Производная в физике и технике

Тема урока «Производная в физике и технике»

«…нет ни одной области в математике, которая когда-либо не окажется применимой к явлениям действительного мира…»

Н.И. Лобачевский

Тип урока: 

Цель урока: обобщить и систематизировать особенности применения производной при решении прикладных задач.

Задачи урока:

Личностные: развитие интеллектуальных и творческих способностей учащихся; самостоятельности в приобретении новых знаний и практических умений; умения ясно, точно, грамотно излагать свои мысли, понимать смысл поставленной задачи

Метапредметные:  развитие умения применять математические знания при решении физических задач

Предметные: развитие навыков применять производную при решении прикладных задач, в том числе социально-экономических и физических, задач на нахождение скорости и ускорения, силы, импульса, кинетической энергии.

ХОД УРОКА

I. Орг. момент.

II. Формулировка темы урока (разгадать кроссворд; центральное слово по горизонтали будет являться ключевым в теме урока)

1. Расстояние между двумя точками, измеренное вдоль траектории движущегося тела (путь)

2. Физическая величина, характеризирующая быстроту изменения скорости (ускорение)

3. Одна из основных характеристик движения (скорость)

4. Немецкий философ, математик, физик, один из создателей математического анализа (Лейбниц)

5. Наука, изучающая наиболее общие закономерности явлений природы, состав и строение материи, законы ее движения (физика)

6. Изменение положения тела в пространстве относительно некоторой системы отсчета с течением времени (движение)

7. Выдающийся английский физик, именем которого названы основные законы механики (Ньютон)

8. Какие величины определяют положение тела в выбранной системе отсчета (координаты)

9. Физическая теория, устанавливающая закономерности взаимных перемещений тел в пространстве, и происходящих при этом взаимодействий (механика)

10. Наука, изучающая применение производных в физике (алгебра)

11. То, чего не достает в определении: производная от координаты по … есть скорость (время)

- Используя ключевое слово из кроссворда и ваши ответы из кроссворда, попробуйте сформулировать тему урока.

Учащиеся формулируют тему. Озвучиваются цели урока(учениками).

Механический смысл производной.

V(t)=x'(t)

Координата по времени есть скорость

Скорость может принимать как положительные, так и отрицательные значения и, конечно, значение 0.

Если скорость положительная, то точка движется в положительном направлении, т.е. координата растёт с течением времени.

Если скорость отрицательная, то координата убывает.

Аналогично и с ускорением движения.

Скорость движения точки есть функция от времени t. А производная этой функции называется ускорением движения:

. Решение задач (у доски).

1. 1.Материальная точка движется прямолинейно по закону х(t) = -2+4t+3t². Выведите формулу для вычисления скорости движения в любой момент времени t. Найдите скорость в момент времени t = 3с (х- координата точки в метрах, t- время в секундах)

2. Координата движущегося тела с течением времени меняется по закону: а) x = 2t+4t², б) x = 1+ 2t² + t³ .Найдите скорость и ускорение в момент времени t = 2 с. (х- координата точки в метрах, t - время в секундах)

3. Точка движется прямолинейно по закону x(t) = -+3t² -5 (х - координата точки в метрах, t - время в секундах). Найдите момент времени t, когда ускорение точки равно 0; скорость движения точки в этот момент.

4. Найдите силу F, действующую на материальную точку массой m, движущуюся прямолинейно по закону x(t) = 2t³-t² при t = 2.

ХII. Самостоятельная работа (задачи подобные тем, что даны в текстах ЕГЭ) в трех вариантах.

Например, задания 1 варианта:

1. Точка движется прямолинейно по закону x(t) = 2t³+t-3. Найти скорость в момент времени t. В какой момент времени скорость будет равно 7 м/с².(х- координата точки в метрах, t- время в секундах)

2. Тело движется по прямой так, что расстояние S ( в метрах) от него до точки М этой прямой изменяется по закону S(t) = t² + t + 2 (t – время движения в секундах). Через сколько секунд после начала движения мгновенная скорость тела будет равна 6 м/с?

