Разработка урока "Виды и способы решения тригонометрических уравнений", 10 класс

Урок по теме « Виды и способы решения тригонометрических уравнений», 10 класс.

Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже..."

Тип урока: систематизация и обобщение знаний и умений.

Формы организации деятельности: индивидуальная, фронтальная.

Цели урока:

• Обучающие (формирование познавательных УУД):

  • углубление понимания методов решения тригонометрических уравнений;

  • сформировать навыки различать, правильно отбирать способы решения тригонометрических уравнений.

• Развивающие (формирование регулятивных УУД):

  • способствовать развитию навыка самостоятельного приобретения знаний;

  • способствовать умению учащихся аргументировать свою точку зрения;

• Воспитательные (формирование личностных УУД):

  • воспитание познавательного интереса к учебному процессу;

  • формирование умения анализировать поставленную задачу;

  • способствовать улучшению психологического климата в классе.

1. Обобщить и систематизировать полученные знания в ходе решения уравнений на единичной окружности.

2. Продолжить развитие внимания к памяти элементов логического мышления в ходе выполнения упражнений.

3. Помочь учащимся осознать ценность совместной учебно-познавательной деятельности.

4. Содействовать развитию у учащихся умений осуществлять самоконтроль, самокоррекцию учебной деятельности.

Планируемые результаты:

Предметные: совершенствовать навыки решения тригонометрических уравнений с помощью применения различных приёмов; систематизировать умения и навыки по применению трёх, известных способов отбора корней при решении тригонометрических уравнений, научиться выделять наиболее рациональный в каждом конкретном случае; научиться выполнять отбор корней тригонометрического уравнения с помощью тригонометрической окружности.

Познавательные УУД: поиск и выделение необходимой информации, моделирование, логические - решение проблемы, построение логической цепи рассуждений, выдвижение гипотез и их обоснование, развитие познавательного интереса.

Личностные УУД: самоопределение, стремление к речевому самосовершенствова-нию, способность к самооценке своих действий, самостоятельное выделение проблемы; установление значения результата деятельности для удовлетворения своих потребностей, мотивов, жизненных интересов, самоконтроль.

Регулятивные УУД: целеполагание, планирование, саморегуляция, выделение и осознание обучающимися того, что уже усвоено и что еще нужно усвоить; постановка задачи на основе соотнесение того, что уже известно и неизвестно.

Коммуникативные УУД: планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками, соблюдение правил речевого поведения, умение с достаточной полнотой выражать мысли в соответствии с задачами и условиями коммуникации, применять правила делового сотрудничества.

Оборудование: макет «Единичная окружность»; мульти проектор; колонки; проектор; цветные мелки, на доске написано « Для тех, кто сильно "не очень..."И для тех, кто "очень даже..." )»

Ход урока.

1. Организационный этап. (приветствие обучающихся - приветствие учителя, проверка готовности - демонстрация готовности к уроку).

2. Постановка целей и задач урока. Мотивация учебной деятельности учащихся.

Учитель: Наш урок я бы хотела начать словами гениального физика Альберта Эйнштейна: «Мне приходиться делить своё время между политикой и уравнениями.

Однако уравнения, по–моему, гораздо важнее, потому, что политика существует

только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно».

1. Актуализация опорных знаний учащихся, работа устно.

1. На экране проецируется задание.

Учитель: Каждому выражению поставьте в соответствие его значение.

1 вариант		2 вариант
А) sin (-π/3) Б) cos 2π/3 В) tg π/6 Г) ctg π/4 Д) cos (-π/6) Е) sin 3π/4	1) √3/3 2) - √3/2 3) 1 4) √2/2 5) √3/2 6) - 1/2	А) cos (-π/4) Б) sin π/3 В) ctg π/6 Г) tg π/4 Д) sin (-π/6) Е) cos 5π/6	1) - 1/2 2) √2/2 3) √3 4) - √3/2 5) √3/2 6) 1

Учитель: Ребята, проверьте ответы и оцените свои работы согласно шкале:

количество верных ответов	баллы
6	5
5	4
4	3
4	2

1. Учитель: Посмотрите на уравнения и их корни. Выясните, нет ли ошибок. Если есть, то исправьте их и запишите правильные ответы.

1. sin х = 1 б) cos х = 0 в) tg х = 3

х= x= ± x = arctg3 + πk,k

г) sin x = 2 д) cos x = -1

х = arcsin2 + πk, k x=

(Учащиеся записывают ответы, затем проверяют. За каждый

правильный ответ- 1 балл.

