Основы логики Логические выражения и таблицы истинности

Основы логики . Логические выражения и таблицы истинности

Историческая справка

Основы формальной логики заложил Аристотель ( 384 -322 гг. до н.э.).

Ввел основные формы абстрактного мышления.

Логика – это наука о формах и способах мышления.

Ло́гика — «наука о правильном мышлении», «искусство рассуждения» ( Википедия)

Логика как наука изучает способы достижения истины в процессе познания опосредованным путём, не из чувственного опыта, а из знаний, полученных ранее, поэтому её также можно определить как науку о способах получения выводного знания.

Логика и информатика

• В основе логических схем и устройств ПК лежит специальный математический аппарат, использующий законы логики.
• Математическая логика изучает вопросы применения математических методов для решения логических задач и построения логических схем.

3. Знание логики необходимо при разработке алгоритмов и программ, так как в большинстве языков программирования есть логические операции.

Мышление всегда осуществляется в каких-то формах

Основными формами мышления являются:

• Основными формами мышления являются:

• ПОНЯТИЕ ВЫСКАЗЫВАНИЕ УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ
• ПОНЯТИЕ
• ВЫСКАЗЫВАНИЕ
• УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ

ПОНЯТИЕ - форма мышления, фиксирующая основные, существенные признаки объекта

Понятие имеет две стороны: содержание и объем .

Содержание понятия составляет совокупность существенных признаков объекта. «Персональный компьютер — это универсальное электронное устройство для автоматической обработки информации, предназначенное для одного пользователя».

Объем понятия определяется совокупностью предметов, на которую оно распространяется. Объем понятия «персональный компьютер» выражает всю совокупность (сотни миллионов) существующих в настоящее время в мире персональных компьютеров.

УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ – это форма мышления, посредством которой из одного или нескольких истинных суждений, называемых посылками, мы по определенным правилам вывода получаем новое суждение (заключение).

Например ,

• Все углы треугольника равны → Этот треугольник равносторонний.
• Все углы треугольника равны → Этот треугольник равносторонний.

• Высказывание – повествовательное предложение, в котором что-либо утверждается или отрицается о свойствах реальных объектах или отношениях между ними.
• Например , 5*5=25;

Принтер- устройство вывода информации

Сегодня хорошая погода.

Составные высказывания – образуются из простых с помощью специальных слов (не, и, или).

• Например : сегодня хорошая погода и светит солнце.

Процессор является устройстовм обработки информации и принтер является устройством печати.

Алгебра высказываний

• Простым высказываниям ставятся в соответствие логические переменные .

• Пример :

А = «5 * 5 = 25» истинно А = 1

В = «2 * 2 = 5» ложно В = 0

• Логическая переменная может принимать лишь два значения: «истина» (1) или «ложь» (0).

Логическое отрицание (инверсия)

• Присоединение частицы «не» к высказыванию.
• Делает истинное высказывание ложным, а ложное – истинным.
• Обозначение: не А, Ā , ¬ А.
• Таблица истинности

А

0

Ā

1

1

0

Логическое умножение (конъюнкция)

• Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «и».
• Обозначение: А и В, А & В.

Таблица истинности

А

0

В

0

0

А & В

0

1

1

1

0

0

0

1

1

Логическое сложение (дизъюнкция)

• Объединение двух (или нескольких) высказываний в одно с помощью союза «или».
• Обозначение: А или В, А v В

Таблица истинности

А

0

В

0

0

А v В

0

1

1

1

1

0

1

1

1

Импликация (логическое следование)

Соответствующие выражения языка:

  Если A, то B

  A достаточно для B

  B следует из A

Обозначение: А   В

Таблица истинности

А

0

В

А  В

0

0

1

1

1

1

1

0

0

1

1

Эквивалентность (логическая равнозначность )

A эквивалентно B

A необходимо и достаточно для B

A тогда и только тогда, когда B

Обозначение: А  В, А  В

Таблица истинности

А

0

В

0

0

А    В

1

1

1

1

0

0

0

1

1

Таблицы истинности

• Для каждого составного высказывания (логического выражения) можно построить таблицу истинности , которая определяет истинность или ложность логического выражения при всех возможных комбинациях исходных значений простых высказываний (логических переменных).
• При построении таблиц истинности целесообразно руководствоваться определенной последовательностью действий:

1) записать выражение и определить порядок выполнения операций

2) определить количество строк в таблице истинности.(определяется по формуле Q =2 n , где n - количество входных переменных)

3) определить количество столбцов в таблице истинности (= количество логических переменных + количество логических операций )

4) построить таблицу истинности, обозначить столбцы (имена переменных и обозначения логических операций в порядке их выполнения) и внести в таблицу возможные наборы значений исходных логических переменных.

