Основы логики.

10 класс

ОСНОВЫ ЛОГИКИ

ЛОГИКА

НАУКА О ФОРМАХ И СПОСОБАХ МЫШЛЕНИЯ

МЫШЛЕНИЕ осуществляется через:

• Понятия
• Высказывания
• Умозаключения

ПОНЯТИЕ

форма мышления, которая выделяет существенные признаки предмета или класса предметов, позволяющие отличать их друг от друга

(Пример: Прямоугольник - геометрическая фигура у которой все углы прямые и противоположные стороны равны)

ВЫСКАЗЫВАНИЕ

формулировка своего понимания окружающего мира (повествовательное предложение в котором что-либо утверждается или отрицается)

(Пример: Париж – столица Франции)

ВЫСКАЗЫВАНИЕ

ИСТИННОЕ ЛОЖНОЕ

(Пример: Буква «А» - (Пример: Компьютер

гласная) был изобретен до

нашей эры)

УМОЗАКЛЮЧЕНИЕ

форма мышления, с помощью которой из одного или нескольких суждений может быть получено новое суждение

(знание или вывод)

(Пример: любая теорема)

АЛГЕБРА ЛОГИКИ

наука об общих операциях, аналогичных сложению и умножению, которые выполняются над высказываниями

Понятия алгебры логики:

• Логическая переменная – это простое высказывание, содержащее только одну мысль

• Обозначение: латинская буква (А, В, Х …) Значение: ИСТИНА (1) или ЛОЖЬ (0)
• Обозначение: латинская буква (А, В, Х …)
• Значение: ИСТИНА (1) или ЛОЖЬ (0)

• Логическая функция – это составное высказывание, которое содержит несколько простых мыслей, соединенных между собой с помощью логических операций

• Обозначение: F
• Обозначение: F

• Логические операции – логическое действие

Таблица истинности

таблица определяющая значение сложного высказывания при всех возможных значениях простых высказываний

Таблица истинности для конъюнкции

• Вывод:

Результат будет истинным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания истинны

А

В

0

А ^ В

0

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

Таблица истинности для дизъюнкции

• Вывод :

Результат будет ложным тогда и только тогда, когда оба исходных высказывания ложны, и истинным во всех остальных случаях

А

В

0

А v В

0

0

1

0

1

0

1

1

1

1

1

Таблица истинности для инверсии

• Вывод :

Результат будет ложным, если исходное высказывание истинно, и наоборот.

А

Ā

0

1

1

0

Таблица истинности для импликации

• Вывод :

Результат будет ложным тогда и только тогда, когда из истинного основания (А) следует ложное следствие (В)

А

В

0

А → В

0

0

1

1

1

0

1

1

1

0

1

Таблица истинности для эквивалентности

• Вывод :

Результат будет истинным тогда и только тогда, когда оба высказывания одновременно либо ложны, либо истинны

А

В

0

А ↔ В

0

0

1

1

1

0

1

0

1

0

1

Если составное высказывание (логическую функцию) выразить в виде формулы, в которую войдут логические переменные и знаки логических операций, то получится

ЛОГИЧЕСКОЕ ВЫРАЖЕНИЕ

истина ложь

Порядок выполнения логических операций:

• Действия в скобках
• Инверсия
• Конъюнкция
• Дизъюнкция
• Импликация
• Эквивалентность

ПРИМЕР: Записать в виде логического выражения следующее высказывание: «Летом Петя поедет в деревню и, если будет хорошая погода, то он пойдет на рыбалку»

• Это составное высказывание состоит из простых высказываний:

• А = «Петя поедет в деревню» В = «Будет хорошая погода» С = «Он пойдет на рыбалку»
• А = «Петя поедет в деревню»
• В = «Будет хорошая погода»
• С = «Он пойдет на рыбалку»

• Записываем высказывание в виде логического выражения, учитывая порядок действий

F = A ^ (B → C)

Упражнения:

• Есть два простых высказывания:

А = «Число 10 четное»

В = Волк – травоядное животное»

Составьте из них все возможные составные высказывания и определите их истинность

• А = «Число 10 четное» В = Волк – травоядное животное» Составьте из них все возможные составные высказывания и определите их истинность

• Запишите следующие высказывания в виде логических выражений:
• Запишите следующие высказывания в виде логических выражений:

• Неверно, что корова – хищное животное На уроке физики ученики выполняли лабораторную работу и сообщали результаты учителю. Если Маша – сестра Саши, то Саша - брат Маши.
• Неверно, что корова – хищное животное
• На уроке физики ученики выполняли лабораторную работу и сообщали результаты учителю.
• Если Маша – сестра Саши, то Саша - брат Маши.

Найти значение выражения

• 1. (0 ٧ 0 ) ٧ (1 ٧ 1)=
• 2. (1 ٧ 1) ٧ (1 ٧ 0)=
• 3. (0 ٨ 0) ٨ (1 ٨ 1) =
• 4. (¬1 ٧ 1) ٨ (1 ٧ ¬1) =

Таблицы истинности

Для составления таблиц истинности

1 Выяснить количество строк в таблице Q=2 n , n – количество переменных.

2. Установить последовательность выполнения действий.

3. Заполнить таблицу истинности.

