Решение задач с использованием модели пирамиды, план - конспект, 10 класс

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение лицей № 6

городского округа Тольятти

План – конспект

урока геометрии

«Решение задач с использованием модели пирамиды»

Учитель Балашова О. Е.

Класс 10 (профильный уровень)

Дата проведения 10. 04. 2014 г.

План – конспект открытого урока геометрии в 10 классе (профильный уровень)

Тема: «Решение задач с использованием модели пирамиды»

Цели урока:

Образовательные:

- формировать навыки конструирования и моделирования;

- формировать понимание учащимися значимости теоретических знаний для решения практических задач.

Развивающие:

- содействовать развитию пространственного мышления учащихся;

- учить применять теоретические знания для обоснования шагов решения задачи;

- побуждать учащихся к самоконтролю и взаимоконтролю, взаимопомощи, критическому мышлению.

Воспитательные:

- формировать и развивать нравственные качества учащихся: честность,

дисциплинированность, чувство собственного достоинства;

- способствовать формированию целеустремленности, умения преодолевать трудности.

Тип урока: урок обобщения.

Структура урока:

1. Организационный момент, мотивационная беседа.

2. Работа в группах.

3. Оформление решения задач и фронтальный опрос.

4. Презентация решения задач.

5. Сообщение «Как мы строили модели пирамид».

6. Подведение итогов и информация о домашнем задании.

Подготовительный этап:

Формируются три команды по шесть человек во главе с капитаном-консультантом. Капитан должен: 1) проверить знание ответов на вопросы (приложение 1) каждым членом его команды; 2) наличие и правильность моделей; 3) организовать решение задач (приложение 2) по домашним моделям в группе. По необходимости капитан обращается за помощью к учителю.

Ход урока:

I. Организационный момент, мотивационная беседа (3 мин.).

1. Проверка готовности учащихся к уроку.

2. Мотивационная беседа

Учитель: Часто при решении стереометрических задач хочется взять в руки модель геометрического тела и представить себе воочию те или иные свойства призмы, пирамиды, конуса и т.д. И в то же время правильное изображение на плоскости позволяет понять, какую теорему необходимо применить на данном этапе решения. Вы сегодня будете работать и с моделью пирамиды и с ее плоским изображением – строить сечения, измерять и вычислять.

Учитель: Форма работы – групповая. Каждая команда за урок набирает баллы и получает соответствующую оценку. От 8 баллов – «5», от 6,5 до 7,5 баллов - «4», от 4 до 6 баллов – «3».

Учитель: Цель урока – обобщить ранее изученный теоретический материал и применять его при решении задач, связанных с пирамидой.

II. Работа в группах (7 мин.).

- Выбор модели по жребию.

- Обсуждение решения задач в командах.

- Построение сечений карандашом на моделях, необходимые измерения и вычисления.

III. Подготовка к презентации задач и фронтальный опрос (9 мин.).

По жребию выбираются задача и представитель команды, которую эту задачу представляет. Представитель чертит сечение на модели фломастером и готовит чертеж и решение на доске. При необходимости обращается за помощью к команде, за что снижаются баллы.

В это время учитель проводит фронтальный опрос: для каждой команды 5 вопросов

(см. приложение 1), за ответы на которые команда получает до 5-ти баллов. За ответ с первой попытки – 1 балл, со второй – 0,5 балла.

IV. Презентации решений задач и оппонирование (12 мин.).

На доске чертежи и решения для трех задач:

1. Построение сечения:

1)

2)

3)

Следовательно, .

- линейный искомого угла BPAD.

По теореме косинусов в ∆ MNK:

.

1. Определение проекции Р на основание.

1. апофема РН грани ВРС,

2. апофема РК грани АРВ,

3. НО ВС в плоскости основания,

4. КО АВ в плоскости основания.

Следовательно, РО – высота пирамиды.

Построение сечения :

1. ,

2. ,

3. PN.

Следовательно,

и .

1. Построение сечения:

М – середина РВ,

1. || , || , ||,

2. MF.

Следовательно, (MNK) ||(PCD) и

(FKN) || (PCD) MNKF – плоский

четырехугольник, искомое сечение.

Примерные вопросы для оппонирования (по два на каждую задачу):

-Почему нужно треугольное сечение?

-Формулировка теоремы косинусов.

-Что такое апофема?

