kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Видеоуроки Олимпиады Подготовка к ЕГЭ

Презентация к уроку геометрии в 9 классе по теме: "Повторение. Окружность. Круг"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Презентация используется на уроках в разделе "Повторение курса геометрии 7-9 класса". В презентации рассматриваются задания из открытого банка заданий ОГЭ по математике.

Просмотр содержимого документа
«Презентация к уроку геометрии в 9 классе по теме: "Повторение. Окружность. Круг"»

ПОВТОРЕНИЕ. окружностЬ. КРУГ. Геометрия 9 класс  Анохина Елена Викторовна,  учитель математики и информатики  МБОУ СОШ с.Кенада Ванинского муниципального района Хабаровского края

ПОВТОРЕНИЕ.

окружностЬ. КРУГ.

Геометрия

9 класс

Анохина Елена Викторовна,

учитель математики и информатики

МБОУ СОШ с.Кенада

Ванинского муниципального района

Хабаровского края

ЦЕЛИ: повторить …………..  совершенствовать навыки …………..

ЦЕЛИ:

  • повторить …………..

  • совершенствовать навыки …………..

  • систематизировать и обобщить ……………
ЦЕЛИ: повторить теоретический материал по теме «Окружность. Круг.»;  совершенствовать навыки решения задач на примерах заданий из открытого банка ОГЭ по математике;

ЦЕЛИ:

  • повторить теоретический материал по теме «Окружность. Круг.»;

  • совершенствовать навыки решения задач на примерах заданий из открытого банка ОГЭ по математике;

  • систематизировать и обобщить знания по теме «Окружность. Круг.» для подготовки к экзаменам.
Утверждение верно «+» , утверждение неверно «-» Утверждения Окружность и круг это одно и то же В начале урока В конце урока Все радиусы одной окружности равны между собой Хорда, это отрезок, находящийся внутри круга Диаметр делит окружность на две полуокружности Диаметр больше радиуса в три раза Радиус окружности соединяет её центр с точкой на окружности У окружности может быть два диаметра различной длины Циркуль – это прибор для изображения окружности Около любого четырёхугольника можно описать окружность Окружность можно изобразить при помощи линейки Прямая, имеющая с окружностью две общих точки называется касательной В любой треугольник можно вписать окружность Центральный угол равен половине дуги, на которую он опирается Вписанный угол в два раза меньше центрального угла Вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 180 0

Утверждение верно «+» , утверждение неверно «-»

Утверждения

Окружность и круг это одно и то же

В начале урока

В конце урока

Все радиусы одной окружности равны между собой

Хорда, это отрезок, находящийся внутри круга

Диаметр делит окружность на две полуокружности

Диаметр больше радиуса в три раза

Радиус окружности соединяет её центр с точкой на окружности

У окружности может быть два диаметра различной длины

Циркуль – это прибор для изображения окружности

Около любого четырёхугольника можно описать окружность

Окружность можно изобразить при помощи линейки

Прямая, имеющая с окружностью две общих точки называется касательной

В любой треугольник можно вписать окружность

Центральный угол равен половине дуги, на которую он опирается

Вписанный угол в два раза меньше центрального угла

Вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 180 0

Основные элементы окружности и круга

Основные элементы окружности и круга

  • РАДИУС
  • ДИАМЕТР
  • ХОРДА
  • ДУГА
  • РАДИУС
  • ДИАМЕТР
  • СЕКТОР
  • СЕГМЕНТ
Основные элементы окружности и круга

Основные элементы окружности и круга

ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ по теме «ОКРУЖНОСТЬ и КРУГ» Окружность – геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки. Круг- часть плоскости, ограниченная окружностью; Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу этой окружности, проведённому в точку касания;  Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности; Центральный угол равен дуге окружности, на которую он опирается; Вписанный угол окружности равен половине центрального угла  и измеряется половиной дуги, на которую он опирается; 7. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, равен 90◦; 8. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны; 9. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны; В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 . Формула длины окружности , длина дуги окружности  где r—радиус окружности; 12. Формула площади круга  площадь кругового сектора где r—радиус круга.

