Урок алгебры в 10 классе.Производная в физике,технике и природе.

Производная в физике, технике и природе.

Механический смысл производной.

Механический смысл производной состоит в том, что производная пути по времени равна мгновенной скорости в момент

времени t 0 :

S ' ( t 0 )= V ( t 0 ).

• Т.е. производная от координаты по времени есть скорость.
• Производная от скорости по времени есть ускорение.

• 1.В чём заключается механический смысл производной?

Производная функции у= f (х), в точке х 0, выражает скорость изменения функции в этой точке.

Если функция задана законом прямолинейного движения S = S ( t ), то S ’ ( t )-?

• 2.

Скорость движения в момент времени t v ( t )= S ’ ( t )

Вторая производная от закона движения?

• 3.

Скорость изменения скорости этого движения, т.е.-ускорение. а( t )= v’ ( t )= S ’’ ( t )

4. В чем заключается геометрический смысл производной?

Значение производной f '( x ) при данном значении аргумента x равно тангенсу угла, образованного с положительным направлением оси Ox касательной к графику функции f ( x ) в точке M ( x , f ( x )). k = tg  = f '( x 0 ).

Укажите функцию, производная которой в точке а равна 1.

Найти мгновенную скорость и ускорение точки в момент времени t=1, если Х (t) = t 3 – 2t 2 + 5

V (t) = 3t 2 – 4t

a(t)=6 t- 4

V (t)=-1м/с

a(t) =2м/с 2

Производная в физике

• υ ( t ) = х  ( t ) – скорость
• a ( t )= υ  ( t ) - ускорение
• I ( t ) = q  ( t ) - сила тока
• c ( t 0 ) = Q  ( t 0 ) - теплоемкость
• p ( l )= m  ( l ) - линейная плотность
• к ( t ) = l  ( t ) - коэффициент линейного расширения
• ω ( t )= φ  ( t ) - угловая скорость
• е ( t )= ω  ( t ) - угловое ускорение
• N ( t ) = A  ( t ) - мощность
• F (x)= A  (x) - c ила по перемещению
• Е ( t) =Ф , ( t) - ЭДС индукции
•   F ( t ) = р , ( t ) – 2закон Ньютона

Исторические сведения

Термин «производная» - буквально перевод французского слова derivee .

1797г – Ж.Лагранж ввел современные обозначения

И.Ньютон называл производную флюксией, а саму функцию – флюентой.

Г.Лейбниц говорил о дифференциальном отношении и обозначал производную как

Решение задач.

• Задача 1.
• Тело массой 4 кг движется прямолинейно по закону х( t ) = t 2 + t + 1. Какова кинетическая энергия тела в конце третьей секунды движения после начала движения и сила, действующая на тело?
• Задача 2.

Концентрация некоторого вещества в крови человека вследствие его выведения из организма изменяется по закону: n ( t ) = 2е - 0,05 t . Как изменяется скорость выведения вещества из организма с течением времени? Какой смысл имеет знак скорости?

• 3 . Теплоемкость воды при t = 100 о С равна 1,013. Количество теплоты, необходимое для нагревания 1 кг воды от 0 о С до t о С, определяется формулой

Q = t + 2  10 -5 t 2 + 3 a  10 -7 t 3 . Найдите значение параметра а.

C (t) = Q  (t) = 1 +4 . 10 -5 t +9a . 10 -7 t 2

1 ,013 = 1 +4 . 10 -5 t +9a . 10 -7 t 2 ; при t=100C , а=1

11 0 обеспечивает безопасное плавание во льдах." width="640"

Пароход “Челюскин” в феврале 1934 года успешно прошел весь северный морской путь, но в Беринговом проливе оказался зажатым во льдах. Льды унесли “Челюскин” на север и раздавили.

Почему произошла катастрофа?

Сила Р давления льда разлагается на две: F и R . R – перпендикулярна к борту, F – направлена по касательной. Угол между P и R – a – угол наклона борта к вертикали.

Q – сила трения льда о борт.

Q = 0,2 R (0,2 – коэффициент трения).

Если Q F, то трение мешает скольжению льдины, и лед может смять и продавить борт.

0,2R 0,2

Q 11 0 .

Наклон бортов корабля к вертикали под углом α 11 0 обеспечивает безопасное плавание во льдах.

Задача 4. Напряжение на конденсаторе ёмкостью C =0,5 мкФ изменяется по закону: u = 10 sin ( 100п t ). Найти как изменяется со временем сила тока через конденсатор.   Задача 5.

Заряд на пластинах конденсатора колебательного контура с течением времени изменяется по закону:

q = 10 -6 sin 10 4 п t . Записать уравнение зависимости силы тока от времени.

Задача 6 . С какой силой давит на землю кобра длиной L и массой M , когда она, готовясь к прыжку, поднимается вертикально вверх с постоянной скоростью v ?

Решение упражнений

• № 267, 270, 272, 275
• Домашнее задание
• № 268, 269, 274.