-Все ли проекции апофем пересекутся в одной точке основания пирамиды?

-Может ли это сечение быть треугольным, пятиугольным?

-Свойство параллельных плоскостей, одна из которых пересечена прямой?

За решение и представление этого решения от 1 до 3 баллов, за вопрос при оппонировании и ответ на него – 1 балл.

V. Сообщение ученика о развертке пирамиды (6 мин.).

При изготовлении модели пирамиды мы столкнулись с трудностью построения правильной развертки. Если сначала построить четырехугольник и затем на его сторонах начертить 4 треугольника, вырезать, согнуть, то вряд ли получится пирамида.

Решение второй задачи помогло найти алгоритм построения правильной развертки:

-выбираем произвольную точку О внутри четырехугольника АВСD и опускаем из нее перпендикуляры к сторонам четырехугольника;

-на перпендикуляре к АВ берем точку Р₁, к ВС точку Р₂ так, чтобы Р₁В равнялось Р₂В;

-на перпендикуляре к СD берем точку Р₃ так, чтобы СР₃ равнялось СР₂;

-на перпендикуляре к АD берем точку Р₄ так, чтобы DР₄ равнялось DР₃;

Необходимо доказать, что Р₄А равняется Р₁А.

Доказательство.

Обозначим буквами О₁,О₂,О₃,О₄ точки пересечения перпендикуляров со сторонами четырехугольника. С помощью теоремы Пифагора получаем цепочку равенств:

Р₁А²=АО₁²+Р₁О₁²=АО₁²+Р₁В²-ВО₁²=АО₁²-ВО₁²+ВР₂²=АО₁²-ВО₁²+ВО₂²+Р₂О₂²=

=АО₁²-ВО₁²+ВО₂²+Р₂С²-СО₂² =АО₁²-ВО₁²+ВО₂²-СО₂²+Р₃С² =

=АО₁²-ВО₁²+ВО₂²-СО₂²+СО₃²+Р₃О₃² =

=АО₁²-ВО₁²+ВО₂²-СО₂²+СО₃²+Р₃D²-DО₃² =

=АО₁²-ВО₁²+ВО₂²-СО₂²+СО₃²-DО₃²+Р₄D²=

=АО₁²-ВО₁²+ВО₂²-СО₂²+СО₃²-DО₃²+DО₄²+Р₄О₄² =

=(АО₁²-ВО₁²+ВО₂²-СО₂²+СО₃²-DО₃²+DО₄²-АО₄²)+Р₄А²

Осталось доказать, что выражение в скобках равняется нулю и тогда АР₄ =АР₁.

1. Подведение итогов и информация о домашнем задании (3 мин.)

Учитель: Подведем итоги нашего урока. Команды заработали баллы и получают оценки. Домашнее задание: Завершить доказательство задачи в сообщении ученика.

Учитель: Благодарю за работу на уроке.

ПРИЛОЖЕНИЕ №1.

Фронтальный опрос

1. Определение перпендикулярных прямой и плоскости.

2. Признак перпендикулярности прямой и плоскости.

3. Теорема о трех перпендикулярах.

4. Расстояние между точкой и плоскостью, между параллельными прямой и плоскостью, между параллельными плоскостями, между скрещивающимися прямыми.

5. Определение скрещивающихся прямых.

6. Признак скрещивающихся прямых.

7. Угол между прямой и плоскостью.

8. Определение двугранного угла.

9. Величина двугранного угла, определение линейного угла.

10. Признак перпендикулярности плоскостей.

11. Определение и признак параллельных плоскостей.

12. Свойство параллельных плоскостей.

13. Определение и признак параллельных прямой и плоскости.

14. Определение пирамиды, правильной пирамиды.

15. Определение сечения геометрического тела.

ПРИЛОЖЕНИЕ №2.

Задачи, решаемые с использованием модели пирамиды РАВСD

1. Найти величину двугранного угла ВРАD с помощью треугольного сечения, перпендикулярного ребру РА.

2. Определить проекцию вершины Р на плоскость основания пирамиды и построить сечение перпендикулярное основанию, проходящее через данную точку F.

3. Построить сечение параллельное грани РСD и проходящее через середину ребра РВ, найти периметр сечения.

4. Найти расстояние: а) от вершины D до ребра РВ,

б) от вершины С до грани РАD,

в) между прямыми РА и ВС.