Алгоритмы построения основных геометрических тел

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ

«МОРДОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.Е. ЕВСЕВЬЕВА»

Факультет физико-математический

Кафедра информатики и вычислительной техники

РЕФЕРАТ

АЛГОРИТМЫ ПОСТРОЕНИЯ ОСНОВНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ТЕЛ

Автор работы _______________________________________ А. А. Климентьева

Направление подготовки 44.03.05 Педагогическое образование

Профиль Математика. Информатика

Руководитель работы

канд. физ.-мат. наук, доцент ___________________________ Т. В. Кормилицына

Оценка _______________

Саранск 2021

Содержание

Введение 3

1 Основные геометрические тела и их проекция 4

2. Алгоритм построения проекций основных геометрических тел 7

3. Построение трехмерных моделей в AutoCAD 10

Заключение 17

Список использованных источников 18

Введение

Построения геометрических тел привлекли внимание древнегреческих математиков ещё в VI-V веках до нашей эры. Ими занимались почти все крупные греческие геометры: Пифагор и его ученики, Гиппократ, Евклид, Архимед, Апполоний, Папп и многие другие. Они успешно справлялись с труднейшими задачами на построение с помощью циркуля и линейки.

Средневековье мало дало в области развития конструктивной геометрии, хотя ею занимались многие математики этого времени.

Только в новое время (XVII-XX вв.) теория геометрических построений стала развиваться дальше главным образом в связи с развитием новых разделов математики.

Много внимания уделяли построениям геометрических тел творцы современной математики: Декарт, Ферма, Ньютон, Паскаль, Эйлер, Гаусс. В XVII-XIX веках разрабатывается теория геометрических построений с помощью различных инструментов, отличных от принятых древними. Датчанин Мор и итальянец Маскерони изучали построения, выполнимые циркулем, и обнаружили, что циркуль позволяет решить всякую конструктивную задачу, разрешимую циркулем и линейкой.

На базе накопленного фактического материала в конце XIX и в XX веках появляется ряд сочинений, обобщающих результаты теории геометрических построений.

В настоящее время теория построения геометрических тел представляет обширную и глубоко развитую область математики, связанную с решением разнообразных принципиальных вопросов, уходящих в другие ветви математики.

1 Основные геометрические тела и их проекция

Мир, окружающий человека, состоит из различных геометрических тел. Таким телом называют, связанную часть пространства, ограниченную замкнутой поверхностью своей наружной границы. Геометрическое тело можно определить замкнутой поверхностью, которая будет являться его границей.

К наиболее простым геометрическим телам, относятся:

– куб;

– параллелепипед;

– пирамида,

– цилиндр;

– конус;

– шар.

Любое тело вне зависимости от его формы располагается в пространстве. Пространство – это то, что нас или предмет окружает, то есть среда. Главным конструктивным свойством окружающей нас среды является ее трехмерность . Пространство имеет высоту, ширину и глубину.

Любой предмет, находясь в пространстве, подчиняется законам этого пространства, то есть является трехмерным.

К чертежам пространственных фигур, представленных выше, предъявляются три требования.

Чертеж должен быть:

– верным;

– наглядным;

– свободно выполненным.

Чтобы выполнить первое требование, достаточно строить изображения в строгом соответствии с законами параллельного проектирования. Требование второе обязывает нас из многочисленных параллельных проекций данной фигуры выбрать те, которые наилучшим образом говорят об особенностях формы изображенной фигуры, о взаимном расположении интересующих элементов этой фигуры. В соответствии с последним требованием правила построения должны быть максимально простыми.

Под проекцией пространственной фигуры понимается совокупность проекций всех ее точек. Для получения проекции той или иной фигуры в общем случае не является необходимым проектировать каждую из ее точек. В частности, если говорить о многогранниках, то следует найти проекции всех вершин многогранника, и тем самым будут определены проекции всех его ребер и всех его граней, т. е. проекция всего многогранника. Проекция одной и той же фигуры будет меняться в зависимости от положения натуральной фигуры относительно плоскости проекций и направления проектирования. Из различных возможных проекций следует отобрать те, которые обладают наилучшей наглядностью.