3. Точка движется прямолинейно по закону x(t)=2t³+t-3. Найти ускорение в момент времени t. В какой момент времени ускорение будет равно 0,6 м/с². (х- координата точки в метрах, t- время в секундах)

Домашнее задание творческого характера.

а) составить задачи для учащихся 10 класса по теме “Производная физике”;
б) составить тест для проверки знаний по теме “Применение производной в физике”(10 класс);
в) составить тест для проверки знаний по теме “Применение производной в «технике» (10 класс).

формулы из физики и экономики, где используется производная.

υ(t) = х^/(t) – скорость

a (t)=υ^/ (t) - ускорение

J(t) = q^/(t) - сила тока

C(t) = Q^/(t) - теплоемкость

d(l)=m^/(l) - линейная плотность

K(t) = l^/(t) - коэффициент линейного расширения

ω (t)= φ^/(t) - угловая скорость

а (t)= ω^/(t) - угловое ускорение

N(t) = A^/(t) - мощность

П (t) = υ^/ (t) - производительность труда,

гдеυ (t) - объем продукции

J(x) = y^/ (x) - предельные издержки производства,

гдеy– издержки производства в зависимости от объема выпускаемой продукцииx.

Объем продукции V цеха в течение дня зависит от времени по закону V(t) = -5/3t³+15/2t²+50t+70, где 1

Решение:

П (t) = V ^/ (t)

П (t) = -5t² + 15t + 50

П (7) = -5*49 + 15*7 + 50= - 90 (ед/ч)

Каков ответ в задаче?

Как можно объяснить, почему в ответе отрицательное число?

Задача № 7.

7. Высота снежка, брошенного вертикально вверх со скоростью U₀ с начальной высоты h_0, меняется по закону h =h₀+U₀*t-gt²/2, где g » 10м/c – ускорение силы тяжести. Покажите, что энергия камня Е=тv²/ 2 + mgh, где т – масса снежка, не зависит от времени. (Учитель сам показывает решение).

Решение:

V (t) = h ^/ (t) = V₀ – gt

E = m/2 (V₀ - gt)² + mg(h₀ + V₀t – gt²/2) = mV₀²/2 + mgh₀

Наступил вечер. Вдруг отключился свет. Это значит, что сила тока равна нулю.

Задача № 6(а и б) одновременно у доски два ученика.

6. Количество электричества, протекающее через проводник, задаётся формулой а) q(t) = t- O t+1: б) q(t) = t+4/t. В какой момент времени ток в цепи равен нулю?

а) Решение:

I(t) = q ^/ (t),

I(t) = 1 - 1/2

1 - 1/2 =0

Отсюда, t = ?.

б) Решение:

I(t) = q ^/ (t),

I(t) = 1 - 4/t²

1 - 4/t² =0

Отсюда, t = 2 или t = -2;  t = -2 не подходит по условию задачи

Вопросы к кроссворду

1. Расстояние между двумя точками, измеренное вдоль траектории движущегося тела

2. Физическая величина, характеризирующая быстроту изменения скорости.

3. Одна из основных характеристик движения

4. Немецкий философ, математик, физик, один из создателей математического анализа

5. Наука, изучающая наиболее общие закономерности явлений природы, состав и строение материи, законы ее движения

6. Изменение положения тела в пространстве относительно некоторой системы отсчета с течением времени

7. Выдающийся английский физик, именем которого названы основные законы механики

8. Какие величины определяют положение тела в выбранной системе отсчета

9. Физическая теория, устанавливающая закономерности взаимных перемещений тел в пространстве, и происходящих при этом взаимодействий

10. Наука, изучающая применение производных в физике

11. То, чего не достает в определении: производная от координаты по … есть скорость

Формулы из физики и экономики

υ(t) = х^/(t) – скорость

a (t)=υ^/ (t) - ускорение

J(t) = q^/(t) - сила тока

C(t) = Q^/(t) - теплоемкость

d(l)=m^/(l) - линейная плотность

K(t) = l^/(t) - коэффициент линейного расширения

ω (t)= φ^/(t) - угловая скорость

а (t)= ω^/(t) - угловое ускорение

N(t) = A^/(t) - мощность

П (t) = υ^/ (t) - производительность труда,

гдеυ (t) - объем продукции

J(x) = y^/ (x) - предельные издержки производства,

гдеy– издержки производства в зависимости от объема выпускаемой продукцииx.

