Способы решения тригонометрических уравнений

Способы решения тригонометрических уравнений

ГБОУ ЛНР «ССШ № 6 – ВШ», Савенко Л.О.

1. Решение тригонометрических уравнений способом приведения к одной переменной

Некоторые тригонометрические уравнения путем тотожних преобразований можно привести к уравнениям с одной тригонометрической функцией, затем сделать замену и привести уравнение к алгебраическому .

Пример 1.

Решите уравнение

Решение

Замена: cosx=t, тогда

с учетом замены имеем:

• , cosx= 2) ,cosx=

Решений нет

Ответ:

Пример 2.

Решите уравнение tgx+3ctgx=4

Решение

tgx+3ctgx=4, tgx+ =4.

Пусть tgx=t,тоді , t+ =4,

Имеем: 1) tgx=1, х=

2) tgx=1, х= arctg3 + πn, n є Ζ.

Ответ: , arctg3 + πn, n є Ζ.

2 . Решение тригонометрических уравнений способом разложения на множители .

Много тригонометрических уравнений,правая часть которых равна 0, решаются разложением их левой и правой части на множители, используя необходимое и достаточное условия равности нулю произведения тригонометрических выражений:произведение двух или нескольких сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, а другие не теряют сути .

Пример 1.

Решите уравнение

Вынесем общий множитель sin x за скобки:

sin x(sin x - 1)=0

sin x=0 , или sin x – 1=0

х=πп, п є Ζ sin x = 1

х= +2πk,k є Ζ

Ответ: πп, п є Ζ; +2πk, k є Ζ.

Решение

Пример 2.

Решите уравнение

Решение

,

Используем формулу разности квадратов:

tg x (tg x-1)(tg x+1)=0

tg x=0, tg x=1, tg x=- 1

x=πn,n Є Ζ x= +πk,k Є Ζ x= + πm,m Є Ζ

Ответ: πn, п є Ζ; + πk, k є Ζ ; + πm,m Є Ζ

Пример 3.

Решите уравнение

Решение

sin 2x =2 sin x cos x

- 2 sin x cos x=0,

sin x (sin x – 2 cos x)=0,

sin x=0 или sin x – 2 cos x=0

х=πп, п є Z sin x= 2 cos x | : cos x

tgx=2

x= arctg2 + πk, k є Z

Ответ: πп, п є Z ; arctg2 + πk, k є Z

Пример 4.

Решите уравнение 2cosx · cos2x = cosx

2cosx · cos2x = cosx

2cosx · cos2x – cosx=0

cosx(2cos2x - 1) =0

cosx=0 2cos2x - 1 =0

x= +πn , n є Z cos2x =

2x=

x=

Ответ: +πn , n є Z ;

Решение

Пример 5.

Решите уравнение sin x -1 = sin x cos x - cos x

Решение

sin x -1 - sin x cos x + cos x = 0

(sin x - sin x cos x) - (1- cos x) = 0

sin x(1- cos x) - (1- cos x) = 0

(1- cos x)(sin x – 1) = 0

1- cos x = 0 или sin x – 1 = 0

cos x =1 sin x = 1

x= 2πn, n є Z x= + 2πk, k єZ

Ответ: 2πn, n є Z ; + 2πk, k єZ

Пример 6.

Решите уравнение tg x (sin x- 1)=0

Решение

tg x = 0 sin x- 1 = 0

x= πn, n є Z sin x = 1

x= + 2πk, k єZ

Однако при х = + 2πk, k єZ множитель tg x не имеет смысла . Поэтому корни исходного уравнения x= πn, n є Z.

Ответ: πn, n є Z.