Многочлены от одной переменной

Многочлены

Многочлены от одной переменной

р(x) = a n x n + a n-1 x n-1 +…+ a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a o

- стандартный вид многочлена р(х)

a n x n – старший член многочлена р(х)

a n – коэффициент при старшем члене

n – степень многочлена

a о – свободный член многочлена р(х)

Если a n = 1 , то многочлен р(х) называется приведенным

Если a n ≠ 1 , то многочлен р(х) называется неприведенным

Деление многочленов

Говорят, что многочлен р(х) делится на многочлен s(x) , если существует такой многочлен q(x) , что выполняется тождество

р(x) = s(x)  q(x)

p(x) – делимое (или кратное)

s(x) – делитель

q(x) – частное

Деление многочленов

Пример 1

т. к. х 3 − 3х 2 + 5х − 15 = (х 2 + 5)(х − 3) , то многочлен х 3 − 3х 2 + 5х − 15 делится на многочлены х 2 + 5 и х − 3 .

делимое

делитель

х 2 + 5

х 3 − 3х 2 + 5х − 15

−

х 3 + 5х

х

− 3

− 3х 2 − 15

−

частное

− 3х 2 − 15

0

Деление многочленов с остатком

Для любых двух многочленов ненулевой степени р(х) и s(x) существует пара многочленов q(x) и r(x) такая, что степень многочлена r(x) меньше степени многочлена s(x) и выполняется тождество

р(x) = s(x) q(x) + r(х)

p(x) – делимое (или кратное)

s(x) – делитель

q(x) – неполное частное

r(x) – остаток

Деление многочленов с остатком

Пример 2

т. к. 2х 2 − х − 3 = 2х 2 − 4х + 3х − 6 + 3 =

= 2х(х − 2) + 3(х − 2) + 3 = (х − 2)(2х + 3) + 3 ,

то 2х 2 − х − 3 = (х − 2)(2х + 3) + 3

делитель

делимое

х − 2

2х 2 − х − 3

−

2х 2 − 4х

2х

+ 3

3х − 3

−

частное

3х − 6

остаток

3

Теорема Безу

Остаток от деления многочлена р(х) ненулевой степени на двучлен x − а равен р(а)

(т.е. значению многочлена р(x) при х = а )

р(x) = (x − а) q(x) + r

p(x) – делимое (или кратное)

x − а – делитель

q(x) – частное

r – остаток (число)

Деление многочленов с остатком

Пример 2

Найдем остаток от деления многочлена

р(х) = 2х 2 − х − 3 на двучлен х − 2 .

По теореме Безу: р(2) = 2  2 2 − 2 − 3 = 3

х − 2

2х 2 − х − 3

−

2х 2 − 4х

2х

+ 3

3х − 3

−

3х − 6

3

остаток

Следствие теоремы Безу

Определение

Если при х = а многочлен р(х) обращается в нуль, т.е. выполняется равенство р(а) = 0 , то число а называют корнем многочлена .

Следствие

Если число а является корнем многочлена р(х) , то р(х) делится на двучлен x − а .

Схема Горнера

Пусть р(x) = bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f . Разделим р(х) на x − а получим р(x) = (х − а )q(x) + r , где q(x) некоторый многочлен третьей степени q(x) = kx 3 + mx 2 + nx + s , коэффициенты которого вычисляются с помощью схемы Горнера :

k = b

m = ka + c

n = ma + d

s = na + e

r = sa + f

a

b

k = b

c

d

m = ka + c

n = ma + d

e

s = na + e

f

r = sa + f

Пример 3

Разделим р(x) = 2x 5 + x 4 − 3x 3 + 2x 2 + 5 на x + 2 .

Здесь a = − 2 ; Коэффициенты равны соответственно

2 , 1 , −3 , 2 , 0 , 5 .

Строим таблицу для применения схемы Горнера:

2

1

− 3

2

0

5

− 3  ( − 2)+( − 3)

3  ( − 2)+2

8  ( − 2)+5

− 4  ( − 2)+0

2  ( − 2)+1

2

− 2

− 3

− 4

3

− 11

2

8

Коэффициенты частного: 2 , − 3 , 3 , − 4 , 8 ,

а остаток r = − 11 .

Значит, 2x 5 + x 4 − 3x 3 + 2x 2 + 5 =

= (х + 2)(2x 4 − 3x 3 + 3x 2 − 4x + 8) − 11

остаток

Разложение многочлена на множители

1

Вынесение общего множителя за скобки

2

Способ группировки

3

Использование формул сокращенного умножения

4

Разложение квадратного трехчлена на множители

12

Вынесение общего множителя за скобки

Применяя распределительный закон умножения относительно сложения:

(a + b)c = ac + bc

В обратном порядке:

ac + bc = c(a + b)

Пример 4

8х 4 + 6х 3 − 4х 2 + 2х =

2х (4х 3 + 3х 2 − 2х + 1)

3x 3 (1 + 2х 3 − 9x)

