Задачи по оптике из С5

Задание С5 из ЕГЭ по оптике

1.То­чеч­ный ис­точ­ник света S на­хо­дит­ся в пе­ред­ней фо­каль­ной плос­ко­сти со­би­ра­ю­щей линзы на рас­сто­я­нии от ее глав­ной оп­ти­че­ской оси. За лин­зой в ее зад­ней фо­каль­ной плос­ко­сти на­хо­дит­ся плос­кое зер­ка­ло (см. рис.). По­стро­ить дей­стви­тель­ное изоб­ра­же­ние ис­точ­ни­ка в дан­ной оп­ти­че­ской си­сте­ме и найти рас­сто­я­ние между точ­ка­ми S и .

Решение.

Лучи от то­чеч­но­го ис­точ­ни­ка S, на­хо­дя­ще­го­ся в фо­каль­ной плос­ко­сти со­би­ра­ю­щей линзы, после линзы об­ра­зу­ют пучок па­рал­лель­ных лучей, иду­щих под таким углом к глав­ной оп­ти­че­ской оси линзы, что (здесь F — фо­кус­ное рас­сто­я­ние дан­ной линзы).

Со­глас­но за­ко­ну от­ра­же­ния света, этот пучок от­ра­зит­ся от плос­ко­го зер­ка­ла сим­мет­рич­но от­но­си­тель­но пер­пен­ди­ку­ля­ра к зер­ка­лу под тем же углом , и пой­дет в об­рат­ном на­прав­ле­нии, к линзе (см. рис.).

После пре­лом­ле­ния в со­би­ра­ю­щей линзе этот па­рал­лель­ный пучок света пре­вра­тит­ся в схо­дя­щий­ся и сфор­ми­ру­ет в пе­ред­ней фо­каль­ной плос­ко­сти изоб­ра­же­ние ис­точ­ни­ка в виде точки, рас­по­ло­жен­ной сим­мет­рич­но с S от­но­си­тель­но глав­ной оп­ти­че­ской оси, то есть также на рас­сто­я­нии см от неё. Таким об­ра­зом, ис­ко­мое рас­сто­я­ние .

Ответ: .

2.Рав­но­бед­рен­ный пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник ABC рас­по­ло­жен перед тон­кой со­би­ра­ю­щей лин­зой оп­ти­че­ской силой 2,5 дптр так, что его катет АС лежит на глав­ной оп­ти­че­ской оси линзы (см. ри­су­нок). Вер­ши­на пря­мо­го угла С лежит даль­ше от цен­тра линзы, чем вер­ши­на остро­го угла А. Рас­сто­я­ние от цен­тра линзы до точки А равно удво­ен­но­му фо­кус­но­му рас­сто­я­нию линзы, АС = 4 см. По­строй­те изоб­ра­же­ние тре­уголь­ни­ка и най­ди­те пло­щадь по­лу­чив­шей­ся фи­гу­ры.

Решение.

Изоб­ра­же­ние тре­уголь­ни­ка по­стро­е­но на ри­сун­ке.

Изоб­ра­же­ние точки B удоб­но найти как пе­ре­се­че­ние луча, про­хо­дя­ще­го через центр линзы и луча, па­да­ю­ще­го на линзу пер­пен­ди­ку­ляр­но глав­ной оп­ти­че­ской оси.

Изоб­ра­же­ние точки С на­хо­дит­ся в точ­но­сти под изоб­ра­же­ни­ем точки В. По­ло­же­ние изоб­ра­же­ния точки А легко опре­де­лить из фор­му­лы тон­кой линзы:

По­сколь­ку точка А на­хо­дит­ся в двой­ном фо­ку­се, то , а зна­чит, и , то есть изоб­ра­же­ние точки А также на­хо­дит­ся в двой­ном фо­ку­се.

На­ко­нец, легко по­нять, что изоб­ра­же­ние тре­уголь­ни­ка вновь будет тре­уголь­ни­ком. Дей­стви­тель­но, если про­пу­стить луч через сто­ро­ну ВА, то после пре­лом­ле­ния на этом луче будут на­хо­дить­ся изоб­ра­же­ния всех точек со сто­ро­ны ВА, то есть ги­по­те­ну­за пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка пе­рей­дет в ги­по­те­ну­зу тре­уголь­ни­ка-изоб­ра­же­ния.

Опре­де­лим фо­кус­ное рас­сто­я­ние

Обо­зна­чим катет тре­уголь­ни­ка ABC через .

Най­дем рас­сто­я­ние от линзы до изоб­ра­же­ния точки С ():

Го­ри­зон­таль­ный катет равен

Из по­до­бия тре­уголь­ни­ков для вер­ти­каль­но­го ка­те­та тре­уголь­ни­ка-изоб­ра­же­ния имеем

Таким об­ра­зом, пло­щадь тре­уголь­ни­ка изоб­ра­же­ния равна:

Ответ:

3.Два плос­ких зер­ка­ла об­ра­зу­ют пря­мой дву­гран­ный угол, пер­пен­ди­ку­ляр­но бис­сек­три­се ко­то­ро­го рас­по­ло­же­на не­боль­шая со­би­ра­ю­щая линза Л, а её фокус F на­хо­дит­ся в вер­ши­не угла (см.

ри­су­нок). В плос­ко­сти линзы рядом с ней на­хо­дит­ся не­боль­шой пред­мет П. По­строй­те изоб­ра­же­ние пред­ме­та, ко­то­рое по­лу­чит­ся в ре­зуль­та­те двух от­ра­же­ний от зер­кал и по­сле­ду­ю­ще­го пре­лом­ле­ния света лин­зой. На каком рас­сто­я­нии от пред­ме­та будет на­хо­дить­ся его изоб­ра­же­ние?

По­стро­им вна­ча­ле изоб­ра­же­ние пред­ме­та П после двух от­ра­же­ний от плос­ких зер­кал. Как видно из по­стро­е­ния на ри­сун­ке, пред­мет как бы «от­ра­жа­ет­ся» от­но­си­тель­но вер­ши­ны пря­мо­го угла, и его мни­мое перевёрну­тое изоб­ра­же­ние П' на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии 2F от плос­ко­сти линзы Л. Далее по­стро­им изоб­ра­же­ние П" «пред­ме­та» П' в линзе - оно дей­стви­тель­ное, перевёрну­тое от­но­си­тель­но П' (и пря­мое от­но­си­тель­но пред­ме­та П) и на­хо­дит­ся также на рас­сто­я­нии 2F от линзы. Таким об­ра­зом, изоб­ра­же­ние П" пря­мое, дей­стви­тель­ное и на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии 2F от пред­ме­та П - ниже его, на линии, па­рал­лель­ной бис­сек­три­се угла из зер­кал.

Ответ: см. ри­су­нок; изоб­ра­же­ние П" пря­мое, дей­стви­тель­ное и на­хо­дит­ся на рас­сто­я­нии 2F от пред­ме­та П - ниже его, на линии, па­рал­лель­ной бис­сек­три­се угла из зер­кал.