Упрощение логических выражений, составление таблиц истинности

Тема: «Упрощение логических выражений, составление таблиц истинности».

Цель работы:

1. Изучить логические операции с высказываниями: конъюнкция,дизъюнкция, инверсия.

2. Научиться составлять таблицы истинности на основе логических операций: конъюнкция, дизъюнкция, инверсия.

Оборудование: ПК Pentium IV

Программное Windows-7, Word, методическое пособие

обеспечение:

Ход работы.

Законы логических операций

Правила преобразования логических выражений

Логические выражения называются равносильными, если их истинностные значения совпадают при любых значениях, входящих в них логических переменных.

В алгебре логики имеется ряд законов, позволяющих производить равносильные преобразования логических выражений. Приведем соотношения, отражающие эти законы.

1. Закон двойного отрицания:

А=

Двойное отрицание исключает отрицание.

2. Переместительный (коммутативный) закон:

— для логического сложения:

AB = BA

— для логического умножения:

А&В = В&А

Результат операции над высказываниями не зависит от того, в каком порядке берутся эти высказывания.

В обычной алгебре а + b = b + a, a xb = bха.

3. Сочетательный (ассоциативный) закон:

— для логического сложения:

(AB)C=A (BC)

— для логического умножения:

(А&В)&С = А&(В&С)

При одинаковых знаках скобки можно ставить произвольно или вообще опускать. В обычной алгебре (а + b) + с = а + (b + с) = а + b + с, а х (b х с) = а х (b х с) = а х b x с.

4. Распределительный (дистрибутивный) закон:

— для логического сложения:

(A B)&C = (A&C) (B&C);

— для логического умножения:
(А&В) C = (AC)&(BC).

Определяет правило выноса общего высказывания за скобку. В обычной алгебре (а + b) хс = ахс + bхс.

5. Закон общей инверсии (законы де Моргана):

— для логического сложения

A В = ; для логического умножения:

=

6. Закон равносильности

— для логического сложения:

AA=A;

— для логического умножения:

А&А =А. Закон означает отсутствие показателей степени.

7. Законы исключения констант:

— для логического сложения: — для логического умножения:

Al=l, AO = A; A&1 = А, А&О = 0.

8. Закон противоречия: А&=0

Невозможно, чтобы противоречащие высказывания были одновременно истинными.

9. Закон исключения третьего:

A = 1

Из двух противоречащих высказываний об одном и том же предмете одно всегда истинно, а второе — ложно, третьего не дано.

10. Закон поглощения:

— для логического сложения: — для логического умножения:

A (A&B) =А; A&(AB)= A.

11. Закон исключения (склеивания):

— для логического сложения:

(A&B)(&B) = В

— для логического умножения:

(AB)&(B) =B

Справедливость приведенных законов можно доказать табличным способом: выписать все наборы значений А и В, вычислить на них значения левой и правой частей доказываемого выражения и убедиться, что результирующие столбцы совпадут.

Самостоятельная работа

Задание 1

1. Какие из следующих предложений являются логическими высказываниями, а какие — нет (объясните почему):

1. "Солнце есть спутник Земли";

2. "2+3*4";

3. "Сегодня отличная погода";

4. "В романе Л.Н. Толстого "Война и мир" 3 432 536 слов";

5. "Санкт-Петербург расположен на Неве";

6. "Музыка Баха слишком сложна";

7. "Первая космическая скорость равна 7.8 км/сек";

8. "Железо — металл";

9. "Если один угол в треугольнике прямой, то треугольник будет тупоугольным";

10. "Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей, то он прямоугольный".

2. Определите значения истинности высказываний:

1. "Наличия аттестата о среднем образовании достаточно для поступления в институт";

2. "Наличие аттестата о среднем образовании необходимо для поступления в институт";

3. "Если целое число делится на 6, то оно делится на 3";

4. "Подобие треугольников является необходимым условием их равенства";

5. "Подобие треугольников является необходимым и достаточным условием их
   равенства";

6. "Треугольники подобны только в случае их равенства";

7. "Треугольники равны только в случае их подобия";

8. "Равенство треугольников является достаточным условием их подобия";

9. "Для того, чтобы треугольники были неравны, достаточно, чтобы они были не подобны";

10. "Для того, чтобы четырёхугольник был квадратом, достаточно, чтобы его диагонали были равны и перпендикулярны"

1. Построить таблицу истинности для логических функций:

F (А, В, С) = (А В) (В А)

2. Построить таблицу истинности для логических функций:

F (А, В, С) = А (С В)

3. Построить таблицу истинности для логических функций:

F (А, В) = (А В) (А В)

4. Построить таблицу истинности для логических функций:

F (А, В, С) = (А В) (А = С)

Задание 2

1. Какое тождество записано не верно:

l) XX=l;

2) XXXXXX=l;

3) Х&Х&Х&Х&Х=Х;

2. Определите, каким законом алгебры чисел (сочетательному, переместительному, распределительному, аналога нет) соответствуют следующие логические тождества:

а) AB=BA;

б) (А&В)&С=А&(В&С);

в) A(B&C)=(AB)&(AC);

г) (AC)&C=(A&C)(B&C);

3. Логическое выражение называется тождественно-ложным, если оно принимает значение О на всех наборах входящих в него простых высказываний. Упростите следующее выражение и покажите, что оно тождественно-ложное.

(A&B&B)(A&A)(B&C&C).

4. Логическое выражение называется тождественно-истинным, если оно принимает значение 1 на всех наборах входящих в него простых высказываний. Упростите следующее выражение и покажите, что оно тождественно-истинное.

(A&B&C)(A&B&C) (A&B).

5. Упростите логические выражения. Правильность упрощения проверьте с помощью таблиц истинности для исходных и полученных логических формул.

a) A(A&B);

6)A&(AB);

в) (AB)&(BA)&(

r)(l(AB)) ((AC)&l).

Выводы по работе

4