"Второй и третий признаки равенства треугольников", геометрия, 7 класс

ВТОРОЙ И ТРЕТИЙ ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ 7 КЛАСС

НО СВОЕОБРАЗНУЮ УСТОЙЧИВОСТЬ, СТАБИЛЬНОСТЬ И СОВЕРШЕНСТВО ЧИСЛА 3  ЛЮДИ ОЦЕНИВАЛИ И ВЫДЕЛЯЛИ ДАВНО.

Об этом говорят сказки.

• Там мы встречаем «Три медведя», «Три ветра», «Три поросенка», «Три товарища», «Три брата», «Три счастливца», «Трое умельцев», «Три царевича», «Три друга», «Три богатыря» и др.

• Там даются «три попытки», «три совета», «три указания», «три встречи», исполняются «три желания», нужно потерпеть «три дня», «три ночи», «три года», пройти через «три государства», «три подземных царства», выдержать «три испытания», проплыть через «три моря».

ПОВТОРЕНИЕ:

Два треугольника называются равными , если совмещаются наложением

• Первый признак равенства (по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны

ВТОРОЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКА ТЕОРЕМА: ЕСЛИ СТОРОНА И ДВА ПРИЛЕГАЮЩИХ К НЕЙ УГЛА ОДНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА СООТВЕТСТВЕННО РАВНЫ СТОРОНЕ И ДВУМ ПРИЛЕЖАЩИМ К НЕЙ УГЛАМ ДРУГОГО ТРЕУГОЛЬНИКА, ТО ТАКИЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ РАВНЫ.

А1

В1

С1

А

В

С

ДАНО:  ABC ,  A 1 B 1 C 1 АВ = A 1 B 1 A = A 1 B = B 1 ДОКАЗАТЬ:  ABC =  A 1 B 1 C 1

Доказательство:

• Наложим  ABC на  A 1 B 1 C 1 так, чтобы вершина А совместилась с вершиной A 1 , сторона АВ с равной стороной A 1 B 1 , а вершины С и C 1 оказались по одну сторону от прямой A 1 B 1
• Т. к. угол А равен углу A 1 и угол В равен углу B 1 , то лучи равных углов, и вершины C и C 1 совпадут
• Значит,  ABC наложится на  A 1 B 1 C 1 , т. е.  ABC =  A 1 B 1 C 1

5

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

В

С

Доказать:  A ВС=  С DA

А

D

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

А

Доказать:  AOD =  B О C

О

С

D

В

2) Найти ВС и СО, если

О D = 23 см и DA = 30 см

Решение задач.

B

ДАНО:  АСВ=  ACD ,

АС-биссектриса  В AD .

Доказать: ∆ АВС= ∆ А D С

2

C

1

А

Доказательство:

1.АС-общая

2.  АСВ=  ACD} по усл.

3.  1=  2 } по свойству

биссектрисы

D

∆ АВС= ∆ А D С ч.т.д.

Следовательно,

ТРЕТИЙ ПРИЗНАК РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Дано: ∆ АВС, ∆ А₁В₁С₁,

АВ=₁А₁В₁, ВС=В₁С₁, АС=А₁С₁.

Доказать: ∆ АВС= ∆ А₁В₁С₁

Доказательство:

Приложим ∆ АВС к ∆ А₁В₁С₁ так, чтобы АВ совместилась с В₁А₁, а вершины С и С₁ находились по разные стороны от прямой А₁В₁.

В

С₁

А₁

А

С

В₁

 1=  2;  3=  4;  АВС=  А₁В₁С₁, т.к  АВС=  2+  4,  А₁В₁С₁=  1+  3; =∆АВС=∆А₁В₁С₁ ( по первом признаку равенства треугольников) С₁ 1 3 2 С 4 В₁(В)" width="640"

Возможны три случая:

1. случай

А₁(А)

∆ СА₁С₁ и ∆ СВ₁С₁- равнобедренные,

=  1=  2;  3=  4;  АВС=  А₁В₁С₁,

т.к  АВС=  2+  4,  А₁В₁С₁=  1+  3;

=∆АВС=∆А₁В₁С₁ ( по первом

признаку равенства

треугольников)

С₁

1

3

2

С

4

В₁(В)

С₁

2.случай

А(А₁)

С

В(В₁)

С₁

3.случай

А(А₁)

С

В(В₁)

ПРИЗНАКИ РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Признаки равенства треугольников

Решение задач.

L

K

Дано: Р KLN =21 c м, Р KLMN =26 см.

Найти: NL .

Решение:

1. ∆ KLN= ∆ NML ( по третьему

признаку равенства

треугольников:

1. NK=LM

2 . KL=NM} (по условию)

3 . NL -общая

2. LN=P KLN -½P KLMN =21-½26=21-13=

= 8(c м)

M

N

Ответ: 8 см.

О D А ∆ АВС= ∆ DCB . Рассмотрим ∆ ВОС- равнобедренный, т.к.  1=  2 (по условию), 1.ВО=ОС 2.  3=  4 (по условию) 3.АВ=С D (т.к. ∆ АВС= ∆ D СВ)= ∆ АВО= ∆ DCO по 1 признаку равенства треугольников" width="640"

Дано:  1=  2;  3=  4.

Доказать: ∆ АВС= ∆ DCB ; ∆ АВО= ∆ DCO .

С

В

2

1

3

4

Доказательство:

1.ВС-общая

2.  В=  С, т.к.  1+  3 =  В;

 2+  4 =  С

3.  1=  2, по условию, =

О

D

А

∆ АВС= ∆ DCB .

Рассмотрим ∆ ВОС- равнобедренный, т.к.  1=  2

(по условию), 1.ВО=ОС

2.  3=  4 (по условию)

3.АВ=С D (т.к. ∆ АВС= ∆ D СВ)=

∆ АВО= ∆ DCO по 1 признаку равенства

треугольников

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ

• Доказать:  ТСО=  РВО

Т

2) Найти ОС и ТС, если

ОВ = 5 дм и ВР = 30 см

О

В

С

Р

ЗАДАЧА № 1

Треугольники ABC и ABC 1 равнобедренные с общим основанием AB . Докажите равенство треугольников ACC 1 , и BCC 1 .

ЗАДАНИЕ

Распределите все чертежи на группы:

• Равные треугольники по первому признаку
• Равные треугольники по второму признаку
• Равные треугольники по третьему признаку
• Треугольники не равны или невозможно определить

ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ

• Выучить признаки равенства треугольников,
• № 140, 125, 126