Алгоритмы построения геометрических тел

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

ИМЕНИ М. Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Физико-математический факультет

Кафедра информатики и вычислительной техники

РЕФЕРАТ

АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ

ОСНОВНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

Выполнила: студентка группы МДМ-114

Э.С. Шокурова

Саранск 2019

Любой предмет находится в пространстве, его можно обойти и рассмотреть с разных сторон.

Пространство  – это то, что нас или предмет окружает, то есть среда. Главным конструктивным свойством окружающей нас среды является ее трехмерность. Пространство имеет высоту, ширину и глубину. Любой предмет, находясь в пространстве, подчиняется законам этого пространства, то есть является трехмерным. За модель пространства можно принять такую геометрическую фигуру как куб, со всеми его сторонами и гранями. Куб имеет верхнюю поверхность, нижнюю, переднюю, заднюю и две боковые. Пространство также имеет верх и низ, четыре стороны света.

Геометрические тела имеют высоту, ширину, глубину. Чтобы передать трехмерность тел, нам не хватает одного измерения пространства, то есть глубины. Пространство листа, на котором мы хотим изобразить геометрическое тело, двухмерно. Оно имеет высоту, ширину, но не имеет глубины. Для создания глубины (иллюзии) пространства листа (объема) необходимо воспользоваться методом перспективы. Что это такое?

Перспектива (франц. perspective) - «проникать взором», «видеть насквозь». Создание трехмерного изображения на плоскости осуществляется различными путями. Любое изображение на плоскости можно рассматривать как проекцию реально существующего или воображаемого предмета на данную плоскость. Одним из видов такой проекции является перспектива. Она позволяет создать на двухмерной плоскости наиболее убедительное изображение трехмерного пространства.

Передавая пространство и геометрические тела, находящиеся в пространстве, на бумаге, мы пользуемся методом прямой перспективы. Этот метод имеет две особенности:

а) все параллельные линии, уходящие в глубину плоскости, сходятся в одной точке, которая находится на линии горизонта, и все предметы (по мере удаления в глубину) уменьшаются в размере;

б) линия горизонта, не зависимо от того, сидите ли вы или стоите, всегда находится на уровне ваших глаз.

Куб

Куб – это правильный многогранник, у которого все грани это квадраты. Куб является частным случаем параллелепипеда и призмы. 4 сечения куба имеют вид правильных шестиугольников — это сечения через центр куба перпендикулярно 4-м главным диагоналям. В кубе насчитывается шесть квадратов. Все вершины куба являются вершинами 3-х квадратов.

Куб является самой первой и важной геометрической фигурой. Лучшей модели для развития объемно-пространственного мышления не существует. Рисунок куба формирует видение перспективы, является важнейшим источником знаний и умений построения геометрических тел.

Главное в рисунке куба - задать трехмерность, построить его основание с учетом перспективного сокращения и ракурса. А далее просто почти механически построить все грани, соблюдая пропорции и перспективную параллельность линий, сходящихся в точке на линии горизонта. Конечно, для того, чтобы все это выполнить, рисунок куба должен выглядеть конструкцией или, другими словами, прозрачным каркасом. Итак, рисуем каркас куба.

Этапы построения куба:

1. Начать построение с ближайшего ребра.

2. Далее нарисовать «открытую книжку», учитывая, что пары линий, расположенных по одну сторону от «корешка» обязательно должны сходиться.

3. Восстановить перпендикуляры между линиями, идущими по обе стороны от « корешка», тем самым, обозначив две видимые грани и три вертикальных ребра куба.

4. Учитывая основные правила перспективного построения, дорисовать оставшиеся «горизонтальные» ребра куба и, соединив их точки пересечения, получить последнее вертикальное ребро.

Шестигранная призма

Шестигранная призма представляет собой геометрическое тело (с одной стороны, сечение этой формы выглядит как четырехугольник, а с другой стороны, это шестиугольник, причем вписывающийся в круг). Выполнить конструктивный рисунок этого геометрического примитива в пространстве очень сложно, если не увидеть в его конструктивной основе четырехгранную призму («кирпич»), конструкция которой схожа с конструкцией куба.

При построении этого геометрического примитива, необходимо понять его конструкцию как сумму более простых примитивов, таких как четырехгранная призма и две трехгранных призмы.

Этапы построения:

1. Необходимо выполнить каркасный рисунок четырехгранной призмы в пространстве, соблюдая пропорциональные отношения высоты, ширины и глубины.