1. Обобщение и систематизация знаний.

Виды тригонометрических уравнений.

а) Частные случаи: sin x=0, sin x=1, sin x=-1;

cos х=0, cos х=1, cos х =-1;

tg х =0, tg х =1, tg х =-1;

сtg х =0, сtg х =1, сtg х =-1.

б) Уравнения вида: sin x=а; cos х=а; tg х =а; сtg х =а, решение с помощью тригонометрической окружности.

Решить уравнения.

Cos x =	Cos x =	C os x =
Sin x =	Sin x =	S in x =

в) Однородные тригонометрические уравнения 1-ой степени.

Уравнения вида  a sin x + b cos x = 0, где  a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно  sin x или  cos x.

Рассмотрим уравнение

sin x –  cos x = 0. Разделим обе части уравнения на cos x. Так можно сделать, потери корня не произойдёт, т.к. , если cos x = 0, то sin x = 0. Но это противоречит основному тригонометрическому тождеству  sin²x +  cos²x = 1.

Получим tg x – 1 = 0.

tg x = 1,

Ответ: 

г) Однородные тригонометрические уравнения 2-ой степени.

Уравнения вида  аsin²x + bsinx cosx + c cos²x = 0 , где a, b, c –некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или  cos x.

1. Рассмотрим уравнение

sin²x – 3 sinх cosx + 2 cos²x = 0. Разделим обе части уравнения на cos²x, при этом потери корня не произойдёт, т.к.  cos x = 0 не является корнем данного уравнения.

tg²x – 3tgx + 2 = 0.

Пусть tg x = t. D = 9 – 8 = 1.

    тогда    Отсюда tg x = 2 или tg x = 1.

В итоге x = arctg 2 +  ,  x = 

Ответ: arctg 2 +  ,

д) Способы решения тригонометрических уравнений:

разложение на множители:

1. =0 - вынесение общего множителя за скобки

2 cos²x + 2 = 0

или (однородное уравнение

х= первой степени)

tgх + 1=0

tgх= -1

х = +

1. sin²x - cos²x =0 - разложение на множители с помощью формулы сокращённого умножения;

3) 0,5 cos x + sinх cos x – 0,5 – sinх = 0 - способ группировки;

2) введение новой переменной

Пусть , тогда

4 -12 +5=0

или

или

Уравнение так как

Уравнение

е) Более сложные уравнения, уравнения из ЕГЭ с отбором корней на отрезке.

1) cos x + cos 2x – cos 3x = 1

Применить тригонометрические формулы.

cos x – cos 3x – (1 – cos 2x) = 0

- 2sin  x  sin  x) – 2sin²  x)= 0

2sin 2x sin x – 2sin² x = 0

2sin x (sin 2x – sin x) = 0

1. а) Решите уравнение 2sin⁴ x + 3 cos 2x + 1 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения,

принадлежащие отрезку [π; 3π]

Решение.

а) 2 sin⁴x + 3(1 – 2sin² x) +1 = 0

2 sin⁴x – 6 sin² x + 4 = 0

sin⁴x – 3 sin²x + 2 = 0, сделаем замену.

sin²x = t

t² – 3 t + 2 = 0

По теореме Виета

t₁ = 1 или t₂ = 2

sin²x = 1 или sin²x = 2

sinx = ±1 или sinx = ± - уравнение корней не имеет

sinx = ±1

x = + πn, n ϵ Z

Ответ: а) x = + πn, n ϵZ

б) ;

3)

1. Задание для самостоятельной работы.

а) Решить уравнение: 1-

б) Найти все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку

; -

1-

1-2 sin² x = 1- sinx

2 sin² x- sinx =0

sinx(sinx - )=0

sinx=0 или sinx - = 0

х= πn, n ϵZ

б) отберём корни на промежутке ; -

с помощью числовой окружности

х = - , х = - , х = -

Ответ: а) πn; б) ; ;

1. Рефлексия. Подведение итогов урока.

Учитель: Какую цель мы ставили в начале урока?

Наша цель достигнута?

Какие способы отбора корней повторили?

О каком способе отбора корней узнали на уроке?

Какой способ вам кажется легче и понятнее? Почему?

Предлагаю закончить урок словами Я.А.Коменского: “Считай несчастным тот день или тот час, в который ты не усвоил ничего нового и ничего не прибавил к своему образованию”.

Спасибо за урок.