Конструирование и решение задач по геометрии.

Конспект урока геометрии в 8 классе по теме:
«Применение подобия треугольников к решению задач»

Цели:

1. закрепить понятие пропорциональных отрезков, коэффициента подобия, признаков подобия треугольников;

2. способствовать формированию умения применять признаки подобия треугольников к решению задач;

3. способствовать развитию навыков исследовательской работы , умения конструировать новые задачи;

4. способствовать развитию грамотной математической речи

5. способствовать развитию познавательной активности, интереса к изучению математики.

Задачи:

1. Повторить признаки подобия треугольников.

2. Решить задачу, используя подобие треугольников.

3. Сконструировать и решить новые задачи на основе решенной.

Оборудование:

1. Доска, чертежные инструменты, мел

2. Маршрутный лист урока (по количеству учащихся в классе) (Приложение 1)

3. Карточки (индивидуальные) для проведения диктанта (6-10 шт)

4. Проектор и заранее подготовленное решение домашнего задания

5. Ступени познания (на слайде) (Приложение 2)

Этапы урока:

1. Оргмомент. Проверка домашнего задания. (2-3 мин)

2. Актуализация опорных знаний (10 мин)

   1. Математический диктант

   2. Работа по готовым чертежам

3. Работа по теме урока (решение задачи) (13-12 мин)

4. Исследование задачи (работа в группах) (10 мин)

5. Решение новых задач (5 мин)

6. Рефлексия (3 мин)

7. Информация о домашнем задании (2 мин)

Ход урока

1. Оргмомент. Проверка домашнего задания.

Учитель	Ученики	Пояснения
Здравствуйте, ребята. На предыдущих уроках мы с вами познакомились с признаками подобия треугольников. Какими? Познакомились со средней линией треугольника и ее свойствами, пропорциональными отрезками.	1) по двум углам 2) по двум сторонам и углу между ними 3) по трем сторонам	Учащиеся наряду с краткой формулировкой дают полную формулировку признаков подобия
Как вы думаете, чем мы будем заниматься сегодня на уроке?	Решением задач на использование признаков подобия, свойств средней линии, пропорциональных отрезков.	Высказывают предположения
Сегодня мы с вами не просто будем решать задачи, но попробуем провести настоящее исследование и выступить в роли авторов новых задач.
Но сначала давайте выясним, вызвала ли у кого-нибудь трудности домашняя работа?	Сравнивают свое решение с решением, предложенным учителем, обсуждают ход решения	Демонстрируют наличие д/р, учитель проверяет, в случае необходимости демонстрирует слайд (или заранее подготовленные записи на отвороте доски) с решением домашней задачи
Оцените свою готовность к уроку, выставив себе оценку за домашнее задание в маршрутный лист.	Оценивают свою работу.

2. Актуализация опорных знаний

6-8 учащихся получают индивидуальные карточки с математическим диктантом. В заданиях 1-3 необходимо вставить пропущенные слова вместо многоточий, а в заданиях 4-5 ответить на вопросы.

Карточка 1

Запись AB : A1B1 = CD : C1D1 означает, что отрезки AB и CD … отрезкам A1B1 и C1D1

Число, равное … … сторон треугольников, называется … ….

Отношение периметров двух подобных треугольников равно … ….

Площади двух подобных треугольников равны 75 см2 и 300 см2.Одна из сторон второго треугольника равна 9 см. Чему равна сходственная сторона первого треугольника?

Подобны ли треугольники ABC и KDE, если A = 350, B = 750, K = 350, E = 700, AB = 5см, BC = 7см, AC = 8см, KD = 10см, DE = 14см, KE = 16см.

Карточка 2

Отношением отрезков AB и CD называется отношение … ….

Два треугольника называются подобными, если их … … … и стороны одного треугольника пропорциональны … … другого.

Отношение площадей двух подобных треугольников равно … … ….

Сходственные стороны двух подобных треугольников равны 5 дм и 10 дм. Периметр первого треугольника равен 60 дм. Чему равен периметр второго треугольника?

Подобны ли треугольники ABC и KDE, если A = 250, B = 750, K = 250, E = 800, AB = 15см, BC = 21см, AC = 24см, KD = 5см, DE = 7см, KE = 8см.

Ответы для проверки:

Карточка 1

1. пропорциональны

2. отношению сходственных, коэффициентом подобия

3. коэффициенту подобия

4. 4,5 см, т.к. k = 9  = 4,5 см.

5. треугольники подобны, т.к. углы треугольников соответственно равны A = K = 350, B = D = 750, C = E = 700, а стороны треугольника ABC пропорциональны сходственным сторонам треугольника KDE, с k = .

Карточка 2

1. их длин

2. углы соответственно равны, сходственным сторонам

3. квадрату коэффициенту подобия

4. P = 120см, т.к. k = 10 : 5 = 2.

5. треугольники подобны, т.к. углы треугольников соответственно равны A = K = 250, B = D = 750, C = E = 800, а стороны треугольника ABC пропорциональны сходственным сторонам треугольника KDE, с k = 3

