kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Урок по теме: "Центральные и вписанные углы"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Материал по теме: "Центральные и вписанные углы"

Просмотр содержимого документа
«Урок по теме: "Центральные и вписанные углы"»

центральные и вписанные углы. Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом .  Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом .

центральные и вписанные углы.

Угол с вершиной в центре окружности называется ее центральным углом .

Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным углом .

Следствие 1 Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Следствие 2
  • Следствие 1

Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

  • Следствие 2

Вписанный угол, опирающийся на полуокружность — прямой

Вписанная окружность Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности. Теорема В любой треугольник можно вписать окружность. Замечания 1) Отметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. 2) В отличие от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны. Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность

Вписанная окружность

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник — описанным около этой окружности.

Теорема

В любой треугольник можно вписать окружность.

  • Замечания

1) Отметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность.

2) В отличие от треугольника не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность

Описанная окружность Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник — вписанным в эту окружность. Теорема Около любого треугольника можно описать окружность. Замечания 1)    Отметим, что около треугольника можно описать только одну окружность. 2)    В отличие от треугольника около четырехугольника не всегда можно описать окружность. В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

Описанная окружность

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник — вписанным в эту окружность.

  • Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

  • Замечания

1)    Отметим, что около треугольника можно описать только одну окружность.

2)    В отличие от треугольника около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180°.

Презентация к уроку математики в 8 классе По теме: «Вписанная окружность» Учебник «Геометрия, 7 –9», авт. Л. С. Атанасян

Презентация к уроку математики в 8 классе

По теме:

«Вписанная окружность»

Учебник «Геометрия, 7 –9», авт. Л. С. Атанасян

Актуализация знаний

Актуализация знаний

  • Сформулируйте теорему о биссектрисе угла.
  • Сформулируйте обратную теорему.
  • Сформулируйте свойство биссектрис треугольника.
  • Что такое срединный перпендикуляр к отрезку?
  • Сформулируйте теорему о срединном перпендикуляре к отрезку.
  • Сформулируйте свойство высот треугольника.
Что общего в них можно заметить с точки зрения геометрических фигур? на всех рисунках, окружности находится внутри прямоугольника или треугольника

Что общего в них можно заметить с точки зрения геометрических фигур?

на всех рисунках, окружности находится внутри прямоугольника или треугольника

каждая из сторон треугольника пересекает окружность в одной точке, т.е. касается ее. Если все стороны многоугольника касаются окружности, то такая окружность называется вписанной в многоугольник. А многоугольника в этом случае называется описанным около окружности.

каждая из сторон треугольника пересекает окружность в одной точке, т.е. касается ее.

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то такая окружность называется вписанной в многоугольник. А многоугольника в этом случае называется описанным около окружности.

Определение: окружность называется вписанной в треугольник,  если все стороны треугольника касаются окружности. На каком рисунке окружность вписана в треугольник: 3) 1) 2) 5) 4) Если окружность вписана в треугольник, то треугольник описан около окружности.

Определение: окружность называется вписанной в треугольник,

если все стороны треугольника касаются окружности.

На каком рисунке окружность вписана в треугольник:

3)

1)

2)

5)

4)

Если окружность вписана в треугольник,

то треугольник описан около окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность. Дано:  АВС, окружность с центром в точке О. Доказать: окружность с центром в точке О вписана в треугольник DАВС Доказательство Рассмотрим  АВС. Проведем биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке О. Проведем перпендикуляры ОК, ОL и ОM к сторонам  АВС. Отметим равные отрезки ОК, ОL и ОM. Они равны, потому что ОК, ОL и ОM – радиусы одной и той же окружности. Заметим  АMO=  АKO, по гипотенузе и острому углу: AO – общая,  МАО=  КАО, т.к. АО-биссектриса,  АМО=  АКО=90°. Это значит, что OK=OM, аналогично можно доказать, что ОК=OL. Итак, окружность проходит через точки K, L, M, а стороны треугольника касаются окружности в точках K, L, M. Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в DАВС.

В любой треугольник можно вписать окружность.

  • Дано:  АВС, окружность с центром в точке О.
  • Доказать: окружность с центром в точке О вписана в треугольник DАВС
  • Доказательство

Рассмотрим  АВС. Проведем биссектрисы треугольника, пересекающиеся в точке О. Проведем перпендикуляры ОК, ОL и ОM к сторонам  АВС. Отметим равные отрезки ОК, ОL и ОM. Они равны, потому что ОК, ОL и ОM – радиусы одной и той же окружности.

Заметим  АMO=  АKO, по гипотенузе и острому углу: AO – общая,  МАО=  КАО, т.к. АО-биссектриса,  АМО=  АКО=90°.