Первая группа

1. Тело массой m кг движется по закону х(t) (х – в метрах, t – в секундах). Найдите силу, действующую на тело в момент времени t₀, если m=3, t₀ = 2, х(t)=0,25t⁴ +t³ - 7t + 2.

2. Материальная точка движется по закону х(t)= -t³ +6t² +5t (х – в метрах, t – в секундах).

Определите скорость точки в момент, когда ее ускорение равно нулю.

2 группа.

1. Количество электричества, протекающего через проводник, начиная с момента t = 0, задается формулой q (t)= 3t² + t + 2. Найдите силу тока в момент времени t = 3.

2. Количество электричества, протекающее через проводник, задаётся формулой q(t) = t+4/t. В какой момент времени ток в цепи равен нулю?

3 группа.

1. Объем продукции V цеха в течение дня зависит от времени по закону V(t) =, где 1

Тест (физический смысл производной)

Вариант 1 В чем сущность физического смысла ? а)скорость, б)ускорение, в) угловой коэффициент, г) не знаю. 2) Точка движется по закону . Чему равна скорость в момент времени =1c? а)15; б) 12; в) 9 г) 3. 3) Зависимость пути S от времени движения t выражается формулой . Назовите формулу скорости а) 2gt; б) gt; в) t; г) g. 4) Точка движется прямолинейно по закону . В какие моменты времени ее скорость будет равна нулю? а) 1 и 3; б) 1 и 4; в) 2; г) 2 и 0.

Вариант 2 В чем сущность физического смысла ? а)скорость, б) ускорение, в) угловой коэффициент, г) не знаю. 2) Точка движется по закону . Чему равна скорость в момент времени =1c? а)15; б) 12; в) 9 г) 3. 3) Зависимость пути S от времени движения t выражается формулой.Назовите формулу ускорения. а) 2gt; б) gt; в) t; г) g. 4) Точка движется прямолинейно по закону . В какие моменты времени ее ускорение будет равна нулю? а) 1 и 3; б) 1 и 4; в) 2; г) 2 и 0.

Ответ:

В-1	А	Б	Б	А
В-2	Б	Г	Г	В

1. Точка движется прямолинейно по закону x(t) = 2t³+t-3. Найти скорость в момент времени t. В какой момент времени скорость будет равно 7 м/с².(х- координата точки в метрах, t- время в секундах)

2. Тело движется по прямой так, что расстояние S ( в метрах) от него до точки М этой прямой изменяется по закону S(t) = t² + t + 2 (t – время движения в секундах). Через сколько секунд после начала движения мгновенная скорость тела будет равна 6 м/с?

3. Точка движется прямолинейно по закону x(t)=2t³+t-3. Найти ускорение в момент времени t. В какой момент времени ускорение будет равно 0,6 м/с². (х- координата точки в метрах, t- время в секундах)

Оценочный лист учащихся

«Применение производной в физике и технике»

№ п/п	Ф.И.. учащегося	Кроссворд	Составь пару	Решение задач	Результат тестирования	итог
1

Оценочный лист учащихся

«Применение производной в физике и технике»

№ п/п	Ф.И.. учащегося	Кроссворд	Составь пару	Решение задач	Результат тестирования	итог
1

Оценочный лист учащихся

«Применение производной в физике и технике»

№ п/п	Ф.И.. учащегося	Кроссворд	Составь пару	Решение задач	Результат тестирования	итог
1