Фронтальная работа с классом по готовым чертежам

	Рис. 1	Рис. 2	Рис. 3	Рис. 4	Рис. 5
Дано:			АВСD - трапеция	AB пересекает CD в точке O
Найти:	АС:АВ	С1О, А1О	Доказать: BO:OD=CO:OA	└CAO? SAOC:SBOD?	Доказать: h=ab/c a2/ac=b2/bc
Наводящие вопросы, решение:	Чем является AD? В каком отношении делит биссектриса противоположную сторону? Что можно сказать об отношении отрезков АС АВ? АС:АВ=4,5:13,5=1:3	Чем являются Отрезки АА1 и СС1? В каком отношении делятся медианы треугольника? Как найти С1О, А1О? С1О=0,5*ОС=4,5 А1О=0,5*ОА=3	Какие треугольники подобны? По какому признаку? Из подобия треугольников ВОС и AOD следует BO:OD=CO:OA	Что можно сказать о треугольниках AOC BOD? Почему треугольники подобны? Чему равен коэффициент подобия? Как относятся площади подобных треугольников? SAOC:SBOD =(2/5)2=4/25=0,16	Какие подобные треугольники вы видите на чертеже? Чем является высота треугольника, проведенная из вершины прямого угла? Что называется средним пропорциональным двух отрезков? Чем является катет прямоугольного треугольника? b:c=h:a, h=ab/c b2=c*bc, a2=c*ac, c=b2/bc=a2/ac

Учащиеся оценивают свою работу и выставляют оценку в маршрутный лист.

Карточки с математическим диктантом проверяются учителем. Учащимся можно для самопроверки предложить заранее подготовленное решение на слайде или отвороте доски.

3. Работа по теме урока (решение задачи)

Задача 1

В параллелограмме ABCD └BAC=└ADB. Доказать, что АС=AD , BD=AB .

B

C

О

A

D

Решение:

Учитель	Ученики
Что будем использовать для решения задачи?	Подобие треугольников
Какие треугольники подобны?	AOD и ACD
Почему?	└BAC=└AСD, как накрест лежащие при . В треугольниках AOD и ACD есть равные углы, один угол общий — поэтому эти треугольники подобны по 1 признаку подобия
Что следует из подобия?	Равенство отношений сходственных сторон
Какие стороны называются сходственными?	Стороны подобных треугольников, лежащие напротив равных углов.
Какие стороны в треугольниках AOD и ACD являются сходственными?	AO и AD, AD и AC, OD и CD
Что следует из подобия треугольников?	Равенство отношений сходственных сторон
Составьте пропорцию Выразите из пропорции АС Как связаны между собой длины отрезков АС и АО? Выразите одну величину через другую и подставьте в формулу.	AO:AD=AD:AC AO*AC=AD2 AC=AD2:AO AC=2*AO, 2*AO2=AD2, 2=AD2:AO2, =AD:AO AC=AD2:AO= AD
Как доказать второе равенство	Аналогично (проводят доказательство самостоятельно)

Задача 2

Медианы BD, AF, CE треугольника АВС пересекаются в точке М. Известно, что └ABD=└MAD. Доказать, что AF= AB/2, BD= AC/2, CE= BC/2,

Решение можно провести в группах

4.-5.Исследование задачи. Решение новых задач

Предлагаю вам поработать в группах. Вам предстоит из решенных задач составить новые и предложить ее решение.

Возможные варианты задачи1:

1. В параллелограмме ABCD AC= AD. Доказать, что └BAC=└ADB.

2. В параллелограмме ABCD AC= AD. Доказать, что └BAC=└DBС.

3. В параллелограмме ABCD AC= AD. Доказать, что └ACD=└ADB.

4. В параллелограмме ABCD AC= AD. Доказать, что └ACD=└DBC.

5. В параллелограмме ABCD BD=AB . Доказать, что └BAC=└ADB.

6. В параллелограмме ABCD BD=AB . Доказать, что └BAC=└DBС.

7. В параллелограмме ABCD BD=AB . Доказать, что └ACD=└ADB.

8. В параллелограмме ABCD BD=AB . Доказать, что └ACD=└DBC.

9. Построить параллелограмм ABCD, такой что └BAC=└ADB.

Возможные варианты задачи2:

1. Построить треугольник ABC, такой что └ABD=└CAF (BD и AF — медианы треугольника, если известны стороны АВ и АС.

2. В треугольнике АВС на сторонах ВС и АС взяты точки F и D соответственно. Известно, что AF= AB/2, BD= AC/2, CE= BC/2. Доказать, что AF BD — медианы.

3. и др.

Группы предлагают свои задачи и их решения.

У доски можно разобрать 3-4 решения.

Учащиеся оценивают свою работу и выставляют отметку в маршрутный лист.

1. Рефлексия (3 мин)

Какую цель мы ставили в начале урока?

Достигли ли цели? Что помогало, а что мешало нам в процессе достижения цели?

Какие понятия и свойства сегодня повторили? Что нового научились делать?

В маршрутном листе в течение урока вы оценивали свою работу. Теперь, исходя из личных ощущений, определите, на какой ступеньке познания вы находитесь сейчас (Демонстрируется слайд с лесенкой). Теперь подсчитайте набранное количество баллов и сравните это значение (объективный показатель) с личным ощущением (субъективный показатель). Прокомментируйте полученный результат.

1. Информация о домашнем задании (2 мин)

№ 575, 538

* составить и решить задачу, на основе решенной в классе

Приложение 1

Маршрутный лист _______________________учащегося ____ класса

^{(Фамилия Имя)}

Оцени свою работу на каждом этапе урока

Этапы урока:

1. Домашнее задание _____(max 5)

2. Актуализация опорных знаний

• Математический диктант _________

• Работа по готовым чертежам ____________(max 5)

1. Работа по теме урока (решение задачи) __________(max 5)

2. Исследование задачи (работа в группах) ___________(max 5)

3. Решение новых задач ____________________(max 5)

4. Рефлексия _____ (выбери букву)

Всего баллов:______ ( max 25)

На уроке мне было интересно, все понятно, я активно участвовал в решении и составлении задач

На уроке было понятно объяснение учителя, сам я затрудняюсь в самостоятельном решении задач

На уроке было не интересно, много сложного и непонятного

Мне все равно

A

B

C

D

Приложение 2