ОСНОВНЫЕ ФАКТЫ по теме «ОКРУЖНОСТЬ и КРУГ»

  • Окружность – геометрическая фигура, состоящая из всех точек плоскости, расположенных на заданном расстоянии от данной точки.
  • Круг- часть плоскости, ограниченная окружностью;
  • Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу этой окружности, проведённому в точку касания;
  • Отрезки касательных, проведённых к окружности из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности;
  • Центральный угол равен дуге окружности, на которую он опирается;
  • Вписанный угол окружности равен половине центрального угла

и измеряется половиной дуги, на которую он опирается;

7. Вписанный угол, опирающийся на диаметр окружности, равен 90◦;

8. Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу равны;

9. В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны;

  • В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .
  • Формула длины окружности , длина дуги окружности

где r—радиус окружности;

12. Формула площади круга

площадь кругового сектора где r—радиус круга.

ЗАДАЧИ ПРО КОЛЕСО (задание № 15, ОГЭ модуль «Геометрия») Колесо имеет 12 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите угол, которые образуют две соседние спицы. Ответ дайте в градусах. 30 0 Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 9 0 ? 40 На рисунке показано, как выглядит колесо с пятью спицами. Сколько будет спиц в колесе, если угол между соседними спицами в нём будет равен 36 0 ? 10 На рисунке показано, как выглядит колесо с 7 спицами. Найдите величину угла в градусах, который образуют две соседние спицы, если в колесе 45 спиц. 8 0

ЗАДАЧИ ПРО КОЛЕСО

(задание № 15, ОГЭ модуль «Геометрия»)

Колесо имеет 12 спиц. Углы между соседними спицами равны. Найдите угол, которые образуют две соседние спицы. Ответ дайте в градусах.

30 0

Сколько спиц в колесе, если угол между соседними спицами равен 9 0 ?

40

На рисунке показано, как выглядит колесо с пятью спицами. Сколько будет спиц в колесе, если угол между соседними спицами в нём будет равен 36 0 ?

10

На рисунке показано, как выглядит колесо с 7 спицами. Найдите величину угла в градусах, который образуют две соседние спицы, если в колесе 45 спиц.

8 0

ЗАДАЧИ ПРО ЧАСЫ (задание № 15, ОГЭ модуль «Геометрия») Найдите угол, который образуют минутная и часовая стрелки часов в 18:00. Ответ дайте в градусах. 180 0 Найдите угол, который образуют минутная и часовая стрелки часов в 14:00. Ответ дайте в градусах. 60 0 Найдите угол, который минутная стрелка описывает за 25 минут. Ответ дайте в градусах. 150 0 Какой угол в градусах описывает часовая стрелка за 4 часа? 120 0

ЗАДАЧИ ПРО ЧАСЫ

(задание № 15, ОГЭ модуль «Геометрия»)

Найдите угол, который образуют минутная и часовая стрелки часов в 18:00. Ответ дайте в градусах.

180 0

Найдите угол, который образуют минутная и часовая стрелки часов в 14:00. Ответ дайте в градусах.

60 0

Найдите угол, который минутная стрелка описывает за 25 минут. Ответ дайте в градусах.

150 0

Какой угол в градусах описывает часовая стрелка за 4 часа?

120 0

Центральный угол- О это угол с вершиной в центре окружности.

Центральный угол-

О

это угол с вершиной в центре окружности.

Дуга окружности, соответствующая центральному углу это часть окружности, расположенная внутри угла А О АВ В Градусная мера дуги окружности равна градусной мере  соответствующего ей центрального угла. АВ =  АОВ

Дуга окружности, соответствующая центральному углу

это часть окружности, расположенная внутри угла

А

О

АВ

В

Градусная мера дуги окружности

равна градусной мере

соответствующего ей центрального угла.

АВ

= АОВ

Вписанный угол Это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. А С В

Вписанный угол

Это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность.

А

С

В

Теорема о вписанном угле Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего ему центрального угла. Угол, вписанный в окружность, равен половине дуги, на которую он опирается. А АВ  АСВ = ½ С О  АСВ = ½  АОВ В

Теорема о вписанном угле

Угол, вписанный в окружность, равен половине соответствующего ему центрального угла.

Угол, вписанный в окружность, равен половине дуги, на которую он опирается.

А

АВ

АСВ = ½

С

О

АСВ = ½ АОВ

В

Найдите Х 140   x 40  О

Найдите Х

140

x

40

О

Найдите Х 55  х О 110 

Найдите Х

55

х

О

110

Найдите Х 150  Х О 75 

Найдите Х

150

Х

О

75

Найдите Х 90  О x 45 

Найдите Х

90

О

x

45

Найдите Х В 30  30  D А Х О С

Найдите Х

В

30

30

D

А

Х

О

С

Найдите Х 100  65  О 30  Х

Найдите Х

100

65

О

30

Х

Найдите Х в С 120  30  Х А О D

Найдите Х

в

С

120

30

Х

А

О

D

Из истории циркуля

Из истории циркуля

Циркуль и линейка – самые старые чертёжные инструменты на Земле. На стенах и куполах храмов и домов, на резных чашах и кубках древних вавилонян и ассирийцев нарисованы такие правильные круги, что без циркуля их не провести. А существовали эти государства около 3-х тысяч лет назад.

