Обратная функция

Обратная функция

Цель урока:

• Образовательна я:
• закрепить знаний по теме в соответствии с программным материалом; продолжить изучать свойства обратимости функции и нахождение функции обратной данной.
• Развивающая:
• овладеть понятием обратной функции и усвоить методы нахождения обратной функции;
• развивать навыки самоконтроля, предметную речь.
• Воспитательная:
• формировать коммуникативную компетентность.

Если каждому значению х из некоторого множества действительных чисел поставлено в соответствие по определённому правилу f число у , то, говорят, что на этом множестве определена функция .

y

y = f ( x )

E ( f )

x

0

х

D ( f )

Если функция у = f ( х ) принимает каждое своё значение у только при одном значении х , то эту функцию называют обратимой.

• Пусть у = f ( x ) – обратимая функция. Тогда каждому у из множества значений функции соответствует одно определённое число х из области её определения, такое, что f ( x ) = y . Это соответствие определяет функцию х от у , которую обозначим х = g ( y ). Поменяем местами х и у : у = g ( x ).
• Функцию у = g ( x ) называют обратной к функции у = f ( x ).

Чтобы найти функцию обратную данной нужно:

Свойства обратных функций

• Область определения обратной функции f -1 совпадает с множеством значений исходной f, а множество значений обратной функции f -1 совпадает с областью определения исходной функции f:

D(f -1 ) = E(f), E(f -1 ) = D(f).

у

у

2

0

0

2

х

х

• D(у)=(- ∞ ;2) ∪ (2;+ ∞ )
• Е(у)=(- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞ )

• D(у)=(- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞ )

2. Е(у)=(- ∞ ;2) ∪ (2;+ ∞ )

Свойства обратных функций

• Монотонная функция является обратимой:

если функция f возрастает, то обратная к ней функция f -1 также возрастает;

если функция f убывает, то обратная к ней функция f -1 также убывает.

у

у

у=f(x)

y=x 2 ,х

3

у=g(x)

0

3

0

-2

х

х

-2

• D(y)=[0;+ ∞)
• E(y)=(- ∞;0]
• убывающая

• D(y)=(- ∞;0]
• E(y)=[0;+ ∞)
• убывающая

• D(g)=R
• E(g)=R
• возрастающая

• D(f)=R
• E(f)=R
• возрастающая

Свойства обратных функций

3. Если функция имеет обратную, то график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой у = х.

у

у = х

(х 0 ;у 0 )

у 0

(у 0 ;х 0 )

х 0

0

х

Для функции, заданной табличным способом, укажите имеет ли она обратную или нет

1 .

2 .

x

2

y

9

1

3

0

1

-1

-2

x

1

y

2

3

5

4

7

7

3

3.

x

y

9

3

2

1

1

0

-1

-2

Установите соответствие между функцией f(x) и обратной к ней функцией g(x)

Для заданной функции найдите обратную функцию

На каждом из заданных промежутках найдите, если это возможно обратную

у

у

1

1

х

1

1

0

х

0

Построить график функции, обратной данной