Неравенства с двумя переменными

Тема урока: Неравенства с двумя переменными.

Цель урока: Обучать учащихся решению неравенств с двумя переменными.

 Задачи урока: 

1. Ввести понятие неравенства с двумя переменными. Учить учащихся решению неравенств. Формировать навыки применения графического метода при  решении неравенств, умения показать решение на координатной плоскости.

2.Развивать мышление учащихся, развивать практические навыки учащихся.
 

3.Воспитывать у учащихся трудолюбие, самостоятельность, ответственное отношение к делу, инициативу и самостоятельность принятия решения.

Учебник/литература:  Алгебра 9, дидактические материалы.

Ход урока:

1. Организационный момент.
2. Проверка домашнего задания.  Ответить на вопросы учащихся, вызвать к доске 2 учащихся для проверки выполнения упражнения.
3. Актуализация знаний учащихся. Решаем задания на повторение. Решите неравенство: (3 – 4х)2 -  (8х – 1)(2х + 9) – 11  Постройте график функции: у = (х – 2)2;  у = 2х2 + 5х; у = х2 + 5.
4.   Изучение материала.  

1. Понятие неравенства с двумя переменными и его решения.

2. Линейное неравенство с двумя переменными.

Рассмотрим неравенства: 0,5х2 -2у+l<0 ; 4х - 5у > 20 -неравенство с двумя переменными.

Рассмотрим неравенство 0,5х2 -2у+l<0.

При х=1,  у=2. Получим верное неравенство 0,5 • 1 - 2 • 2 + 1 < 0.

Пару чисел (1; 2), в которой на первом месте — значение х, а на втором — значение у, называют решением неравенства 0,5х2 -2у+l<0.

Определение. Решением неравенства с двумя переменными называется пара значений этих переменных, обращающая данное неравенство в верное числовое неравенство.

Если каждое решение неравенства с двумя переменными изобразить точкой в координатной плоскости, то получится график этого неравенства. Он является некоторой фигурой. Говорят, что эта фигура задается или описывается неравенством.

Рассмотрим  линейные неравенства с двумя переменными.

Определение. Линейным неравенством с двумя  переменными называется неравенство вида ах + by < с или ах + bу > с, где х и у — переменные, а, b и с - некоторые числа.

Если в линейном неравенстве с двумя переменными знак неравенства заменить знаком равенства, то получится линейное уравнение. Графиком линейного уравнения ах + by = с, в котором а или b не равно нулю, является прямая линия. Она разбивает множество не принадлежащих ей точек координатной плоскости на две области, представляющие открытые полуплоскости.

На примерах рассмотрим, как изображается множество решений неравенства с двумя переменными на координатной плоскости.

Пример 1. Изобразим на координатной плоскости множество решений неравенства 2у+3х≤6.

Решение.

Строим прямую 2у+3х=6, у=3-1,5х

Прямая разбивает множество всех точек координатной плоскости на точки, расположенные ниже ее, и точки, расположенные выше ее. Возьмем из каждой области по контрольной точке: А(1;1), В(1;3).

Координаты точки А удовлетворяют данному неравенству 2у+3х≤6, 2·1+3·1≤6, 5≤6

Координаты точки В не удовлетворяют данному неравенству 2у+3х≤6, 2·3+3·1≤6.

Данному  неравенству удовлетворяет множество точек той области, где расположена точка А.  Заштрихуем эту область. Мы изобразили множество решений неравенства 2у+3х≤6.

Для изображения множества решений неравенства на координатной плоскости поступают следующим образом:

1. Строим график функции y = f(x), который разбивает плоскость на две области.

2. Выбираем любую из полученных областей и рассматриваем в ней произвольную точку. Проверяем выполнимость исходного неравенства для этой точки. Если в результате проверки получается верное числовое неравенство, то заключаем, что исходное неравенство выполняется во всей области, которой принадлежит выбранная точка. Таким образом, множеством решений неравенства – область, которой принадлежит выбранная точка. Если в результате проверки получается неверное числовое неравенство, то множеством решений неравенства будет вторая область, которой выбранная точка не принадлежит.

3. Если неравенство строгое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), не включают в множество решений и границу изображают пунктиром. Если неравенство нестрогое, то границы области, то есть точки графика функции y = f(x), включают в множество решений данного неравенства и границу в таком случае изображают сплошной линией.

Вывод:  - решением неравенства f(x,y)?0, [f(x,y)<0, f(x,y)≤0 f(x,y)≥0] называется упорядоченная пара чисел, которая превращает его в правильное числовое неравенство.

-графиком неравенства с двумя переменными х и у называется множество всех точек координатной плоскости с координатами (х, у), где каждая пара (х,у) является решением данного неравенства.

Существуют также нелинейные неравенства с двумя переменными. Вспомним некоторые графики.

V. Проверка понимания. Выполняем №103.

VI. Итоги урока.

VII. Домашнее задание. 6 примеры разобрать, выполнить №101, №104.