Самый старый железный циркуль обнаружен во Франции при раскопках древнего кургана. Он пролежал в земле более 2-х тысяч лет.

В пепле, засыпавшем греческий город Помпеи, археологи обнаружили очень много бронзовых циркулей.

Сейчас нельзя сказать, кто именно изобрел этот инструмент - история не сохранила для нас его имя, но легенды Древней Греции приписывают авторство Талосу, племяннику знаменитого Дедала, первого «воздухоплавателя» древности, который вместе со своим сыном Икаром поднялся в небо на крыльях собственного изготовления. Вероятно, унаследовав от дяди дар изобретательства, Талос соединил два одинаковых по длине стержня и смастерил устройство способное чертить идеальный круг.

Из истории циркуля

Циркуль и линейка – самые старые чертёжные инструменты на Земле. На стенах и куполах храмов и домов, на резных чашах и кубках древних вавилонян и ассирийцев нарисованы такие правильные круги, что без циркуля их не провести. А существовали эти государства около 3-х тысяч лет назад.

Самый старый железный циркуль обнаружен во Франции при раскопках древнего кургана. Он пролежал в земле более 2-х тысяч лет.

В пепле, засыпавшем греческий город Помпеи, археологи обнаружили очень много бронзовых циркулей.

Сейчас нельзя сказать, кто именно изобрел этот инструмент - история не сохранила для нас его имя, но легенды Древней Греции приписывают авторство Талосу, племяннику знаменитого Дедала, первого «воздухоплавателя» древности, который вместе со своим сыном Икаром поднялся в небо на крыльях собственного изготовления. Вероятно, унаследовав от дяди дар изобретательства, Талос соединил два одинаковых по длине стержня и смастерил устройство способное чертить идеальный круг.

14

КАК ПОСТРОИТЬ ОКРУЖНОСТЬ БЕЗ ЦИРКУЛЯ

КАК ПОСТРОИТЬ ОКРУЖНОСТЬ

БЕЗ ЦИРКУЛЯ

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ С В Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности D О А F На каком рисунке окружность вписана в трапецию? Рис. 2 Рис. 3 Рис. 4 Рис. 1

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

С

В

Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности

D

О

А

F

На каком рисунке окружность вписана в трапецию?

Рис. 2

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 1

В любой треугольник можно вписать окружность Центр окружности , вписанной в треугольник, – точка пересечения биссектрис. О ЗАМЕЧАНИЯ  В треугольник можно вписать  только одну окружность 2) Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность 26

В любой треугольник можно вписать окружность

Центр окружности , вписанной в треугольник, –

точка пересечения биссектрис.

О

ЗАМЕЧАНИЯ

  • В треугольник можно вписать

только одну окружность

2) Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность

26

Свойство описанного четырехугольника  B C AB + CD = BC + AD A D В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны 26

Свойство описанного четырехугольника

B

C

AB + CD = BC + AD

A

D

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны

26

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ С В Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность. D О А F На каком рисунке окружность описана около четырехугольника? Рис. 3 Рис. 4 Рис. 2 Рис. 1

ОПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ

С

В

Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в эту окружность.

D

О

А

F

На каком рисунке окружность описана около четырехугольника?

Рис. 3

Рис. 4

Рис. 2

Рис. 1

Около любого треугольника можно описать окружность Центр окружности , описанной около треугольника, – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. О ЗАМЕЧАНИЯ  Около треугольника можно описать только одну окружность 2) Около четырехугольника не всегда можно описать окружность 29

Около любого треугольника можно описать окружность

Центр окружности , описанной около треугольника, –

точка пересечения серединных

перпендикуляров к сторонам треугольника.