3х 3 + 6х 6 − 27х 4 =

Способ группировки

Применяя переместительный или сочетательный законы сложения, можно группировать члены многочлена любым способом:

a + b = b + a

(a + b) + c = a + (b + c) = а + b + c

Пример 5

3(х 3 + 2х 2 − 9х − 18) =

3х 3 + 6х 2 − 27х − 54 =

= 3(х 2 (х + 2) − 9(х + 2)) =

3(х + 2)(х 2 − 9) =

= 3(х + 2)(х − 3)(х + 3)

Использование формул

сокращенного умножения

(a + b)(а − b) = a 2 − b 2 – разность квадратов

(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 – квадрат суммы

(a − b) 2 = a 2 − 2ab + b 2 – квадрат разности

(a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = а 3 + b 3 – сумма кубов

(a − b)(a 2 + ab + b 2 ) = а 3 − b 3 – разность кубов

(a − b) 3 = a 3 − 3ab 2 + 3a 2 b − b 3 – куб разности

(a + b) 3 = a 3 + 3ab 2 + 3a 2 b + b 3 – куб суммы

Пример 6

(х 3 ) 2 − 1 2 = (х 3 + 1)(х 3 − 1) =

х 6 − 1 =

= (х + 1)(х 2 − х + 1)(х − 1)(х 2 + х + 1)

Разложение квадратного трехчлена

на линейные множители

Если х 1 и х 2 – корни квадратного трехчлена

aх 2 + bх + с , то

aх 2 + bх + с = а (х − х 1 )(х − х 2 )

Пример 7

2х 2 − 3х − 5 =

2 (х + 1)(х − 2,5) =

(х + 1)(2х − 5)

Теорема

Пусть все коэффициенты многочлена р(х) – целые числа. Если целое число а является корнем многочлена р(х) , то а – делитель свободного члена многочлена р(х) .

Д о к а з а т е л ь с т в о проведем для случая, когда р(х) – многочлен третьей степени: р(х) = bх 3 + сх 2 + dx + т , где все коэффициенты b , с , d , т – целые числа. По условию, целое число а является корнем многочлена р(х) .

Это значит, что р(а) = 0 , т. е. bа з + ca 2 + da + m = 0 .

Преобразуем полученное равенство к виду т = а(– bа 2 – са – d) и обозначим целое число (– bа 2 – са – d) буквой k .

Тогда последнее равенство можно переписать в виде т = ak , а это и означает, что число а – делитель числа т , т. е. делитель свободного члена многочлена р(х) .

Аналогично проводится доказательство теоремы для случая, когда р(х) – многочлен четвертой, пятой и вообще n -й степени.

12

Пример 8

Разложить многочлен: х 3 − 3х 2 − 10х + 24

Будем искать корни среди делителей свободного коэффициента 24 : ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12; ± 24 .

р(1) = 12 ≠ 0 , р(−1) = 30 ≠ 0 , р(2) = 0 .

Значит х = 2 – корень многочлена р(х) . С помощью схемы Горнера найдем частное q(x) :

1

− 3

− 10

24

2

2  (−12)+24

2  1+(−3)

2  (−1)−10

1

− 1

− 12

1

0

х 3 − 3х 2 − 10х + 24 =

(х – 2)(х 2 − х − 12) =

= (х – 2)(х − 4)(х + 3)

Многочлены от нескольких переменных

х 2 – у 2 = (х – у)(х + у)

х 3 – у 3 = (х – у)(х 2 + ху + у 2 )

x 4 – у 4 = (x – y)(x 3 + x 2 у + xy 2 + у З )

x 5 – у 5 = (x – y)(х 4 + х з y + х 2 y 2 + хy 3 + y 4 )

…

x n – у n = (x – y)(х n−1 + х n−2 y + х n−3 y 2 + … +

+ х 2 y n−3 + xy n−2 + y n−1 )

Многочлены от нескольких переменных

х 3 + у 3 = (х + у)(х 2 – ху + у 2 )

x 5 + у 5 = (x + y)(х 4 – х 3 y + х 2 y 2 – хy 3 + y 4 )

…

x 2n+1 + у 2n+1 = (x + y)(х 2n – х 2n−1 y + х 2n−2 y 2 –

– х 2n−3 y 3 + … + x 2 y 2n−2 – xy 2n−1 + y 2n )

Многочлен Р(х; у) называют однородным многочленом п -ой степени, если сумма показателей степеней переменных в каждом члене многочлена равна п .

Если Р(х; у) однородный многочлен, то уравнение Р(х; у) = 0 называют однородным уравнением.

Уравнения высших степеней

Теорема. Если приведенное уравнение с целыми коэффициентами имеет рациональный корень, то этот корень обязательно является целым числом.

Пример 9

х 3 + 2х 2 – 7х – 12 = 0

Делители числа 12 : ± 1; ± 2; ± 3; ± 4; ± 6; ± 8; ± 12 . Пусть Р(х) = х 3 + 2х 2 – 7х – 12 , тогда

Р(1) = −16 , Р(−1) = −4 , Р(2) = −10 , Р(−2) = 2 , Р(3) = 12 , Р(−3) = 0 .

Значит х = −3 – корень многочлена Р(х) .