Согласно статистике, почти каждая семья берет кредит на приобретение того или иного товара. В сегодняшние дни потребительские кредиты, кредитные карты, автокредиты, ипотека, вклады, банковские карты и другие финансовые услуги очень распространены и играют важную роль в экономике страны и каждой семьи.
Эффективному постижению азов экономики поможет решение задач, в содержании которых идет речь о процентах. Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи.
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Просмотр содержимого документа
«Экономические задачи»
ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ
Введение. Теория Согласно статистике, почти каждая семья берет кредит на приобретение того или иного товара. В сегодняшние дни потребительские кредиты, кредитные карты, автокредиты, ипотека, вклады, банковские карты и другие финансовые услуги очень распространены и играют важную роль в экономике страны и каждой семьи. Эффективному постижению азов экономики поможет решение задач, в содержании которых идет речь о процентах. Сами проценты не дают экономического развития, но их знание помогает в развитии практических способностей, а также умение решать экономические задачи. Экономическую задачу ввели в экзамен ЕГЭ «Профиль по математике» с 2015 года. Она стала называться заданием номер 17 и по своей сложности находится почти на одном уровне с заданиями на параметры и теорию чисел. Приведу примеры статистики сдачи ЕГЭ по математике за 2018 и 2017 годы (см. Приложение 1) Также рассмотрим статистику решения 17 задания ЕГЭ по математике (см. Приложение 2) В экономических задачах используют три основных типа платежей: 1. Фиксированные платежи (платежи, которые чѐтко оговариваются в условии задачи) 2. Аннуитетные платежи (постоянные ежемесячные или ежегодные платежи, которые не меняются на протяжении всего периода кредитования) 3. Дифференцированные платежи (ежемесячные или ежегодные платежи, уменьшающиеся к концу срока кредитования и обеспечивающие уменьшение суммы долга на одну и ту же величину)
Практическое решение экономических задач Задачи с аннуитетным платежом 1 тип: Нахождение ежемесячного (ежегодного) транша Задача: 31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000 рублей в кредит по 10% годовых. Схема выплат кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (то есть за четыре года)?
Решение:
S = 9 282 000 руб. – сумма кредита
P = 10% - процентная ставка
X – сумма ежегодного платежа
S1= S(1+p/100) = Sk (1+p/100) = k (коэффициентдолга)
S1 = Sk – x (после первого платежа через год)
S2 = S1k = k(Sk-x) = Sk2 – kx
S2 = Sk2 – kx – x (после второго платежа через два года)
S3 = S2k = k(Sk2 – kx – x) = Sk3 – k2x – kx
S3 = Sk3 – k2x – kx – x (после третьего платежа через три года)
S4 = Sk4 – k3x – k2x – kx – x (после 4-ого платежа через 4 года)
Известно, что через четыре года кредит должен быть погашен
Составим уравнение:
Sk4 – k3x – k2x – kx – x = 0
Sk4 = k3x + k2x + kx + x
x(k3 + k2 + k + 1) = Sk4
= 2 928 200
Ответ: 2 928 200 рублей – сумма ежегодного платежа
2 тип: Нахождение суммы кредита
Задача:
1 марта 2010 года Аркадий взял в банке кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 1 марта каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Аркадий переводит в банк платеж. Весь долг Аркадий выплатил за 3 платежа, причем второй платеж оказался в два раза больше первого, а третий – в три раза больше первого. Сколько рублей взял в кредит Аркадий, если за три года он выплатил банку 2 395 800 рублей?
Решение:
Пусть x(руб.) – первый платёж, (2x)руб. – второй платёж, (3x)руб. – третий платёж.
Известно, что Аркадий выплатил банку 2 395 800 рублей
31 декабря 2014 года Борис взял в банке 1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга ( то есть увеличивает долг на определенное количество процентов), затем Борис переводит очередной транш. Борис выплатил кредит за два транша, переводя в первый раз 560 тыс. рублей, во второй – 644,1 тыс. рублей. Под какой процент банк выдал кредит Борису?
Решение:
S = 1 000 000 руб. – сумма кредита
S1= Sk = 1 000 000k (1+p/100) = k (коэффициент долга)
S2 = 1 000 000k2 – 560 000k – 644 100 ( после второго платежа)
Известно, что кредит был погашен двумя платежами
Составим уравнение:
1 000 000k2 – 560 000k – 644 100 = 0
10 000k2 – 5600k – 6441 = 0
D = k2 – ac = 7 840 000 + 64 410 000 = 72 250 000
k1 =
k2 = – не подходит
k = 1,13
1 +
p/100 = 0,13
p = 13
Ответ: 13% - процентная ставка
4 тип: Нахождение количества месяцев (лет)
Задача:
1 января 2015 года Андрей Владимирович взял в банке 1,1 млн. рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1 числа каждого следующего месяца банк начисляет 3% на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 3%), затем Андрей Владимирович переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Андрей Владимирович может взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты были не более 220 тыс. рублей?
Решение:
S = 1 100 000, каждый месяц начисляется 3% от суммы долга, то есть S(
1 100 000 * 1,03 – 220 000 = 913 000 (рублей) – спустя один месяц
913 000 * 1,03 – 220 000 = 720 390 (рублей) – спустя два месяц
720 390 * 1,03 – 220 000 = 522 001,7 (рублей) – спустя три месяц
522 001,7 * 1,03 – 220 000 = 317 661,75 (рублей) – спустя четыре месяца
317 661,75 * 1,03 – 220 000 = 107 191,604 (рублей) – спустя пять месяцев
107 191,604 * 1,03 = 110 407,352 – 110 407,352 = 0 – спустя шесть месяцев
Ответ: на 6 месяцев Андрей может взять кредит
Задачи с дифференцированным платежом
1тип: Нахождение общей суммы выплат
В июле планируется взять кредит в банке на сумму 4 млн. рублей на 12 лет. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 5% по сравнению с концом предыдущего года
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года
Сколько миллионов рублей составила общая сумма выплат после погашения кредита?
