Открытый урок "Разложение многочлена на множители способом группировки" 7 класс

Баранова Ольга Григорьевна, учитель математики

Разделы:  алгебра 7 класс

Тема урока: Разложение многочлена на множители способом группировки.

Цели урока:

Образовательные: при помощи применения переместительного и сочетательного законов сложения и распределительного закона умножения , способствовать деятельности учащихся по самостоятельному выводу алгоритма разложения многочлена на множители способом группировки.

Развивающие: развивать умения пользоваться уже полученными на прошлых уроках , знаниями; развивать внимательность, собранность и аккуратность; развивать умения работать индивидуально, в группах, ставить перед собой цель и делать выводы.

Воспитательные: воспитывать внимательность учащихся, создание позитивного отношения учащихся к изученному разделу, умения ясно и четко излагать свои мысли, способствовать математической и общей грамотности.

Тип урока: изучение нового, проблемный.

Методы обучения: проблемный, частично-поисковый.

Форма организации учебной деятельности: индивидуальная , групповая, фронтальная.

Девиз урока:    «С малой удачи начинается большой успех»

Ход урока:

1. Организационный этап

Сегодня мы проведём необычный урок. Вы будете не просто учениками

7 класса, а настоящими разработчиками алгоритмов.

Мы с вами должны будем выполнить ряд задач, в решении которых будем использовать уже полученные нами знания по теме «Разложение многочлена на множители».

 Прежде чем мы приступим к решению более серьёзных задач, нужно проверить, а готовы ли мы к этому.

1. Проверка домашнего задания . Найди ошибку.

№37.8

1. 3b² - 3b = 3b (b – 1),

б) a⁴ + 2a² =a²(a² + 2a),

в) 4с² – 12с⁵ = с²(4 – 12 с³ ),

г) 8d⁴ – 32 d² = 8d²(d² – 4).

№37.12

а) 15х³у² + 10х²у – 20 х²у³ = 5х²у (3ху – 2 + 4у²),

б) 12a²b⁴ – 36a²b + 44abc = 4ab(3ab³ – 9a + 11c).

3. Актуализация опорных знаний.

Математический диктант.

Вынести за скобки общий множитель: ( работа в группах)

Как вы думаете, где можно использовать разложение многочленов на множители? (при решении уравнений и сокращении дробей).

Теперь давайте решим уравнение:   5х² + 5х = 0    

Как можно решить такое уравнение (вынести общий множитель за скобки)

(Мотивирование необходимости разложения многочлена на множители)

 5 x (x+1) =0 ,

x=0 или x=-1.

Молодцы! Как решить следующее уравнение?

1. Создается проблемная ситуация:

Решите уравнение: x² +3x +6 +2x =0

 На первый взгляд задача выглядит знакомой, но как её решить?

- Есть ли у всех слагаемых общий множитель? (Нет).

- Значит, этот известный нам метод не подходит.

Постановка учебной задачи:  разработать другой способ разложения многочленов на множители.

1) Эвристическая беседа.

Рассмотрим многочлен 9a +9b +ma +mb.   (запись на доске)

Применим “метод пристального взгляда”. Что вы видите?

( первое и второе слагаемые имеют общий множитель 9, у третьего и четвертого слагаемых общий множитель m).

- Как вы думаете, какой законом сложения мы можно использовать? (Сочетательный)

- Давайте сгруппируем их 9a +9b и ma +mb

(9a +9b) + (ma +mb)

- Теперь что у нас появилось в каждой группе? (общий множитель)

- Что можно сделать с общими для каждой группы множителями? (Вынести его за скобки).

- Какой закон умножения может помочь в этом? (Распределительный закон)

9(a +b) + m(a +b)

- Сколько здесь слагаемых? (Два)

- Что интересного вы заметили в получившемся выражении? (Есть один общий множитель (a +b) )

- Вынесем его за скобки, какое выражение получится во второй скобке?

(a +b) (9 + m)

- Что мы получили? (произведение)

- Итак, мы представили многочлен в виде произведения. Каким способом? (Объединяя слагаемые в группы)

- Поэтому этот способ называется способом группировки.

- Нельзя ли этот же многочлен разложить на множители, группируя слагаемые иначе? Какие законы сложения и умножения будем использовать?