5) заполнить таблицу истинности, выполняя базовые логические операции в необходимой последовательности и в соответствии с их таблицами истинности

Составить таблицу истинности для выражения F = (AvB)&(ĀvB)

F = (AvB)&(ĀvB)

A

0

B

0

0

Ā

AvB

1

1

ĀvB

0

1

(AvB)&(ĀvB)

1

• Количество входных переменных в заданном выражении равно двум (A,B) . строк Q=2 2 =4

2. Количество столбцов равно 6 (2 переменные + 4 операции).

Составить таблицу истинности для выражения F = (AvB)&(ĀvB)

A

0

B

0

0

Ā

AvB

1

1

1

ĀvB

1

1

0

(AvB)&(ĀvB)

0

1

0

Составить таблицу истинности для выражения F = (AvB)&(ĀvB)

A

0

B

0

0

Ā

1

1

AvB

1

0

ĀvB

1

1

0

1

(AvB)&(ĀvB)

0

1

1

0

1

Составить таблицу истинности для выражения F = (AvB)&(ĀvB)

A

0

B

0

Ā

0

AvB

1

1

1

1

1

0

ĀvB

0

1

1

(AvB)&(ĀvB)

0

1

1

1

0

0

1

1

Составить таблицу истинности для выражения F = (AvB)&(ĀvB)

A

0

B

0

Ā

0

AvB

1

1

1

ĀvB

1

0

1

0

1

1

0

(AvB)&(ĀvB)

1

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

Составить таблицу истинности для логической функции:

F =Ā& (BvC)

A

B

0

C

0

0

0

Ā

0

0

1

B V C

1

0

0

Ā& (BvC)

1

1

1

0

1

0

0

1

1

1

1

1

0

1

A

B

0

C

0

0

0

Ā

0

0

1

B V C

1

1

0

1

Ā& (BvC)

0

1

1

1

0

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

1

0

0

1

0

A

B

0

0

C

0

0

Ā

0

0

1

1

B V C

1

0

0

0

Ā& (BvC)

1

1

1

1

1

0

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

0

1

0

0

0

1

1

0

1

0

1

1

A

B

0

0

C

0

0

Ā

0

0

1

1

1

B V C

0

0

Ā& (BvC)

1

0

1

1

1

1

0

1

0

1

1

1

1

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

1

0

0

1

0

1

1

0

0

0

1

0

1

0

Составить таблицы истинности

1. F = (Ā&B)v(A&B)

2. F = (AvB)v((Ā&C)vB)

3. F= (A&C )  ((  AvB)  C)

F = (Ā&B)v(A&B)

A

B

0

0

0

Ā

1

1

1

Ā&B

0

1

A&B

1

(Ā&B)v(A&B)

0

1

0

F = (Ā&B)v(A&B)

A

0

B

0

0

Ā

1

1

1

Ā&B

0

0

1

1

A&B

(Ā&B)v(A&B)

0

1

0

1

0

0

0

0

0

0

1

0

1

1

F = (AvB)v((Ā&C)vB)

A

B

0

C

0

0

Ā

0

0

0

A V B

1

0

1

Ā&C

0

1

1

(Ā&C) V B

1

0

1

(AvB)v((Ā&C)vB)

1

0

0

1

1

1

0

1

1

F = (AvB)v((Ā&C)vB)

A

B

0

C

0

0

0

Ā

0

0

1

A V B

0

1

1

Ā&C

0

1

0

1

1

(Ā&C) V B

0

1

0

1

1

0

(AvB)v((Ā&C)vB)

0

0

1

1

0

1

1

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

0

1

1

1

1

0

1

1

0

1

1

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

1

1

1

Человек, рассуждающий логично, приятно выделяется на фоне реального мира