Решение:
S = 4 млн. рублей на 12 лет, P – общая сумма выплат
p = 5% - процентная ставка, k = - коэффициент долга
Найти: P - ?
Составим таблицу (см. Приложение 3)
Найдём ежегодные выплаты по кредиту:
x1 =
x2 =
…..
x10 =
x11 =
x12 =
P = = 5,3
Ответ:общая сумма выплат составила 5,3 млн. рублей
2 тип: Нахождение разницы между выплаченной суммой и взятой в кредит
Егор взял кредит в банке на 2 года. По договору он должен возвращать часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 2%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Егором банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Егором, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. На сколько процентов общая сумма выплат больше суммы, взятой в кредит?
Решение:
S – сумма кредита, взятого на 24 месяца, p = 2% - процентная ставка
k = – коэффициент долга, P – общая сумма выплат
Составим таблицу: (см. Приложение 4)
x1= x2 =
….
x22x23 =
x24 =
P =
Ответ: на 25% общая сумма выплат больше суммы, взятой в кредит
3 тип: Нахождение процентной ставки
Маргарита взяла в банке кредит на срок 22 месяца. По договору она должна вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется p% этой суммы, и своим ежемесячным платежом Маргарита погашает это добавленные проценты и уменьшает сумму основного долга. Ежемесячные платежи подбираются так, чтобы долг уменьшался на одну и ту же величину каждый месяц. Известно, что общая сумма выплат оказалась на 23% больше, чем сумма, взятая в кредит. Найдите p.
Решение:
S – сумма кредита, n = 22 месяца, p – процентная ставка,
k = коэффициент долга
P = 1,23S – общая сумма выплат
Составим таблицу: (см. Приложение 5)
x1= x2 =
….
x20x21 =
x22 =
P =
Известно, что общая сумма выплат оказалась на 23% больше, чем сумма, взятая в кредит.
S(11,5k – 10,5) = 1,23S
11,5k – 10,5 = 1,23
11,5k = 11,73
k = 1,02
k =
p = 2%
Ответ:2% - процентная ставка
4 тип: Нахождение количества лет(месяцев)
В июле планируется взять кредит на сумму 8 млн. рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года
На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 21 млн. рублей?
Решение:
S = 8 млн. рублей на n лет, p = 25%, k =
P = 21млн. рублей – общая сумма выплат, n - ?
Составим таблицу: (См. Приложение 6)
P =
P =
n(k – 1)+k+1=
n(k – 1) =
n =
Ответ:кредит был взят на 12 лет
Сравнительный анализ аннуитетного и дифференцированного платежей
Дифференцированный платеж
Ещё в недавние времена в российской практике кредитования применялся только один вид платежей — дифференцированный. Дифференцированный платёж заключается в том, что на первые месяцы выплат приходятся максимальные суммы, в которые входит часть основного долга и проценты по кредиту. При дифференцированных платежах сумма основного долга делится равными частями на весь срок платежа, а вот проценты ежемесячно начисляются на остаток долга. Соответственно, в первый месяц суммы платежей наиболее велики, потому что проценты по кредиту существенны. А к концу срока выплаты будут минимальны.
Аннуитетный платеж
Отличие аннуитетного платежа от дифференцированного в том, что сумма ежемесячного взноса всегда неизменна, но вот структура этой суммы меняется из месяца в месяц. Основную часть в 1-е месяцы составляют проценты по кредиту, а сумма тела долга — минимальна. Таким образом, банк страхует риски недополучения прибыли в случае досрочного погашения кредита заёмщиком. Подобный график погашения платежей с ежемесячной суммой — константа очень выгоден людям, имеющим фиксированный доход. Нет необходимости каждый месяц сверяться с графиком платежей, чтобы заранее зарезервировать нужную сумму для оплаты кредита
Сравним два этих платежа и выясним, какой из них будет более выгодным
Представим, что в январе был взят кредит в размере 4 000 000 рублей на пять лет. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 15% по сравнению с концом предыдущего года
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга
Сначала узнаем, какая будет переплата, если выплаты будут производиться дифференцированными платежами.
S = 4 000 000 – сумма кредита, P – общая сумма выплат
p = 15% - процентная ставка, k = – коэффициент долга
Из приведённых расчётов видно, что окончательная сумма переплаты по кредиту с дифференцированным платежом (1 800 000рублей) несколько ниже, чем переплата по кредиту с равными платежами(1 957 497 рублей), поэтому выплаты дифференцированными платежами будут более выгодными для заёмщика.
Список используемой литературы
Хужаниёзова Г. С., Умирзоков Ж. А. Экономические задачи на уроках математики // Молодой ученый. — 2016. — №10. — с. 1314-1317.
Задание с экономическим содержанием в ЕГЭ по математике. Учебно-методическое пособие под.ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. Ростов-на-Дону: Легион, 2014. – 48 с.
https://math-ege.sdamgia.ru «РЕШУ ЕГЭ»: математика. ЕГЭ-2019. Обучающая система Дмитрия Гущина
ipoteka-expert.comАннуитетный и дифференцированный платеж
= 
2 928 200 
– не подходит 
- коэффициент долга
= 5,3
– коэффициент долга, P – общая сумма выплат
x2 = 
x23 = 
коэффициент долга
x2 = 
x21 = 
– коэффициент долга
