Презентация Линейное программирование

« Если поручить двум людям, один из которых хорошо разбирается в математике, выполнение любой незнакомой им работы, то результат всегда будет следующим: знающий математику сделает ее лучше» .

Гуго Штейнгауз

(польский математик ,

1887 – 1972)

Линейное программирование – наука о методах исследования и отыскания экстремальных (наибольших и наименьших) значений линейной функции, на неизвестные которой наложены линейные ограничения .

Тема :

Графический способ решения

задач линейного

программирования

Цель:

Освоить алгоритм решения задач линейного программирования с применением графического метода

План занятия

• Повторение.
• Изучение нового материала.
• Практическая работа.
• Демонстрация решения задач ЛП с помощью ИКТ.
• Подведение итогов.

Математическая модель задачи -

Это система математических соотношений, приближенно, в абстрактной форме описывающих изучаемый процесс или систему .

Повторение

Экономико – математическая модель -

это математическая модель, предназначенная для исследования экономической проблемы

Повторение

Методы решения систем

линейных уравнений

• метод сложения
• метод подстановки

Повторение

Область допустимых решений задачи

- множество значений,которые может принимать переменная при заданных условиях

Повторение

Методы решения систем

линейных уравнений

• метод сложения
• метод подстановки

Повторение

Как построить прямую, заданную уравнением 2х+3у=12?

1 способ . Найти 2 точки прямой на оси х и на оси у соответственно и провести прямую

2 способ . Преобразовать к виду

- уравнение прямой в отрезках

отметить на оси х точку 6, на оси у – точку 4 и провести прямую

Повторение

Решение линейных неравенств с двумя переменными

Повторение

Решение линейных неравенств с двумя переменными

Повторение

Алгоритм решения задач ЛП графическим способом

• Составить математическую модель задачи
• Найти область допустимых решений системы ограничений задачи.
• Построить вектор С(c 1 ,c 2 ), который указывает направление целевой функции;
• Провести линию уровня L 0, которая перпендикулярна С.(или построить прямую целевой функции , проходящую через начало координат)

5. Линию уровня(или прямую целевой функции) перемещаем по направлению вектора С для задач на максимум и в направлении противоположном С, для задач на минимум, т.е находим точку выхода (или входа)этой прямой из ОДР.

6. Определить координаты этой точки, вычислить в них значение целевой функции .

Задача . Имеются 2 проекта на строительство жилых домов. Расход стройматериалов, их запас и полезная площадь дома каждого проекта приведены в таблице. Определите, сколько домов первого и второго проекта следует построить, чтобы полезная площадь была наибольшей ?

Стройматериалы

Расход стройматериалов (м 3 ) на один дом

1

Кирпич силикатный

Кирпич красный

Запас стройматериалов (м 3 )

2

12

4

Пиломатериалы

4

3000

4

3

Полезная площадь, м 2

1200

30

12

2520

40

Построить математическую модель задачи и решить ее

графическим методом .

Основные этапы составления математической модели задачи ЛП

1. Изучить условие задачи

2. Выбрать неизвестные - управляющие переменные

3. Исходя из цели экономических исследований, составить целевую функцию

4. Учитывая ограничения в использовании экономических показателей задачи и их количественные закономерности, записать систему ограничений.

Решение:

Обозначим через:

х – количество домов 1 вида , у – количество домов 2 вида

Математическая модель задачи:

Целевая функция:

Система ограничений задачи:

Решение задачи графическим способом

(2)

(1)

(3)

A

B

C

D

O

В(120;180). Наибольшая полезная площадь 10800 м 2

Исследование области

допустимых решений

системы ограничений задачи ЛП

Решить графически

систему:

ОДР: пустое множество

Решить графически систему:

ОДР: Открытое множество

Решить графически систему:

ОДР: многоугольник

Решить графически систему:

1 решение - точка

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

Цель работы :

Решить задачу линейного программирования

(найти оптимальное решение при заданных условиях).

 Резерв времени:

на выполнение практического задания – 8 минут

на представление результатов работы – 2 минуты

Задания

1. Ознакомиться с условием задачи .

2. Составить математическую модель задачи :

- целевую функцию;

- систему ограничений.

3. Изобразить область допустимых решений (ОДР) задачи .

4. Найти решение задачи.