Вообразим, что на проектируемую фигуру по направлению проектирования смотрит наблюдатель, расположенный в пространстве так, что фигура оказывается между ним и плоскостью проекций . Будем считать фигуру непрозрачной. Тогда часть ее линейных элементов будет видна наблюдателю. Эти элементы так и называются видимыми. Другая часть их будет скрыта от наблюдателя. Такие элементы называются невидимыми. Для понимания проекционного чертежа важно знать, какие линии его изображают видимые и какие – невидимые элементы натуральной фигуры. Наглядность изображения заметно выигрывает от правильно сделанной обводки чертежа. В соответствии с действующими графическими нормами видимые элементы изображаемых фигур обводятся сплошными линиями средней «толщины», а невидимые – штриховыми линиями «толщиной» вдвое меньшей.

К проекциям фигур часто применяют преобразование подобия. Результат называют изображением фигуры. В учебных пособиях чаще говорят об изображениях, а не о самих проекциях.

Укажем основные свойства параллельного проектирования:

– Проекция прямой есть прямая.

– Проекции параллельных прямых параллельны или совпадают.

– Проекцией отрезка является отрезок.

– При параллельном проектировании сохраняется простое отношение трех точек.

– Проекции параллельных отрезков параллельны или принадлежат одной прямой.

– Проекции параллельных отрезков, лежащих на одной прямой, пропорциональны самим отрезкам.

Фундаментальное значение при построении изображений пространственных фигур имеет теорема Польке-Шварца: любые три отрезка, выходящие из одной точки и принадлежащие одной плоскости, могут быть приняты за параллельные проекции трех отрезков в пространстве, длины которых находятся в заданном отношении и которые составляют друг с другом заданные углы. Из теоремы Польке-Шварца следует важный вывод: вершины произвольного четырехугольника плоскости могут служить изображением вершин тетраэдра, равного данному тетраэдру.

2. Алгоритм построения проекций основных геометрических тел

Проекция куба. В соответствии с теоремой Польке-Шварца, три ребра куба, выходящие из одной вершины, можно изобразить в виде тройки произвольной длины и произвольно направленных отрезков, выходящих из одной точки. Взяв такую тройку, можно легко достроить изображение куба, учитывая, что все его грани – квадраты, каждый из которых проектируется в соответствующий параллелограмм. Однако не все проекции они одинаково наглядны. Лучшими в этом смысле является изображение куба, в так называемой, «кабинетной» проекции.

Проекция параллелепипеда произвольной формы. Пусть дан некоторый параллелепипед произвольной формы. Возьмем любую тройку ребер, выходящих из одной вершины, и соединим их концы. Получим некоторый тетраэдр. По теореме Польке – Шварца независимо от формы этого тетраэдра мы можем изобразить его в виде произвольного четырехугольника ABCD с диагоналями BC и AD. Дальнейшее построение проекции параллелепипеда определяется тем, что грани параллелепипеда есть параллелограммы и образами их при проектировании также будут параллелограммы. Таким образом, изображением параллелепипеда является фигура, состоящая из трех пар параллелограммов, причем в каждой паре один получается из другого параллельным переносом. Следует учитывать, что изображение ни в какой мере не определяет формы параллелепипеда. Однако можно условиться на изображении проводить ребра прямого параллелепипеда параллельно боковым краям чертежного листа и не параллельно – для параллелепипеда наклонного.

Проекция призмы. Какова бы ни была форма призмы, изображаем ее

основание согласно принципам построения проекций многоугольника, и далее произвольно любым по длине и направлению отрезком изображаем одно из боковых ребер. Изображения граней призмы – параллелограммы. То есть изображением n-угольной призмы на плоскости является фигура, состоящая из двух равных n-угольников (один получается из другого параллельным переносом), изображающих основания призмы, и n параллелограммов, для каждого из которых противоположными сторонами являются изображения параллельных сторон оснований.

В интересах наглядности можно ребра прямых призм изображать параллельными боковому краю листа.

