ТОНКМ тема урока: "Уравнение"

Теорема 1

Пусть уравнение f(x) = g(x) задано на множестве X и h(x) – выражение, определённое на том же множестве. Тогда 1) f(x) = g(x) и 2) f(x) + h(x) = g(x) + h(x), равносильны.

Если уравнения равносильны, то множества их решений совпадает.

Пусть Т₁ – множество решений уравнения (1), Т₂ – множество решений уравнения (2).

Докажем, что Т₁ = Т₂.

По определению «равных множеств», если Т₁ = Т₂, то следовательно Т₁Т₂ и Т₂Т_1.

Докажем, что Т₁Т_2.

Пусть а – корень уравнения (1), тогда при подстановке этого корня уравнение (1) обращается в истинное числовое равенство: f(а) = g(а); выражение h(x) – в числовое выражение h(а).

В соответствии со свойствами числовых равенств, можем прибавить к обеим частям этого равенства числовое выражение h(а), получим истинное числовое равенство f(а) + h(а) = g(а) + h(а), которое говорит о том, что а – корень уравнения (2), то есть Т₁Т_2.

Докажем, что Т₂Т_1.

Пусть в – корень уравнения (2), тогда при подстановке этого корня уравнение (2) обращается в истинное числовое равенство: f(в) + h(в) = g(в) + h(в).

В соответствии со свойствами числовых равенств, можем прибавить к обеим частям этого равенства числовое выражение -h(в), получим истинное числовое равенство f(в) = g(в), которое говорит о том, что в – корень уравнения (1), то есть Т₂Т_1.

По определению «равных множеств», если Т₁Т₂ и Т₂Т₁, то Т₁ = Т₂. Следовательно, уравнения (1) и (2) равносильны на множестве Х.

_.