

Заменим буквы У, О, А на 0, 1, 2 соответственно (для них порядок очевиден — по возрастанию).

Выпишем начало списка, заменив буквы на цифры:

1. 0000

2. 0001

3. 0002

4. 0010

...

Полученная запись есть числа, записанные в троичной системе счисления в порядке возрастания. Слово ОУУУОО можно представить в виде: 100011 3 = 247. Так как порядковый номер на единицу больше, получаем ответ: 248.