2. На торцевых поверхностях провести диагонали. В месте пересечения диагоналей получается две точки, которые будут находиться в центре торцевых поверхностей и через которые можно построить перпендикулярное сечение. Оно будет проходить через фигуру четырехгранной призмы.

3. Провести отрезки из вершин четырехгранной призмы, практически повторяющие направление диагоналей, до пересечения с секущей плоскостью и получим еще четыре вершины шестигранной призмы.

4. Соединить вершины между собою при помощи линий и получится конструктивный (каркасный) рисунок шестигранной призмы.

Шар

Шар является геометрическим примитивом. Он трехмерен, имеет все стороны трехмерного пространства, вписывается в куб. Вершины шара, вписанного в куб, находятся в центре поверхностей сторон куба.

Этапы построения:

1. Самый простой способ конструктивного построения шара выполняется так. Проведите две осевые линии, вертикальную и горизонтальную. От центра пересечения осевых линий - согласно пропорциональным отношениям шара с другими геометрическими предметами (если они есть) - отложите одинаковые отрезки на осевых линиях

2. Постройте окружность. Получится двухмерная поверхность в виде круга, но она не является шаром, потому что у нее отсутствует третье измерение, то есть глубина.

3. Чтобы создать объем, надо горизонтальную осевую линию раскрыть до состояния квадратной плоскости в перспективе. Положение этой плоскости в пространстве будет зависеть от вашей точки зрения на этот предмет. Круг должен вписываться в квадрат: постройте окружность (сечение), которая будет в виде эллипса, через четыре точки. Таким образом, мы получили конструктивный рисунок шара в пространстве.

Можно развернуть и вертикальную осевую линию до состояния плоскости. Тогда конструктивный рисунок шара будет нас информировать не только о том, как мы воспринимаем геометрическую фигуру сверху или снизу, но и о том, как воспринимаем ее справа или слева. И, конечно, существует в этом еще один значительный плюс: мы получим две вершины шара. Одна вершина укажет на самую высокую точку шара в пространстве, а другая - на точку опоры, если шар находится на плоскости.

Цилиндр

Форма цилиндра образуется прямоугольным сечением, повернутым в пространстве на 360 градусов вокруг оси. Функцию оси выполняет одна из сторон этого прямоугольного сечения. Если рассмотреть формы сечения цилиндра (а их две), то одна из них представляет собой прямоугольник, а другая - круг.

Этапы построения:

1. Необходимо провести вертикальную осевую линию, отложить на осевой пропорциональный отрезок, равный высоте цилиндра.

2. Затем через крайние точки отрезка провести две горизонтальные осевые линии, строго перпендикулярные вертикальной. На горизонтальных осевых линиях отложите пропорциональные отрезки, равные ширине цилиндра, так, чтобы вертикальная осевая линия делила эти отрезки поровну.

3. В точках, расположенных на горизонтальных осях, нарисовать четыре «скобки».

4. Соединить концы «скобок» и точки, расположенные на вертикальной оси. Придать получившимся фигурам форму правильного эллипса.

5. Соединить крайние точки эллипсов, расположенные на горизонтальных осях, вертикальными линиями.

Особую сложность в конструктивном построении представляет форма цилиндра, лежащего на боковой поверхности. Круглое сечение цилиндра вписывается в квадрат (который относительно легко можно построить в пространстве) по четырем точкам. Поэтому легче сначала построить в пространстве четырехгранную призму, соответствующую пропорциональным отношениям сторон цилиндра, а затем вписать в нее цилиндр.

Список использованных источников

1. Глущенко, Ф. Н. Рисунок по представлению / Ф. Н. Глущенко. – Издательские решения, 2016. – 100с.

2. Жирных, Б. Г. Начертательная геометрия: учебник. / Под общ. ред. В.И.Серегина – 1-е изд. – М. : Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2015. – 168 с.

3. Разумова, О. В. Геометрические построения в пространстве: Учебно-методическое пособие / О. В. Разумова, Е. Р. Садыкова. – Казань : Казан. ун-т. – 2014. – 71 с.

4. Рисунок по представлению [Электронный ресурс] URL: https://www.litres.ru/static/trials/17/19/17/17191709.a4.pdf

5. Понятие о перспективе. Простейшие геометрические тела [Электронный ресурс] URL: http://www.mochalova.ru/meth_artterapia/geom_pr.html