- если решением задачи является точка пересечения двух прямых, проверить координаты этой точки решая систему уравнений, составленную из уравнений этих прямых.

5. Презентовать задачу.

P.S. При необходимости использовать опорные конспекты и справочный материал.

Задача для группы 1 . Строительная фирма может арендовать экскаваторы марок М1 и М2 для выполнения работ Р1, Р2 и Р3. Производительность экскаваторов при выполнении указанных работ ,общий объем работ, и стоимость аренды каждого экскаватора приведены в таблице.

Вид работ

Объем работ , га

Производительность экскаватора, м/ч

Р1

М1

70

Р2

М2

40

Р3

5

Стоимость аренды экскаватора,д.е.

2

2

160

1

2

7

6

4

Определите оптимальное количество экскаваторов, которое необходимо арендовать для выполнения всего комплекса работ при минимальных денежных затратах на аренду техники.

Решение задачи (гр .1)

A

B

C

(3)

(1)

(2)

B(10;20) Денежные затраты - 140 д.е.

Задача для гр №2. При производстве двух видов продукции используется 4 типа ресурсов. Норма затрат ресурсов на изготовление единицы продукции, общий объем каждого ресурса заданы в таблице:

Ресурсы

Норма затрат ресурсов на 1 изделие

1-го вида

1

2

Общее количество ресурсов

2-го вида

2

1

2

3

12

2

4

4

8

0

0

16

4

12

Прибыль от реализации одной единицы продукции 1-го вида составляет 2 д.е, 2-го вида – 3 д.е. Найдите количество продукции 1-го и 2- го вида, при котором прибыль от реализации будет максимальной .

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

Решение задачи (гр .2)

(3)

(1)

(2)

B

A

(4)

C

O

D

С(4;2) Макс.прибыль -14 д.е.

Задача для группы 3. Для производства двух видов сэндвич – панелей А и В фирма использует 3 вида сырья. Общее количество сырья и нормы расхода на каждый вид панелей указаны в таблице.

Вид сырья

Норма расхода сырья на одно изделие, кг

А

1

12

2

В

Общее количество сырья, в тоннах

4

4

3

300

4

3

Прибыль от реализации одного изделия,ден. ед.

120

30

12

252

40

Найти количество панелей А и В , при котором прибыль предприятия от реализации будет максимальной.

Проверка (задача для гр .3)

(1)

A

B

(3)

C

O

D

(2)

B(12;18) Прибыль: 1080 д.е.

Задача для группы 4 . Для изготовления шкафов и буфетов мебельная фабрика применяет древесину 4-ех видов, запасы которой ограничены и составляют соответственно 12, 16, 12 и 8 м 3 . Количество древесины для изготовления 1 шкафа и 1 буфета , запасы и доход от реализации каждого вида продукции даны в таблице.

Выпуск одной единицы веса удобрения А приносит доход 6 у.е., вида В – 4 у.е. Составить план производства, обеспечивающий фирме наибольший доход.

Ресурсы

Запасы, м 3

Расход, м 3

1

1 шкаф

12

2

1 буфет

20

3

-

0.4

0.4

12

4

8

-

0.2

Доход

0.2

0.1

0.2

2

3

Требуется найти количество шкафов и буфетов , который обеспечивает фабрике наибольший доход.

Проверка (задача для гр .4)

(4)

(3)

B

A

(1)

C

D

E

O

(2)

С(40;20) Стоимость -140 у.е.

Цель:

Освоить алгоритм решения задач линейного программирования с применением графического метода

stroiteli74.ru/raschet-kirpicha.html

1. Составить и решить профессионально–ориентированную задачу (по шаблону); данные для целевой функции предложить самостоятельно).

Ресурсы

Расход ресурсов, ед. измерения

1

1

а

2

Запас ресурсов

2

3

в

r

с

k

g

v

f

l

2. Найти максимум целевой функции при ограничениях:

Домашнее

задание

Материалы для выполнения домашнего задания

stroiteli74.ru/raschet-kirpicha.html

http://www.reshmat.ru /

[email protected]

Математическое выражение целевой функции и ее ограничений называется математической моделью экономической задачи

Линейная функция

Целевая функция

Ограничения

Система ограниче ний

Математическое выражение целевой функции и ее ограничений называется математической моделью задачи