Для изображения любой пирамиды достаточно построить проекцию ее основания и произвольно выбрать проекцию вершины.

Изображением пирамиды является фигура, состоящая из многоугольника, изображающего основание пирамиды – оригинала, и нескольких треугольников с общей вершиной, изображающих боковые грани пирамиды.

Нижнее основание цилиндра изображаем в виде произвольного эллипса. Из центра этого эллипса в произвольном направлении откладываем отрезок произвольной длины, тем самым определяется на изображении центр верхнего основания. Само верхнее основание получим, если построим при найденном центре эллипс, равный уже начерченному и имеющий то же направление главных осей. Осталось провести общие касательные к этим эллипсам (от руки или приложением линейки) и тем самым закончить построение изображения.

Необходимо заметить, что касательные, являющиеся проекциями «крайних» образующих цилиндра, проходят через диаметрально противоположные точки каждого из эллипсов. Эти точки, однако, в общем случае не являются концами главных осей эллипсов. Часто ради большей наглядности эллипсы – основания прямого кругового цилиндра проводят на изображении так, чтобы большая ось каждого из них была перпендикулярна боковому краю листа, а их центры лежали бы на общем перпендикуляре к этим осям. В этом случае крайние боковые образующие пройдут через концы большой оси каждого из эллипсов.

Основание конуса изобразим в виде произвольного эллипса. Независимо от формы конуса вращения проекцию вершины его можем выбрать произвольно (вообще говоря – вне проведенного эллипса). Построим из точки две касательные к эллипсу и изображение будет закончено.

Заметим, что точки касания и контурных образующих и не являются диаметрально противоположными. Более наглядной является проекция конуса, где большая ось эллипса, изображающего основание, параллельна нижнему краю листа, а высота направлена перпендикулярно к ней. Здесь так же образующие и не являются диаметрально противоположными. Это важно помнить, чтобы верно изобразить осевое сечение конуса. Ясно, что треугольник не является таким сечением. Проведя диаметр и образующую , получим треугольник – одно из осевых сечений. Можно взять осевое сечение, не содержащее контурных восемь образующих. Таким сечением является, например, треугольник .

Все прямые, касательные к шару и имеющие направление проектирования, образуют цилиндрическую поверхность вращения, которая пересекается с плоскостью по эллипсу. Эта линия называется очертанием шара. Чтобы изображение шара сделать более наглядным, изображают обычно, кроме его очертания, еще какую-либо окружность большого круга – экватор, а также точки пересечения диаметра шара, перпендикулярного к плоскости экватора, с поверхностью шара – полюсы, соответствующие экватору. При этом плоскость экватора берут не перпендикулярно к плоскости проекции, так как в противном случае окружность большого круга изобразится отрезком, а полюсы окажутся на очертании шара и изображение не станет нагляднее.

3. Построение трехмерных моделей в AutoCAD

Существует множество систем автоматизированного проектирования, ориентированных на построение трёхмерных моделей. Одной из таких систем является AutoCAD. Данная программа одна из первых САПР (система автоматизированного проектирования), которые работают на сравнительно дешевых персональных компьютерах. В своем развитии AutoCAD прошел путь от простой системы построения плоских изображений до системы, позволяющей работать с телами в пространстве, и сейчас по праву считается стандартом среди систем автоматизированного проектирования.

С появлением мощных персональных компьютеров, стало возможно создавать очень сложные пространственные компьютерные модели деталей, механизмов и конструкций. Изменяется способ конструирования: модель изделия перемещается из головы конструктора в память компьютера. Ручное построение проекций изделия на чертеже заменяется автоматизированным, уменьшающим вероятность ошибок. Кроме получения чертежа та же модель используется и для других целей – прочностных, гидроаэродинамических расчетов и т.п.

В отличие от трехмерных моделей, создаваемых дизайнерами для представления внешнего вида изделий и представляющих собой совокупность поверхностей с пустотой внутри, моделирование для технических целей строит модель как твердое тело, имеющее внутри материал с определенными свойствами, позволяющий делать корректные разрезы и сечения для уточнения внутренней конструкции детали. AutoCAD позволяет строить модели обоих типов, но в технических моделях их нельэя смешивать в одной конструкции.