О

ЗАМЕЧАНИЯ

  • Около треугольника можно описать только одну окружность

2) Около четырехугольника не всегда можно описать окружность

29

Свойство вписанного четырехугольника  B C  АВС +  СDА= 180 0  ВСD +  DАB= 180 0 A D В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 . 29

Свойство вписанного четырехугольника

B

C

АВС + СDА= 180 0

ВСD + DАB= 180 0

A

D

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

29

Задача 2 . Задача 1 . В В С С А А D D В четырёхугольнике АВСD АВ = 6, ВС = 9, СD = 14. Найдите АD, если известно, что в четырёх-угольник АВСD можно вписать окружность. Четырёхугольник АВСD вписан в окружность. Известно, что угол В равен 85° , угол А меньше угла D на 20 0 . Найдите угол С. Ответ:  угол С равен 105 0 Ответ: АD =11

Задача 2 .

Задача 1 .

В

В

С

С

А

А

D

D

В четырёхугольнике АВСD АВ = 6, ВС = 9, СD = 14. Найдите АD, если известно, что в четырёх-угольник АВСD можно вписать окружность.

Четырёхугольник АВСD вписан в окружность. Известно, что угол В равен 85° , угол А меньше угла D на 20 0 . Найдите угол С.

Ответ: угол С равен 105 0

Ответ: АD =11

Задача №7 . A Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC , если BD = 1 см, а радиус окружности равен 5 см. O B D Ответ: АD =11 C A 24° Задача № 28. Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 24°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах. O B Ответ:   АВО= 12°

Задача №7 .

A

Радиус OB окружности с центром в точке O пересекает хорду AC в точке D и перпендикулярен ей. Найдите длину хорды AC , если BD = 1 см, а радиус окружности равен 5 см.

O

B

D

Ответ: АD =11

C

A

24°

Задача № 28.

Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 24°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.

O

B

Ответ: АВО= 12°

ЗАДАЧИ  на нахождение площади 1. Найдите площадь S закрашенного сектора, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. В ответе укажите величину Ответ: 12 2. Найдите площадь S кольца, считая стороны квадратный клеток равными 1. В ответе укажите величину Ответ: 5 3. Найдите площадь заштрихованной части круга, если радиус меньшей окружности равен 2 см. Ответ:

ЗАДАЧИ

на нахождение площади

1. Найдите площадь S закрашенного сектора, изображённого на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см х 1 см. В ответе укажите величину

Ответ: 12

2. Найдите площадь S кольца, считая стороны квадратный клеток равными 1. В ответе укажите величину

Ответ: 5

3. Найдите площадь заштрихованной части круга, если радиус меньшей окружности равен 2 см.

Ответ:

Выберите номера  верных   утверждений. 1). Величина дуги окружности равна величине вписанного угла, на неё опирающегося. 2). Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны. 3). Окружность симметрична относительно любого своего диаметра. Ответ: 2 3  Выберите номера  неверных   утверждений. 1). Центр окружности, вписанной в треугольник,- это точка пересечения высот. 2). Угол, вершина которого лежит в центре окружности, называется вписанным. 3). Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности. Ответ: 1 2 Выберите номера  верных  утверждений. 1). Радиус окружности в два раза меньше диаметра. 2). Прямая , имеющая с окружностью две общие точки,- касательная. 3). Центры вписанной и описанной окружности равностороннего треугольника совпадают. Ответ: 1 3

Выберите номера  верных   утверждений.

1). Величина дуги окружности равна величине вписанного угла, на неё опирающегося.

2). Если в четырехугольник можно вписать окружность, то суммы его противоположных сторон равны.

3). Окружность симметрична относительно любого своего диаметра.

Ответ: 2 3

Выберите номера  неверных   утверждений.

1). Центр окружности, вписанной в треугольник,- это точка пересечения высот.

2). Угол, вершина которого лежит в центре окружности, называется вписанным.

3). Серединный перпендикуляр к хорде проходит через центр окружности.

Ответ: 1 2

Выберите номера  верных  утверждений.

1). Радиус окружности в два раза меньше диаметра.

2). Прямая , имеющая с окружностью две общие точки,- касательная.

3). Центры вписанной и описанной окружности равностороннего треугольника совпадают.

Ответ: 1 3

Домашнее задание: 1) Три задачи на выбор по карточкам «Задания для подготовки к ОГЭ на готовых чертежах». 2) По сборникам типовых вариантов ОГЭ решать задания №17.

Домашнее задание:

1) Три задачи на выбор по карточкам «Задания для подготовки к ОГЭ на готовых чертежах».

2) По сборникам типовых вариантов ОГЭ решать задания №17.

