Задачи на геометрическое место точек

Задачи на геометрическое место точек

Геометрия. Глава IV. §4

Сарычев П. А.

Дана прямая . Где будут находиться точки, удалённые от этой прямой на одно и то же расстояние ?

Геометрическое место точек

Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек плоскости, удовлетворяющих какому-то условию.

Найти геометрическое место точек, удалённых от прямой на одно и то же расстояние

Геометрическое место точек

Геометрическим местом точек (ГМТ) называют множество всех точек плоскости, удовлетворяющих какому-то условию.

Найти геометрическое место точек, удалённых от прямой на одно и то же расстояние

Проведём прямые и так, чтобы причём

I. Все точки, удалённые от прямой на расстояние , лежат на прямых и

Если , то или

II. Все точки прямых и удалены от прямой на расстояние

Если или , то

Даны параллельные прямые a и b. Найти геометрическое место середин отрезков, соединяющих точки, лежащие на прямых a и b соответственно.

Гипотеза. ГМТ – все точки прямой , параллельной прямым и и равноудалённой от них.

Даны параллельные прямые a и b. Найти геометрическое место середин отрезков, соединяющих точки, лежащие на прямых a и b соответственно.

• Дано: – сер. , ,

Доказать: .

1) Проведём перпендикуляры к и к . Тогда

2) Рассмотрим и – п/уг

1) (т.к. – сер. )

2) (как накрест леж. при и секущей )

Следовательно, по гипотенузе и острому углу.

3) (т.к. ), т.е.

Даны параллельные прямые a и b. Найти геометрическое место середин отрезков, соединяющих точки, лежащие на прямых a и b соответственно.

• Дано: .

Доказать: – сер. , где .

1) Проведём перпендикуляры к и к . Тогда .

2) (т.к. )

3) (как накрест леж. при и секущей )

4) (как односторонние при и секущей )

5) . Следовательно, и – сер.

Решение задач на ГМТ

Чтобы найти множество всех точек, удовлетворяющих данному условию, нужно:

• Сформировать гипотезу, какой фигурой является это множество точек;
• Доказать, что если точка удовлетворяет данному условию, то она принадлежит фигуре;
• Доказать, что если точка принадлежит фигуре, то она удовлетворяет данному условию;
• Сделать вывод.

Домашнее задание

• Из точки к прямой проведены наклонные и и перпендикуляр так, что луч проходит внутри угла Сравните отрезки и , если
• Даны точки и . Найти геометрическое место точек, удаленных от и на одно и то же расстояние .