Использование AutoCAD для создания трехмерных моделей (в английской нотации 3 dimension или сокращенно 3D) и их изображений требует применения набора трехмерных примитивов и несколько иного подхода к построениям. Работа в трехмерном пространстве представляет собой сочетание компоновки и редактирования 3D примитивов с установкой видов и видовых экранов для изображения модели. А, следовательно, от пользователя требуется умение сформировать корректную трехмерную модель, правильно пользоваться различными трехмерными системами координат, правильно задавать пользовательские системы координат, а также корректно задавать виды трехмерных моделей.

Моделирование с помощью тел – это самый простой в использовании вид трехмерного моделирования. Средства AutoCAD позволяют создавать трехмерные объекты на основе базовых пространственных примитивов: параллелепипедов, конусов, цилиндров, сфер, клинов и торов (колец). Из них путем объединения, вычитания и пересечения строятся более сложные пространственные тела. Кроме того, тела можно строить, сдвигая плоский объект вдоль заданного вектора или вращая его вокруг оси. С помощью программы AutoCAD Designer(приложение к AutoCAD, входящее в состав пакета Autodesk Mechanical Desktop) форму и размеры тел можно задавать параметрически, поддерживая связь между 3D (ЗМ) моделями и генерируемыми на их основе 2D (2М) видами.

Твердотельный объект, или тело, представляет собой изображение объекта, хранящее, помимо всего прочего, информацию о своих объемных свойствах. Следовательно, тела наиболее полно из всех типов трехмерных моделей отражают моделируемые объекты. Кроме того, тела, несмотря на их кажущуюся сложность, легче строить и редактировать, чем каркасные модели и сети.

Модификация тел осуществляется путем сопряжения их граней и снятия фасок. В AutoCAD имеются также команды, с помощью которых тело можно разрезать на две части, оставив одну из них, или получить его двумерное сечение.

Тела имеют внешний вид, аналогичный проволочным моделям, до тех пор, пока к ним не применены операции подавления скрытых линий, раскрашивания и тонирования. В отличие от всех остальных моделей, у тел можно анализировать масс-инерционные свойства (объем, момент инерции, центр масс и т.п.). Данные о теле могут экспортироваться в такие приложения, как системы числового программного управления (ЧПУ) и анализа методом конечных элементов (МКЭ). Тела могут быть преобразованы в элементарные типы моделей – сети и каркасные модели.

Плотность каркасных линий, используемых для визуализации криволинейных элементов модели, определяется системной переменной ISOLINES и устанавливается в настройках. Чрезмерно большое число каркасных линий замедляет работу. Слишком малое, которое установлено по умолчанию, дает весьма смутное представление о криволинейных телах в аксонометрических проекциях.

Поэтому до начала конструирования модели желательно увеличить это число до 12 – 16. Но изменение можно сделать и в любой момент, после чего требуется подать команду перерисовки изображения Regen all. Системная переменная FACETRES задает степень сглаживания тонированных объектов с подавленными скрытыми линиями.

Простейшие «кирпичики», из которых строятся сложные трехмерные объекты, называют твердотельными примитивами. С помощью команд BOX (ЯЩИК), WEDGE (КЛИН), CONE (КОНУС), CYLINDER (ЦИЛИНДР), SPHERE (ШАР) можно создать модели любого из стандартных тел заданных размеров, введя требуемые значения.

Команда BOX (ЯЩИК) позволяет создать твердотельный параллелепипед (ящик, куб). Для этого следует указать: или положение диагонально противоположных углов; или положение противоположных углов основания и высоту; или положение центра ящика с заданием угла или высоты либо длины и ширины ящика.

Запрос:

Center/ : (Центр/Угол ящика :)

Ключ Center (Центр) определяет ящик с помощью указания положения его центральной точки. Ключ Corner of Box (Угол ящика) требует указания положения или ввода координат точки угла ящика.