Утверждение верно «+» , утверждение неверно «-» Утверждения Окружность и круг это одно и то же В начале урока В конце урока Все радиусы одной окружности равны между собой - Хорда, это отрезок, находящийся внутри круга + Диаметр делит окружность на две полуокружности - Диаметр больше радиуса в три раза + Радиус окружности соединяет её центр с точкой на окружности - У окружности может быть два диаметра различной длины Циркуль – это прибор для изображения окружности + - Около любого четырёхугольника можно описать окружность + Окружность можно изобразить при помощи линейки Прямая, имеющая с окружностью две общих точки называется касательной - + В любой треугольник можно вписать окружность - Центральный угол равен половине дуги, на которую он опирается + Вписанный угол в два раза меньше центрального угла - Вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 180 0 + -

Утверждение верно «+» , утверждение неверно «-»

Утверждения

Окружность и круг это одно и то же

В начале урока

В конце урока

Все радиусы одной окружности равны между собой

-

Хорда, это отрезок, находящийся внутри круга

+

Диаметр делит окружность на две полуокружности

-

Диаметр больше радиуса в три раза

+

Радиус окружности соединяет её центр с точкой на окружности

-

У окружности может быть два диаметра различной длины

Циркуль – это прибор для изображения окружности

+

-

Около любого четырёхугольника можно описать окружность

+

Окружность можно изобразить при помощи линейки

Прямая, имеющая с окружностью две общих точки называется касательной

-

+

В любой треугольник можно вписать окружность

-

Центральный угол равен половине дуги, на которую он опирается

+

Вписанный угол в два раза меньше центрального угла

-

Вписанный угол, опирающийся на диаметр равен 180 0

+

-

D C Задача № 11. В окружности с центром в точке O проведены диаметры AD и BC , угол OAB равен 25°. Найдите величину угла OCD . O 25 B A Ответ:    OCD = 25° N Задача № 15. На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N . Известно, что ∠ NBA  = 38°. Найдите угол NMB . Ответ дайте в градусах. B A Ответ:   NMB = 52° M

D

C

Задача № 11.

В окружности с центром в точке O проведены диаметры AD и BC , угол OAB равен 25°. Найдите величину угла OCD .

O

25

B

A

Ответ: OCD = 25°

N

Задача № 15.

На окружности по разные стороны от диаметра AB взяты точки M и N . Известно, что ∠ NBA  = 38°. Найдите угол NMB . Ответ дайте в градусах.

B

A

Ответ: NMB = 52°

M


Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Геометрия

Категория: Презентации

Целевая аудитория: 9 класс

Скачать
Презентация к уроку геометрии в 9 классе по теме: "Повторение. Окружность. Круг"

Автор: Анохина Елена Викторовна

Дата: 04.07.2018

Номер свидетельства: 474767

Похожие файлы

object(ArrayObject)#860 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(158) "Презентация и конспект урока по теме «Длина окружности. Площадь круга. Решение задач»."
    ["seo_title"] => string(86) "priezientatsiiaikonspiekturokapotiemiedlinaokruzhnostiploshchadkrugharieshieniiezadach"
    ["file_id"] => string(6) "325182"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1462879088"
  }
}
object(ArrayObject)#882 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(152) "Презентация к уроку геометрии в 9 классе  по теме "Длина окружности и площадь круга" "
    ["seo_title"] => string(95) "priezientatsiia-k-uroku-ghieomietrii-v-9-klassie-po-tiemie-dlina-okruzhnosti-i-ploshchad-krugha"
    ["file_id"] => string(6) "195476"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1427908237"
  }
}
object(ArrayObject)#860 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(84) "Урок-лекция по теме "Сфера" Геометрия 11 класса "
    ["seo_title"] => string(54) "urok-liektsiia-po-tiemie-sfiera-gieomietriia-11-klassa"
    ["file_id"] => string(6) "138505"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(11) "presentacii"
    ["date"] => string(10) "1417543169"
  }
}
object(ArrayObject)#882 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(103) "Конспект урока и презентация по теме : "Круг. Окружность.""
    ["seo_title"] => string(60) "konspiekt-uroka-i-priezientatsiia-po-tiemie-krugh-okruzhnost"
    ["file_id"] => string(6) "277692"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1452956333"
  }
}
object(ArrayObject)#860 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(90) "Конспект урока математики "Задачи на построение" "
    ["seo_title"] => string(51) "konspiekt-uroka-matiematiki-zadachi-na-postroieniie"
    ["file_id"] => string(6) "243939"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1445862502"
  }
}

ПОЛУЧИТЕ БЕСПЛАТНО!!!
Личный сайт учителя
Получите в подарок сайт учителя


Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства