Обобщение за курс геометрии 7 класса. «Нет царского пути к геометрии»

№ вопроса

Вопрос

Ответ

1.

Перечислите основные понятия в геометрии. Какие из них неопределяемые?

Точка, прямая, отрезок, луч, плоскость.

Нет определения у понятий точка, прямая.

2.

Какая фигура называется углом?

Виды углов.

Градусная мера угла.

Угол – это геометрическая фигура, которая состоит из точки и двух лучей, исходящих из этой точки.

Углы бывают:

• Острые;

• Прямые;

• Тупые;

• Развернутые.

За единицу измерения углов принимают градус – угол, равный 1/180 части развернутого угла. Положительное число, которое показывает, сколько раз градус и его части укладываются в данном угле, называется градусной мерой угла.

3.

Что такое теорема; аксиома? (Приведите примеры)

Теорема – это утверждение, которое требует доказательства.(Например: …)

Аксиома – это утверждение, которое принимается как исходное положение, не требующее доказательства.

(Например: …)

4.

Сформулируйте признаки равенства треугольников.

1 признак: Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2 признак: Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3 признак: Если три стороны одного треугольника соответственно равны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

5.

Докажите теорему о сумме углов треугольника.

Теорема: Сумма углов треугольника равна 180º.

Док-во: Рассмотрим произвольный треугольник АВС. Проведем прямую а параллельно основанию треугольника. Углы, образованные боковыми сторонами и прямой а, равны как накрест лежащие при параллельных прямых и секущих боковых сторонах. Значит сумма углов при прямой а, образует развернутый угол. Следовательно, сумма углов треугольника равна 180º.

6.

Какие прямые называются параллельными?

Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

7.

Верны ли следующие утверждения:

а) Через любые три точки проходит ровно одна прямая.

б) В треугольнике против большей стороны лежит больший угол.

в) Каждая сторона треугольника больше суммы двух других сторон.

г) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы составляют в сумме 90º, то эти две прямые параллельны.

д) Внешний угол треугольника больше каждого, не смежного с ним, внутреннего угла.

Верные утверждения: б), д)

№ вопроса

Вопрос

Ответ

1.

Как называется геометрия, изучающая свойства фигур в пространстве?

Стереометрия.

2.

Какие углы образуются при пересечении двух прямых? Какими свойствами они обладают?

При пересечении двух прямых образуются смежные и вертикальные углы.

Смежными углами называют два угла, у которых одна сторона общая, а две другие являются продолжениями одна другой.

Вертикальные углы – это два угла если стороны одного угла являются продолжениями сторон другого.

Свойство смежных углов: Сумма смежных углов равна 180º.

Свойство вертикальных углов: Вертикальные углы равны.

3.

Какая фигура называется треугольником? Виды треугольников. (Сделать чертежи, указать вершины, стороны)

Треугольник – это геометрическая фигура, состоящая из трёх точек, не лежащих на одной прямой, и соединенных отрезками.

Точки – вершины, отрезки – стороны треугольника.

4.

Сформулируйте свойства равнобедренных треугольников.

Равнобедренный треугольник – это треугольник, боковые стороны которого равны.

Свойства равнобедренного треугольника:

- В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

- В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

- В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой.

- В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и биссектрисой.

5.

Докажите теорему о внешнем угле треугольника.

Внешним углом треугольника называется угол, смежный с каким-нибудь углом этого треугольника.

Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.

Док-во:

4

Углы 3 и 4 – смежные, значит 3 + 4 = 180º.

1 + 2 + 3 = 180º. Следовательно, 1 + 2 = 4

6.

Какие прямые называются перпендикулярными?

Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если они образуют четыре прямых угла.

7.

Верны ли следующие утверждения:

а) Если при пересечении двух прямых третьей прямой, то внутренние односторонние углы равны.

б) В прямоугольном треугольнике гипотенуза больше любого из катетов.

в) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной и при том только одну.

г) Внешний угол треугольника всегда больше внутреннего.

д) Сумма смежных углов равна 90º.

Верные утверждения: б), в).

№ вопроса

Вопрос

Ответ

1.

Как называется геометрия, изложенная Евклидом?

Геометрия, изложенная в «Началах», называется евклидовой геометрией. «Начала» - сочинение, содержащее свод аксиом и теорем, доказанных с помощью аксиом. Родителем «Начал» является Евклид.

2.

Из каких частей состоит один градус? Чему равна одна минута; одна секунда?

Один градус состоит из 60 минут или 3600 секунд. 1 минута = 60 секундам; 1 секунда = 1/60 минуты.

3.

Дайте определения биссектрисы, медианы и высоты треугольника. (Сделать чертежи)

Биссектриса треугольника – отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Медиана треугольника – отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Высота треугольника – перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

4.

Сформулируйте признаки равенства прямоугольных треугольников.

1 признак: Если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.

2 признак: Если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему острому углу другого, то такие треугольники равны.

3 признак: Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.

4 признак: Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого, то такие треугольники равны.

5.

Докажите теорему о неравенстве треугольника.

Теорема: Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон.

Док-во:

В ВС = СD, 1 = 2,

АВD 1, следова-

тельно АВD 2. Так

как против большего

А С D угла лежит большая сторона, то АВ

6.

Признаки параллельности прямых.

1 признак: Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

2 признак: Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

3 признак: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 180º, то прямые параллельны.

7.

Верны ли следующие утверждения:

а) Через любые две точки можно провести отрезок и притом ни один.

б) Если прямая перпендикулярна к одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и ко второй прямой.

в) Катет, прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30º, равен гипотенузе.

г) Если два угла в треугольнике равны, то он равнобедренный.

д) Внешний угол треугольника равен сумме углов треугольника.

Верные утверждения: б), г).