Это значит, что OK=OM, аналогично можно доказать, что ОК=OL. Итак, окружность проходит через точки K, L, M, а стороны треугольника касаются окружности в точках K, L, M.

Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в DАВС.

Задача: в прямоугольный треугольник вписана окружность,  гипотенуза точкой касания делится на отрезки 6 см и 4 см.  Найдите радиус вписанной окружности. А Дано: АВС, С = 90 0  Окр.(О;r) вписана,  АМ = 6 см, ВМ = 4 см Найти: r. 6 Решение: М r О АВ = АМ + ВМ = 6 + 4 = 10(см) r 4 К Т. к. Окр.(O;r) вписана в АВС, то АВ, АС,ВС – касательные и по свойству касательных, проведённых из одной точки: АМ = АК = 6 см, ВЕ = ВМ = 4 см, СК = СЕ r С В Е , Т. к. С = 90 0 , то СКОЕ – квадрат, поэтому СК = СЕ = r. АС= 6+ r, ВС = 4 + r По теореме Пифагора: АС 2 + ВС 2 = АВ 2 (6 + r) 2 + (4 + r) 2 = 10 2 Решив квадратное уравнение, получим r = 2 см Ответ: 2 см

Задача: в прямоугольный треугольник вписана окружность,

гипотенуза точкой касания делится на отрезки 6 см и 4 см.

Найдите радиус вписанной окружности.

А

Дано: АВС, С = 90 0

Окр.(О;r) вписана,

АМ = 6 см, ВМ = 4 см

Найти: r.

6

Решение:

М

r

О

АВ = АМ + ВМ = 6 + 4 = 10(см)

r

4

К

Т. к. Окр.(O;r) вписана в АВС, то

АВ, АС,ВС – касательные и по свойству

касательных, проведённых из одной точки:

АМ = АК = 6 см, ВЕ = ВМ = 4 см, СК = СЕ

r

С

В

Е

,

Т. к. С = 90 0 , то СКОЕ – квадрат, поэтому СК = СЕ = r.

АС= 6+ r, ВС = 4 + r

По теореме Пифагора: АС 2 + ВС 2 = АВ 2

(6 + r) 2 + (4 + r) 2 = 10 2

Решив квадратное уравнение, получим r = 2 см

Ответ: 2 см

Задача: в прямоугольный треугольник вписана окружность, гипотенуза точкой касания делится на отрезки 10 см и 6 см.  Найдите радиус вписанной окружности.

Задача: в прямоугольный треугольник вписана окружность, гипотенуза точкой касания делится на отрезки 10 см и 6 см.

Найдите радиус вписанной окружности.


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Геометрия

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 8 класс.
Урок соответствует ФГОС

Скачать
Урок по теме: "Центральные и вписанные углы"

Автор: Косова Наталья Сергеевна

Дата: 15.02.2020

Номер свидетельства: 539732

Похожие файлы

object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(101) "Конспект урока по математике "теорема о вписанном угле""
    ["seo_title"] => string(60) "konspiekt-uroka-po-matiematikie-tieoriema-o-vpisannom-ughlie"
    ["file_id"] => string(6) "250618"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1447092891"
  }
}
object(ArrayObject)#875 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(110) "План-конспект урока по теме:«Центральные и вписанные углы». "
    ["seo_title"] => string(64) "plan-konspiekt-uroka-po-tiemie-tsientral-nyie-i-vpisannyie-ughly"
    ["file_id"] => string(6) "130207"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1415859743"
  }
}
object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(106) "Открытый урок по геометрии "Центральные и вписанные углы" "
    ["seo_title"] => string(63) "otkrytyi-urok-po-ghieomietrii-tsientral-nyie-i-vpisannyie-ughly"
    ["file_id"] => string(6) "105777"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1402908769"
  }
}
object(ArrayObject)#875 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(134) "Контрольно-измерительный материал по теме "Центральные и вписанные углы""
    ["seo_title"] => string(80) "kontrol-no-izmieritiel-nyi-matierial-po-tiemie-tsientral-nyie-i-vpisannyie-ughly"
    ["file_id"] => string(6) "262749"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(7) "prochee"
    ["date"] => string(10) "1449408887"
  }
}
object(ArrayObject)#853 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(119) "Задачи на готовых чертежах по теме "Центральные и вписанные углы""
    ["seo_title"] => string(78) "zadachi_na_ghotovykh_chiertiezhakh_po_tiemie_tsientral_nyie_i_vpisannyie_ughly"
    ["file_id"] => string(6) "428178"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1505399081"
  }
}

Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства