Конспект урока по Алгебре на тему Иррациональные уравнения"

Тема: Иррациональные уравнения
Цели урока:

1. Обобщить и систематизировать знания учащихся по данной теме, повторить методы решения иррациональных уравнений, познакомить с новыми нестандартными методами решения иррациональных уравнений, показать исторический характер теории иррациональности, проверить уровень сформированности умений и навыков учащихся по изучаемой теме. 

2. Развивать операции мышления (обобщение, умение выделять главное, анализировать), внимание, навыки сотрудничества, чувство времени.

3.  Воспитание ответственного отношения к изучению предмета, самостоятельности, познавательной активности, стремления к самосовершенствованию.

Тип урока: 
Обобщение и систематизация ранее изученного материала

Ход урока

I Организационный момент.
 Сообщение темы и цели урока.
Здравствуйте, ребята. Добрый день, уважаемые учителя, приглашаю Вас на урок математики в 11 классе “Иррациональные уравнения”. 
Эйнштейн говорил так: “Мне приходится делить время между политикой и уравнениями. Однако, уравнения, по-моему, гораздо важнее. Политика существует для данного момента, а уравнения будут существовать вечно”.
Как Вы знаете, прославился он именно уравнением, названным “Уравнение Эйнштейна”. Вот и мы займемся уравнениями. Обобщим знания по теме “Иррациональные уравнения”, повторим методы решения уравнений, алгоритмы решения,  этими методами, познакомимся с  новыми методами.
Запишите в тетради число, тему урока.

На ваших партах лежат рабочие карты, подпишите их.
Рабочая карта ученика 11 класса ________________________
Теория
Кроссворд                                                                                                                         Метод “пристального взгляда”                                                                                            Метод возведение в степень, равную показателю корня                                                Метод введения новой переменной                                                                                     ИТОГ
                     
В них вы будете отмечать успешность выполнения заданий символами: 
“!” – владею свободно
“+” - могу решать, иногда ошибаюсь
“-” - надо еще поработать

2. Повторение и обобщение изученного материала.

2.1. Основные вопросы теории открытия иррациональности

А сейчас небольшая историческая справка (выходит учащийся и рассказывает наизусть):

История иррациональных чисел восходит к удивительному открытию Пифагорийцев ещё в VI веке до н.э.. А началось все,  с простого, казалось бы, вопроса — каким числом выражается длина диагонали квадрата со стороной 1?

Пифагорийцы доказали, что  — нельзя выразить отношением некоторых целых чисел m и n.  — по их мнению вообще не было числом. Открыв новый математический объект,  они пришли в полное замешательство. В основе всеобщей гармонии мира, считали они, должны лежать целые числа и их отношения. Никаких других чисел они не знали. И вдруг эта гармония рушится — существуют величины, которые отношением целых чисел, в принципе — не являются.

В переводе с латыни «irrationalis» - «неразумный». Любопытно, что в средневековой Европе наряду с «irrationalis» в ходу был ещё и другой термин «surdus» - «глухой» или «немой». Судя по такому названию, математикам средневековья иррациональные числа представлялись чем-то настолько «неразумным», что «ни сказать, ни выслушать». Удивление и досада, с которыми древние математики в начале восприняли иррациональные числа, впоследствии сменились интересом и пристальным вниманием к новым математическим объектам.

Ну а в наше время необходимость изучения решения иррациональных уравнений очевидна. Иррациональным уравнением выражаются формулы, описывающие многие физические процессы:

• равноускоренное движение;

• 1 и 2 космические скорости;

• среднее значение скорости теплового движения молекул;

• период радиоактивного полураспада и другие.

История развития теории иррациональности знает много ученых – исследователей. Назовем некоторых из них, отвечая на вопросы теории, которая является фундаментом, для решения иррациональных уравнений.

Первый кроссворд. 
1.    Что требуется для полученных значений переменной при решении иррациональных уравнений? (проверка)
2.    Способ, которым проводится проверка решений иррациональных уравнений  (подстановка)
3.    Как называется знак корня? (радикал)
4.    Сколько решений имеет уравнение х2 = а, если а
5.    Как называется уравнение, в котором под знаком корня содержится переменная? (иррациональное)
6.    Как называется корень второй степени? (квадратный)
Получилось имя Евклид. Евклид – это великий ученый, он жил в 3 веке до нашей эры в Древней Греции. Известно, что он был приглашен в Александрию царем Птолемеем I для организации математической школы. Он был человеком мягкого характера, очень скромного, но независимого. Он сказал, что познание мира ведет к совершенствованию души. Предлагаю эти слова взять эпиграфом нашего урока. Необходимость введения иррациональных чисел была описана в работе Евклида, по которой потом занимались все творцы современной математики:
Декарт и Ферма, Ньютон и Лейбниц, Колмогоров и Понтрягин.
Как называлась эта древняя книга, которая оказала наибольшее влияние на развитие европейской цивилизации? НАЧАЛА.
Именно в этом труде Евклид впервые заявил о необходимости введения новых неизведанных чисел.

Понятие иррациональности ассоциируется с изображением корня. Греческие математики вместо слов “извлечь корень” говорили “найти сторону квадрата по его заданной величине (площади)”. Знак корня впервые появился в 1525 году. За это время его изображение менялось. Кто ввел это изображение?
Об этом мы узнаем, ответив на следующие вопросы.

Второй кроссворд. 
1.    Сколько решений имеет уравнение х2=0. (одно)
2.    Корень какой степени существует из любого числа? (нечетной )
3.    Как называется корень третьей степени? (кубический)
4.    Сколько решений имеет уравнение х2=а, если а 0? (два)
5.    Как называется корень уравнения, который получается в результате неравносильных преобразований? (постороннний)
6.    Корень, какой степени существует только из неотрицательного числа? (четной)
Итак, впервые изображение корня ввёл Декарт, французский ученый. Им положено начало исследования важных свойств алгебраических уравнений.

Третий кроссворд.
Кто же ввел современное изображение корня? Ответим на следующие вопросы. 
1.    Как называется равенство двух алгебраических выражений? (уравнение)
2.    Как называют значение переменной, при котором уравнение обращается в верное числовое равенство (корень)
3.    Какая черта личности поможет при решении иррациональных уравнений? (трудолюбие)
4.    Какой должен быть взгляд на уравнения, чтобы, не вычисляя сказать ответ? (пристальный)
5.    Как называют уравнения, если они имеют одни и те же корни или не имеют корней вообще? (равносильные)
6.    Как называется иррациональное выражение, содержащее противоположное арифметическое действие? (сопряженное)
Это Ньютон – английский физик, открывший основные законы природы, законы Ньютона. Он ввёл современное изображение корня. 
Мы повторили теорию решения иррациональных уравнений, которая является фундаментом для познания мира.

2.2. Основные методы решения иррациональных уравнений.

Иррациональные уравнения можно решать различными методами. 
1. Какими основными методами решаются иррациональные уравнения?
(Метод возведения в степень, равную показателю корня, метод пристального взгляда, метод введения новой переменной)
2. Расскажите алгоритм решения методом возведения в степень, равную показателю корня.
1) Возведём обе части уравнения в степень, равную степени корня.
2) Решим полученное уравнение.
3) Выполним проверку.
3. Расскажите алгоритм решения методом введения новой переменной.
1) Введём новую переменную.
2) Решим полученное уравнение.
3) Найдем значение искомой переменной.
4) Выполним проверку.
4. Какой этап содержат все эти методы?
(Проверку)
5. Какой метод используется при решении иррациональных уравнений другими методами?
(Метод возведения в степень, равную степени корня)
6.Какой метод предполагает устное решение?
(Метод “пристального взгляда”?)
7. На каких свойствах иррациональных выражений основан этот метод?
(Значение арифметического корня четной степени есть величина неотрицательная, а значит сумма, произведение и частное таких выражений будет величина неотрицательная)

2.3. Решение заданий методом пристального взгляда.

 Ряд  иррациональных  уравнений  можно  решить  методом ,,пристального  взгляда,,  суть  которого  заключается  в  очевидности  корней  или  их  явного  отсутствия  по  причине  разногласия  с  ОДЗ. Например:

 Развиваем  алгебраическую  зоркость. На  переносной  доске  записано  решение иррационального  уравнения, в  котором  допущена ,,стандартная,, ошибка. Найдите  её.

2.4 Методы решения иррациональных уравнения.

 1)  Метод приведения уравнения к простейшему виду путем возведения обеих частей уравнения в степень, равную показателю корня (радикала).

1.                                      проверка:

                                                  11-8=3,

,                                                          11-корень

                                                  6-8=-2,   6-не корень.

Ответ: 11.

1.                                проверка:                              

                         -3= -3.                                      

                                            2=2.

                                                        Ответ: -2, 3

    пусть    тогда

                               или     

Ответ: 3, 4.

Вывод: при возведении обеих частей уравнения в четную степень не может происходить потери корней (могут быть получены посторонние корни). Следовательно, решая уравнения достаточно найти все корни уравнения,    а затем исключить посторонние. В этом случае проверка является обязательным элементом решения.

2)Метод уединения корня.

 Удобно ли проводить проверку, если корни дробные или иррациональные числа? Нет. Тогда, как же лучше поступить в таком случае?

Запись:   

Решение.

Ответ:  0.

В этом уравнении лучше сначала найти область допустимых значений, т.к. подкоренные выражения просты для решения.

Ответ: 5, 17.

1. Метод введения новой переменной (метод подстановки).

пусть     , тогда                                                                                                                         

Ответ: 

1. Пусть    

               тогда  

Ответ:  .

1. Метод умножения обеих частей на сопряженное выражение.

1. ,  (1).

  (2)

Сложим  (1) и (2) и получим

Ответ:  -4,5;  2.

1. Метод разложения на множители.

Ответ:  1, 3.

1. Метод выделения полного квадрата.

2. Метод оценки.                                                               

3. Метод использования свойств функций, входящих в уравнение.

2.5 Практическое применение иррациональных уравнений, рассмотрим на примерах заданий ЕГЭ.

1. Задание 10

Расстояние от наблюдателя, находящегося на небольшой высоте h километров над землeй, до наблюдаемой им линии горизонта вычисляется по формуле l=√2Rh, где R=6400 (км) — радиус Земли. С какой высоты горизонт виден на расстоянии 4 километров? Ответ выразите в километрах.

Решение

Нам нужно найти такую высоту h, что

4=√2⋅6400⋅h

Решаем уравнение и получаем

h=1/800=0,00125 км

Ответ: 0,00125.

1. Задание 10

Скорость автомобиля, разгоняющегося с места старта по прямолинейному отрезку пути длиной   км с постоянным ускорением  , вычисляется по формуле  . Определите наименьшее ускорение, с которым должен двигаться автомобиль, чтобы, проехав один километр, приобрести скорость не менее 110 км/ч. Ответ выразите в км/ч .

1. Задание 10

При движении ракеты еe видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, сокращается по закону  , где   м — длина покоящейся ракеты,   км/с — скорость света, а v — скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть минимальная скорость ракеты, чтобы еe наблюдаемая длина стала не более 21 м? Ответ выразите в км/с.

Подобные задания вы можете увидеть на сайтах для подготовки к ЕГЭ.

1.  Самостоятельная работа с взаимопроверкой на примерах заданий ЕГЭ.

3.Подведение итогов урока.
Для достижения духовного совершенства мы познаем мир, в том числе и изучая теорию, методы решения иррациональных уравнений.
Необходимость изучения решения иррациональных уравнений очевидна, иррациональным уравнением выражаются формулы, описывающие многие физические процессы: 
•    Равноускоренное движение
•    1 и 2 космические скорости
•    среднее значение скорости теплового движения молекул
•    период радиоактивного полураспада и другие.
А также иррациональные уравнения использует статистика. 
Но для достижения духовного совершенства необходимо еще воспитать в себе определенные качества.
Как Вы думаете какие? (Ответственность, самостоятельность, терпение, настойчивость, упорство, трудолюбие и другие).

Я желаю Вам достичь заветной цели, а главное стремиться к постоянному самосовершенствованию.

 Рефлексия.

1. Трудным ли для тебя был материал урока?

2. На каком из этапов урока было труднее всего, легче всего?

3. Что нового ты узнал на уроке? Чему научился?

4. Работал ли ты на уроке в полную меру сил?

5. Как эмоционально ты чувствовал себя на уроке?

 Подведите итоги своей работы на уроке в своей рабочей карте.

“Да, мир познания не гладок.
И знаем мы со школьных лет
Загадок больше, чем разгадок.
И, поискам предела нет!”