"Неравенства с двумя переменными"

Рассмотрим неравенство (х – у)(х + 2у) 0.

Рассмотрим пару чисел (-3; -1) .

Пара чисел (-3; -1) является решением данного неравенства.

Рассмотрим пару чисел (5; 10) .

Пара чисел (5; 10) – не является решением неравенства.

• Неравенство с двумя переменными чаще всего имеет бесконечное множество решений.
• Решить неравенство с двумя переменными, значит найти все его решения или доказать, что решений нет.
• Для решения неравенств с двумя переменными используется графический метод ( знак неравенства строгий - график строится пунктирной линией , если не строгий – график строится сплошной линией ).

0. Решение . Построим график уравнения 2х + 3у = 0 . Графиком является прямая, проходящая через точки (0; 0) и (-6; 4). Так как неравенство строгое, координаты точек графика не являются его решением, поэтому прямую строим пунктирной линией. у 4 . 1 Прямая разбила плоскость на две полуплоскости. х 3 1 Все решения неравенства геометрически изображены точками одной из полуплоскостей. -6 Чтобы выбрать нужную полуплоскость, подставим координаты произвольной точки в исходное неравенство. Возмем точку (3; 1). Получаем: 2 · 3 + 3 · 1 0 – верно, значит все решения исходного неравенства геометрически изображены точками, расположенными в верхней полуплоскости." width="640"

№ 1. Решить неравенство 2х + 3у 0.

Решение .

Построим график уравнения 2х + 3у = 0 .

Графиком является прямая, проходящая через точки (0; 0) и (-6; 4).

Так как неравенство строгое, координаты точек графика не являются его решением, поэтому прямую строим пунктирной линией.

у

4

.

1

Прямая разбила плоскость на две полуплоскости.

х

3

1

Все решения неравенства геометрически изображены точками одной из полуплоскостей.

-6

Чтобы выбрать нужную полуплоскость, подставим координаты произвольной точки в исходное неравенство.

Возмем точку (3; 1).

Получаем: 2 · 3 + 3 · 1 0 – верно, значит все решения исходного неравенства геометрически изображены точками, расположенными в верхней полуплоскости.

0 Выделим полный квадрат в выражении левой части неравенства: ( х ² - 4х + 4 ) – 4 +( у ² + 6у + 9 ) – 9 – 12 = х ² - 4х + у ² + 6у – 12 = Запишем неравенство в виде : = (х – 2) ² + ( у + 3) ² - 25. (х – 2) ² + ( у + 3) ² 25. Построим график уравнения (х – 2) ² + ( у + 3) ² = 25. у А(2; -3) – точка внутренней области. х 2 Проверка: (2 – 2) ² + (-3 + 3) ² 25 – ложно, . -3 А(2; -3 ) Значит, геометрической моделью решения исходного равенства является внешняя область окружности." width="640"

№ 2. Решить неравенство

х ² - 4х + у ² + 6у – 12 0

Выделим полный квадрат в выражении левой части неравенства:

( х ² - 4х + 4 ) – 4 +( у ² + 6у + 9 ) – 9 – 12 =

х ² - 4х + у ² + 6у – 12 =

Запишем неравенство в виде :

= (х – 2) ² + ( у + 3) ² - 25.

(х – 2) ² + ( у + 3) ² 25.

Построим график уравнения (х – 2) ² + ( у + 3) ² = 25.

у

А(2; -3) – точка внутренней области.

х

2

Проверка: (2 – 2) ² + (-3 + 3) ² 25 – ложно,

.

-3

А(2; -3 )

Значит, геометрической моделью решения исходного равенства является внешняя область окружности.

№ 3. Решить неравенство

у ≥ х ² - 4х + 1

Построим график уравнения у = х ² - 4х + 1 или

у = (х – 2) ² - 3.

Решение.

Для проверки рассмотрим точку (2; 0).

у

0 ≥ 4 – 8 +1,

0 ≥ -3 – верно,

1

.

х

Значит, геометрической моделью решения исходного неравенства является «внутренняя» область, ограниченная параболой.

2

-3

Работа по учебнику

Стр. 124

№ 485 (а)

№ 486 (а, б)

№ 487 (а, в)

№ 495*

Домашнее задание

Стр. 124

№ 485 (б)

№ 486 (в, г)

№ 487 (б, г)