В обоих случаях далее выдаются аналогичные запросы:

Center of box: или Corner of box

(Центр ящика : или угол ящика )

Cube/Length/:

(Куб/Длина/другой угол:)

Команда Cube (Куб) – создает ящик, у которого все ребра равны.

Запрос:

Length: (Длина:)

Length (Длина) – создает ящик заданных длины (по оси X), ширины (по оси Y) и высоты (по оси Z) текущей UCS (ПСК).

Запросы:

Length: (Длина:)

Width: (Ширина:)

Height: (Высота:)

Other corner (Другой угол) – предлагается по умолчанию и выбирается путем указания точки расположения угла. Если координата Z совпадает либо с центром, либо с точкой первого угла, то выдается запрос:

Height:(Высота:)

Команда WEDGE (КЛИН) создает твердотельную треугольную призму. Основание клина всегда рисуется параллельно плоскости построений текущей системы координат.

Все запросы и ключи этой команды аналогичны запросам и ключам команды BOX (ЯЩИК).

Команда CONE (КОНУС) позволяет создать твердотельный конус, основание которого (окружность или эллипс) лежит в плоскости XY текущей системы координат, а вершина располагается по оси Z.

Для описания конуса необходимо задать размеры его основания и высоту.

Запрос:

Elliptical: (Эллиптический/центральная точках 0,0,0:)

Ключ Elliptical (Эллиптический) позволяет создавать основание конуса в виде эллипса. Запросы аналогичны тем, что используются в AutoCAD при создании эллипса:

Center/ : (Центр/ :)

Axis endpoint 2: (2-й конец оси:)

Other axis distance: (Длина другой оси:)

Арех/ : (Вершина/ :)

Ключи:

Axis endpoint (Конечная точка оси) – создает эллиптическое основание конуса; для этого нужно указать точки для задания диаметра по одной оси и радиуса – по другой. Выбор этого ключа осуществляется автоматически при указании координат точки.

Center (Центр) – позволяет задать эллиптическое основание конуса; для этого нужно указать координаты его центральной точки и значения радиуса по каждой из осей.

Запросы:

Center of ellipse :(Центр эллипса :)

Axis endpoint: (Конечная точка оси:)

Other axis distance:(Длина другой оси:)

Apex/:(Вершина/:)

Apex (Вершина) – определяет высоту и ориентацию конуса; для этого нужно задать точку вершины.

Запрос:

Apex:(Вершина:)

Height (Высота) – устанавливает только высоту конуса, но не его ориентацию. Ориентация определяется знаком, стоящим перед значением высоты: при знаке + (плюс) высота откладывается вдоль положительной полуоси Z; при знаке минус – вдоль отрицательной полуоси Z.

Ключ Center point (Центральная точка) создает круговое основание.

Запрос:

Diameter/ :(Диаметр/ :)

Ключи:

Diameter (Диаметр) – позволяет задать круговое основание с

помощью диаметра.

Запросы:

Diameter:(Диаметр:)

Apex/ :(Вершина/ :)

Radius (Радиус) – позволяет задать круговое основание конуса; для этого нужно указать положение радиуса окружности или ввести положительное ненулевое значение его длины.

Чтобы построить усеченный конус или конус, ориентированный под некоторым углом, нужно вначале нарисовать двумерную окружность, а затем, помощью команды EXTRUDE, произвести коническое выдавливание под углом к оси Z. Чтобы усечь конус, нужно, используя команду SUBTRACT, вычесть из него параллелепипед, внутри которого находится вершина конуса.

Команда CYLINDER (ЦИЛИНДР) позволяет создавать твердотельный цилиндр. Информация, необходимая для описания цилиндра, аналогична той, что используется для описания конуса, поэтому запросы команды CYLINDER (ЦИЛИНДР) совпадают с запросами команды CONE (КОНУС).

Примечание. Центральная ось цилиндра совпадает с осью Z текущей системы координат, но при этом ключ Apex (Вершина) называется Center of other end (Центр другого конца).

