Урок по теме: "Центральные и вписанные углы"

центральные и вписанные углы.

Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом .

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом .

• Следствие 1

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

• Следствие 2

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой

Вписанная окружность

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности.

Теорема

В любой треугольник можно вписать окружность.

• Замечания

1) Отметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность.

2) В отличие от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность

Описанная окружность

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник — вписанным в эту окружность.

• Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

• Замечания

1)    Отметим, что около треугольника можно описать только одну окружность.

2)    В отличие от треугольника около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

Презентация к уроку математики в 8 классе

По теме:

«Вписанная окружность»

Учебник «Геометрия, 7 –9», авт. Л. С. Атанасян

Актуализация знаний

• Сформулируйте теорему о биссектрисе угла.

• Сформулируйте обратную теорему.

• Сформулируйте свойство биссектрис треугольника.

• Что такое срединный перпендикуляр к отрезку?

• Сформулируйте теорему о срединном перпендикуляре к отрезку.

• Сформулируйте свойство высот треугольника.

Что общего в них можно заметить с точки зрения геометрических фигур?

на всех рисунках, окружности находится внутри прямоугольника или треугольника

каждая из сторон треугольника пересекает окружность в одной точке, т.е. касается ее.

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то такая окружность называется вписанной в многоугольник. А многоугольника в этом случае называется описанным около окружности.

Определение: окружность называется вписанной в треугольник,

если все стороны треугольника касаются окружности.

На каком рисунке окружность вписана в треугольник:

3)

1)

2)

5)

4)

Если окружность вписана в треугольник,

то треугольник описан около окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность.

• Дано:  АВС, окружность с центром в точке О.
• Доказать: окружность с центром в точке О вписана в треугольник DАВС
• Доказательство

Рассмотрим  АВС. Проведем биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке О. Проведем перпендикуляры ОК, ОL и ОM к сторонам  АВС. Отметим равные отрезки ОК, ОL и ОM. Они равны, потому что ОК, ОL и ОM – радиусы одной и той же окружности.

Заметим  АMO=  АKO, по гипотенузе и острому углу: AO – общая,  МАО=  КАО, т.к. АО-биссектриса,  АМО=  АКО=90°.

Это значит, что OK=OM, аналогично можно доказать, что ОК=OL. Итак, окружность проходит через точки K, L, M, а стороны треугольника касаются окружности в точках K, L, M.

Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в DАВС.

Задача: в прямоугольный треугольник вписана окружность,

гипотенуза точкой касания делится на отрезки 6 см и 4 см.

Найдите радиус вписанной окружности.

А

Дано: АВС, С = 90 0

Окр.(О;r) вписана,

АМ = 6 см, ВМ = 4 см

Найти: r.

6

Решение:

М

r

О

АВ = АМ + ВМ = 6 + 4 = 10(см)

r

4

К

Т. к. Окр.(O;r) вписана в АВС, то

АВ, АС,ВС – касательные и по свойству

касательных, проведённых из одной точки:

АМ = АК = 6 см, ВЕ = ВМ = 4 см, СК = СЕ

r

С

В

Е

,

Т. к. С = 90 0 , то СКОЕ – квадрат, поэтому СК = СЕ = r.

АС= 6+ r, ВС = 4 + r

По теореме Пифагора: АС 2 + ВС 2 = АВ 2

(6 + r) 2 + (4 + r) 2 = 10 2

Решив квадратное уравнение, получим r = 2 см

Ответ: 2 см

Задача: в прямоугольный треугольник вписана окружность, гипотенуза точкой касания делится на отрезки 10 см и 6 см.

Найдите радиус вписанной окружности.