2) Фронтальная работа

9a +9b +m a +mb = (9a + ma) + (9b + mb) = a( 9 + m) + b ( 9 + m) =

(9 + m) ( a + b)

- Какой получился результат? (и в первом случае и во втором , получается одинаковый результат)

-Какой закон умножения, позволяет нам сказать, что результаты одинаковые? ( Переместительный закон умножения).

-Давайте теперь попробуем составить алгоритм разложения на множители новым способом, способом группировки:

1. Что мы делали? Давайте запишем : 9a +9b +m a +mb

а) выполняли группировку слагаемых, которые имеют общий множитель; (9a +9b) + (m a +mb)

б) в каждой группе находили общий множитель и вынесли его за скобки;

9 (a +b) + m( a +b)

в) нашли общий множитель в получившемся выражении, и вынесли его за скобки. (a +b) (9 + m)

Запись в тетрадь:

1. Выполнить группировку слагаемых, имеющих общий множитель;

2. Вынести общий множитель в каждой группе;

3. Найти общий множитель в получившемся выражении и вынести его за скобки.

Вы прекрасные разработчики, алгоритм, который вы разработали, поможет вам решать уравнения, а в дальнейшем и сокращать дроби. .

5. Отработка правила.

-Теперь попробуем решить уравнение, которое вызвало у нас затруднение: x² +3x +2х +6 =0

1. выполним группировку слагаемых, которые имеют общий множитель:

(x² +3x) +(2х +6)=0,

2) в каждой группе найдём общий множитель и вынесем его за скобки;

х(x +3) +2(х +3)=0

1. в получившемся выражении нашли общий множитель и вынесли его за скобки;

(х+3)(х+2)=0

-Когда произведение двух множителей равно 0? (когда один из множителей равен нулю)

-Так как у нас два множителя, поэтому и корней в нашем уравнении будет 2. -Как найти корни получившегося уравнения

(Приравняем каждый множитель к нулю, и решим получившиеся уравнения)

Ответ : х₁=-3, х₂=-2

Фронтальная работа с пооперационным контролем.

 (1 ученик у доски по желанию)

ах + ау - х – у = (ах + ау) + (- х – у) = а(х + у) – (х + у) = (х + у)(а – 1)

( -1 выносим за скобку)

ав - 8а – вх + 8х = (ав – вх) + (- 8а + 8х) = в(а – х) + 8(- а + х) =

(а – х)(в – 8) 

x ² m - x²n + y² m - y²n = (x²m – x²n) + (y²m – y² n) = x²(m – n) + y²(m – n) = (m – n)(x² + y²)

Потрясающе!  

1. Дифференцированные задания по уровням. 

Выбираем один из предложенных вариантов, который кажется вам соответствующим уровню знаний (вырабатывается навык самооценки).

А. Задания базового уровня.

1) 5а - 5в + аm – bm = 5(a – b) + m(a – b) = (a – b)(5 + m)

2) x y + 3y + 2x + 6 = y(x + 3) + 2(x + 3) = (y + 2)(x + 3)

3) x²a - x²b + y² a - y²b = x²(a – b) + y²(a – b) = (a – b)(x² + y²)

Б. Задания повышенного уровня

1) x y + 4y - 2x – 8 = y(x + 4) – 2(x + 4) = (x + 4)(y – 2)

2) 2aх – aу – 10х + 5у = a(2x – y) - 5( 2x - y) = ( 2x – y)(a – 5)

3) х² + x y + xy² + y³ = x(x + y) + y²(x + y) = (x + y)(x + y²)

С. Задания творческого уровня

1) x⁴ + x³y - xy³ - y⁴ = x³(x + y) – y³(x + y) = (x + y)(x³ – y³)

2) ху² – ву² – ах + ав + у² – а =y²(x – b + 1) + a(- x + b – 1) = (y² – a)(x – b + 1)

3) х² – 3х + 6 – 2x= x(x - 3) + 2(3 – x) = (x – 2)(x – 3).

Молодцы!

7. Домашнее задание

П.1 §38,ответить на вопросы самопроверки,

№38.4 (в,г), №38.7(а,б), №38.8 (а)

(Учебник А.Г. Мордкович Алгебра 7 кл ч.2)

 8. Подведение итогов. Рефлексия

- Какая задача состояла перед нами в начале урока? (научиться раскладывать многочлен на множители способом группировки)

- Можно ли считать, что мы ее решили?

Спасибо за урок !