Если необходимо построить цилиндр специальной формы (например, с пазами), следует вначале с помощью команды PLINE (ПЛИНИЯ) создать двумерное изображение его основания в виде замкнутой полилинии, затем, используя команду EXTRUDE (ВЫДАВИ), придать ему высоту ocи Z.

Команда SPHERE (ШАР) позволяет создать твердотельный шар (сферу). Для этого достаточно задать его радиус или диаметр. Каркасное представление тора располагается таким образом, что его центральная ось совпадает с осью Z текущей системы координат.

Запросы:

Center of sphere :

(Центр шара :)

Diameter/ of sphere:

(Диаметр/Радиус шара:)

Ключи:

Diameter (Диаметр) – создает шар; для этого нужно задать его диаметр.

Запрос:

Diameter:(Диаметр:)

Radius (Радиус) – создает шар; для этого нужно задать положительное ненулевое значение его радиуса.

Чтобы построить часть шара в виде купола или чаши, нужно, использовать команду SUBTRACT (ВЫЧТИ), вычесть из него параллелепипед. Если необходимо построить шарообразное тело специальной формы, следует вначале создать его двумерное сечение, а затем, применив команду REVOLV (ВРАЩАЙ), вращать сечение под заданным углом к оси Z.

Заключение

Подводя итог, хотелось бы сказать о том, что построение геометрических тел является достаточно трудоёмким процессом. Для его упрощения и уменьшения количества временных затрат, часто используются системы автоматизированного проектирования. Существует много способов построения 3D моделей геометрических тел в таких системах. Квалифицированные специалисты, обладающие большим опытом конструкторской работы, имеют собственные подходы к разработке твердотельных моделей, выработанные многолетней практикой. Часто этот опыт приобретается через совершение определенного количества проб и ошибок, приводя, в итоге, к наиболее рациональному решению.

Список использованных источников

1. Боброва, И. И. Математика и информатика в задачах и ответах : учебно-методическое пособие / И. И. Боброва. – 2-е изд., испр. и доп. – Москва : ФЛИНТА, 2014. – 231 с. : ил. – URL: https://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=482167 (дата обращения: 25.11.2021). – ISBN 978-5-9765-2083-7. – Текст : электронный.

2. Мясоедова, Т. М. 3D-моделирование в САПР AutoCAD : учебное пособие : [16+] / Т. М. Мясоедова, Ю. А. Рогоза. – Омск : Омский государственный технический университет (ОмГТУ), 2017. – 112 с. : табл., схем., ил. – Режим доступа: по подписке. – URL: https://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=493417 (дата обращения: 27.11.2021). – Библиогр. в кн. – ISBN 978-5-8149-2498-8. – Текст : электронный.

3. Перелыгина, Л. Г. Черчение : учебное пособие : [12+] / Л. Г. Перелыгина. – Минск : Лiтаратура i Мастацтва, 2012. – 148 с. – Режим доступа: по подписке. URL: https://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=139762 (дата обращения: 27.11.2021). – ISBN 978-985-556-002-0. – Текст : электронный.

4. Притыкин, Ф. Н. Компьютерная графика : учебное пособие : [16+] / Ф. Н. Притыкин, Т. М. Мясоедова ; Омский государственный технический университет. – Омск : Омский государственный технический университет (ОмГТУ), 2019. – 155 с. : ил., табл., схем., граф. – Режим доступа: по подписке. – URL: https://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=682135 (дата обращения: 25.11.2021). – Библиогр. в кн. – ISBN 978-5-8149-2802-3. – Текст : электронный.

5. Царев, А. В. Элементы абстрактной и компьютерной алгебры : учебное пособие / А. В. Царев, Г. В. Шеина ; учред. Московский педагогический государственный университет. – Москва : Московский педагогический государственный университет (МПГУ), 2016. – 116 с. : ил. – URL: https://biblioclub.ru/index.php?page=book&id=471787 (дата обращения: 27.11..2021). – Библиогр. в кн. – ISBN 978-5-4263-0393-5. – Текст : электронный.