• (А ᴠ В) ᴧ (⌐А ᴠ ⌐ В)

А

В

1

⌐ А

1

1

0

⌐ В

0

0

А ᴠ В

0

0

0

1

1

⌐ А ᴠ ⌐В

1

1

0

1

1

0

0

1

0

1

1

1

1

1

0

1

1

0

X ᴠ Y ᴧ⌐ Z

X

1

Y

1

1

Z

1

⌐ Z

1

1

0

0

1

0

Y ᴧ⌐ Z

0

1

1

0

0

1

1

0

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

0

1

0

0

0

0

0

1

1

1

0

0

0

0

1

0

1

1

0

0

0

Составить таблицы истинности

1. ( X ᴧ⌐ Y ) ᴠ Z

2. X ᴧ Y ᴠ X

3. ⌐ (X ᴠ Y) ᴧ (Y ᴠ X)

4. A ᴧ B ᴧ C ᴧ ⌐ D

5. (A ᴠ B) ᴧ ( ⌐ B ᴠ A ᴧ B)

6. ⌐ (A ᴠ B ᴠ ⌐ C)

7. ⌐ A ᴧ (B ᴠ ⌐ C)

8. A ᴧ B ᴧ C ᴠ (B ᴧ C ᴠ A)

Тождественно истинные, тождественно ложные и эквивалентные высказывания

• Если высказывание истинно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется - тождественно истинным.
• Если высказывание ложно при всех значениях входящих в него переменных, то такое высказывание называется – тождественно ложным.
• Если два высказывания совпадают на всех возможных наборах значений входящих в них переменных, то они называются - эквивалентными

Построить таблицу и определить тип высказывания

• A → (B → A)
• A ᴧ B → A
• (A → C) → (B → C) → (A ᴠ B →C)
• A→ (B → A ᴧ B)
• ⌐ (A → B) → (A → ⌐B →⌐ A)

Определить эквивалентные высказывания

• A → B ᴧ A или А ᴠ В
• А ↔ В ИЛИ (А→В) ᴧ (⌐В → ⌐А)
• А → В ИЛИ А ᴠ ⌐ В
• А ᴧ (А ᴠ В) ИЛИ А

Законы алгебры логики и правила преобразования логических высказываний

Высказывание имеет нормальную форму, если в ней отсутствуют знаки импликации, эквиваленции и двойное отрицания, при этом знак отрицания находиться только при логических переменных. Для приведения высказывания в нормальную форму существуют законы и формулы преобразования.

• Закон идемпотентности:

А ᴧ А = А

А ᴠ А=А

2. Закон коммутативности (переместительный)

А ᴠ В = В ᴠ А

А ᴧ В = В ᴧ А

3. Закон ассоциативности (сочетательный)

(А ᴠ В) ᴠ С = А ᴠ (В ᴠ С)

А ᴧ (В ᴧ С) = (А ᴧ В) ᴧ С

4. Закон дистрибутивности (распределительный)

(А ᴠ В) ᴧ С = (А ᴧ С) ᴠ (В ᴧ С)

(А ᴧ В) ᴠ С = (А ᴠ С) ᴧ (В ᴠ С)

5 . Закон де Моргана

6. Закон двойного отрицания

• 7. Закон исключения третьего

• 8. Закон противоречия

• Действия с логическими константами

• Формулы поглощения
• 1.1
• 1.2

1.3

• 1.4

Формулы склеивания

• ЗАМЕНА ОПЕРАЦИЙ

Преобразование логических высказываний.

Решение логических задач

Упростить:

• . Для какого имени ложно высказывание:

(Первая буква имени гласная → Четвертая буква имени согласная).

•  
• 1) ЕЛЕНА
• 2) ВАДИМ
• 3) АНТОН
• 4) ФЕДОР

• Для какого из названий животных ложно высказывание:

• (Заканчивается на согласную букву) /\ (В слове 7 букв) → ¬ (Третья буква согласная)?

• 1) Верблюд
• 2) Страус
• 3) Кенгуру
• 4) Леопард

• Для какого символьного выражения будет ложным высказывание

• (первая буква гласная) → (четвертая буква гласная)?
•  

• 1) east
• 2) fast
• 3) rest
• 4) last

2) → (X3))?   1) 1 2) 2 3) 3 4) 4" width="640"

• . Для какого из указанных значений X истинно высказывание

• ¬ ((X2) → (X3))?

•  
• 1) 1
• 2) 2
• 3) 3
• 4) 4

• Сколько различных решений имеет уравнение

• J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M ∧ (N ∨ ¬N) = 0, где J, K, L, M, N — логические переменные?

• В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений J, K, L, M и N, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа нужно указать количество таких наборов.
•  

• Пояснение.
• Выражение (N ∨ ¬N) истинно при любом N, поэтому
• J ∧ ¬K ∧ L ∧ ¬M = 0.
• Применим отрицание к обеим частям логического уравнения и используем закон де Моргана ¬ (А ∧ В) = ¬ А ∨ ¬ В . Получим
• ¬J ∨ K ∨ ¬L ∨ M = 1.

• Логическая сумма равна 1, если хотя бы одно из составляющих ее высказываний равно 1. Поэтому полученному уравнению удовлетворяют любые комбинации логических переменных кроме случая, когда все входящие в уравнение величины равны 0. Каждая из 4 переменных может быть равна либо 1, либо 0, поэтому всевозможных комбинаций 2·2·2·2 = 16. Следовательно, уравнение имеет 16 −1 = 15 решений.

• Осталось заметить, что найденные 15 решений соответствуют любому из двух возможных значений логической переменной N, поэтому исходное уравнение имеет 30 решений.

• Ответ: 30

• Составьте таблицу истинности для логической функции

• X = (А ↔ B) ∨ ¬(A → (B ∨ C))

• Сколько различных решений имеет уравнение

• (X ∧ Y ∨ Z) → (Z ∨ P) = 0

• где X, Y, Z, P – логические переменные? В ответе не нужно перечислять все различные наборы значений, при которых выполнено данное равенство. В качестве ответа вам нужно указать только количество таких наборов.