Перпендикулярность прямых и плоскостей

Тема урока: Решение задач по теме «Перпендикулярность прямых и плоскостей».

Цели:

1. закрепить вопросы теории по теме «Перпендикулярность прямой и плоскости»;

2. вырабатывать навыки применения теоретических знаний к решению типовых задач на перпендикулярность прямой и плоскости:

3. рассмотреть решение задач ЕГЭ по математике.

Тип урока: комбинированный

Ход урока

I.Организационный момент.

II. Сообщение темы и целей урока. Проверка домашнего задания.

III. Актуализация опорных знаний и умений.

Теоретический опрос 

1. Закончить предложение:

а) две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если… (угол между ними равен 90°)
б) прямая называется перпендикулярной к плоскости, если… (она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости)
в) если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они… (параллельны)
г) если плоскость перпендикулярна к одной из двух параллельных прямых, то она… (перпендикулярна и к другой прямой)
д) если две плоскости перпендикулярны к одной прямой, то они… (параллельны)

2. Дан параллелепипед

а) Назовите:
1) рёбра, перпендикулярные к плоскости (DCC₁) (ответ: AD; A₁D₁; B₁C₁; BC) 
2) плоскости, перпендикулярные ребру BB₁ (ответ: (АВС); (A₁B₁C₁))

б) Определите взаимное расположение:
1) прямой CC₁ и плоскости (DСВ) (ответ: они перпендикулярны)
2) прямой D₁C₁ и плоскости (DCB) (ответ: они параллельны)

VI. Решение задач.

Задача№1

Прямая РQ параллельна плоскости α (рис. 1). Через точки Р и Q проведены прямые, перпендикулярные к плоскости α, которые пересекают эту плоскость соответственно в точках Р₁ и Q₁. Докажите, что PQ = P₁Q₁.

Рис. 1

Дано:  ,

Доказать: 

Доказательство:

1. Две прямые РР₁ и QQ₁ перпендикулярны к одной и той же плоскости α. Значит, эти прямые параллельны между собой. Пусть через них проходит плоскость β. В плоскости β прямые PQ и P₁Q₁ параллельны, так как по условию PQ параллельна α.

2. Рассмотрим прямоугольник РР₁Q₁Q. В прямоугольнике РР₁Q₁Q противоположные стороны равны, значит, PQ = P₁Q₁, что и требовалось доказать.

Задача №2

Дано: ВМDC - прямоугольник, M ∉ (ABC), MB ⊥ AB
доказать: CD ⊥ (ABC)
Доказательство: MB ⊥ BC, т.к. ВМDC – прямоугольник, MB ⊥ AB по условию, BC ⋂ AB, т.е. ВС и АВлежат в плоскости (АВС) ⇒ MB ⊥ (ABC) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. СD ∥ МВпо свойству сторон прямоугольника ⇒ CD ⊥ (ABC) по теореме о двух параллельных прямых, одна из которых перпендикулярна к плоскости (то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости).
Ч.т.д.

Рассмотрим задачу из сборника ЕГЭ по математике

Задача №3

Точка S лежит вне плоскости прямоугольника АВСD. Известно, что АВ  =  8, ВС  =  12, SA  =  6, SB  =  10, 

а)  Докажите, что прямая SA перпендикулярна плоскости АВС.

б)  Найдите расстояние от точки А до плоскости SCB

Решение.

а)  Треугольник ABS является прямоугольным по теореме, обратной к теореме Пифагора, так как

Поэтому прямые SA и AB перпендикулярны. Аналогично треугольник SDA является прямоугольным, так как

Поэтому прямые SA и SD перпендикулярны. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая SA перпендикулярна плоскости АВС.

б)  В треугольнике АВS опустим высоту АН и докажем, что прямая АН перпендикулярна плоскости SCB. Прямые ВС и АВ перпендикулярны, так как ABCD  — прямоугольник. Прямые ВС и SA перпендикулярны, так как прямая SA перпендикулярна плоскости АВС. Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая ВС перпендикулярна плоскости SAB. А значит, прямая ВС перпендикулярна и прямой АН, лежащей в плоскости ABS.

Таким образом, прямая АН перпендикулярна пересекающимся прямым SB и СB, значит, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости прямая АН перпендикулярна плоскости SCB, следовательно, расстояние от точки А до плоскости SCB равно высоте АН треугольника АВS. Из прямоугольного треугольника АВS находим, что

Ответ: б) 4,8.

V. Подведение итогов урока. Задание на дом: повторить теоретический материал по изученной теме, глава II, № 216 (подг.к к.р.)