Второй признак равенства треугольников

Конспект урока по геометрии для учащихся 7 класса средних общеобразовательных учреждений.

Тема урока: «Второй признак равенства треугольников».

Цель урока:

-образовательная – ввести теорему, выражающую второй признак равенства треугольников, научить учащихся решать задачи с использованием данной теоремы;

Задачи:

• ввести понятия теоремы и доказательства;

• рассмотреть второй признак равенства треугольников;

• доказать теорему о втором признаке равенства треугольников;

• рассмотреть задачи на применения второго признака равенства треугольников.

-развивающая – развитие внимания, памяти, речи, логического мышления, самостоятельности;

-воспитательная – воспитание дисциплины, аккуратности, чувства ответственности, уверенности в себе.

Тип урока: урок усвоения новых знаний

Методы обучения: дедуктивно-репродуктивный, дедуктивно-исследовательский.

Требования к знаниям, умениям, навыкам:

Учащиеся должны знать:формулировку теоремы о втором признаке равенства треугольников.

Учащиеся должны уметь: решать задачи на применение второго признака равенства треугольников.

Оборудование: презентация.

Литература:

1. Геометрия, 7–9: Учебник для общеобразоват. учреждений / [Л.С.Атанасян, В.Ф.Бутузов, С.Б.Кадомцев и др.] – 16-е изд. – М.: Просвещение, 2006. – 384 с.

2. Саранцев Г. И. «Методика обучения математике в средней школе: Учебное пособие для студентов мат. спец. педвузов и университетов» М.: Просвещение, 2002 – 224 с.

3. Поурочные разработки по геометрии /  Гаврилова Н.Ф., 2004 – 288 с.

План урока.

1) Организационный момент (2 мин.);

2) Актуализация знаний (7 мин.);

3) Изучение нового материала (10 мин.);

4) Первичное закрепление материала (23 мин.);

5) Подведение итогов урока и домашнее задание (3 мин.).

Ход урока.

1. Организационный момент

Приветствие учителем учащихся, проверка готовности класса к урокуи проверка отсутствующих.

1. Актуализация знаний.

Учитель: Тема нашего урока «Второй признак равенства треугольников» (слайд 1). Запишите в тетрадях: число, классная работа, тема урока.

Запись на доске и в тетрадях: Число.

Классная работа.

Второй признак равенства треугольников.

Учитель: Прежде чем начать изучение нового материала, давайте вспомним о равнобедренном треугольнике и о его свойства треугольника. Ответьте на мои вопросы.

Какой треугольник называется равнобедренным?

Ученик 1: треугольник называется равнобедренным, если две его стороны равны.

Учитель: как называются все стороны в равнобедренном треугольнике?

Ученик 2: равные стороны называются боковыми сторонами, а третья – основанием.

Учитель: какая нам известна теорема об углах в треугольнике?

Ученик 3: в равнобедренном треугольнике углы при основании равны.

Учитель: что называют биссектрисой треугольника?

Ученик 4: отрезок биссектрисы угла, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны.

Учитель : что называют медианой треугольника?

Ученик 5: отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Учитель: а что такое высота треугольника?

Ученик 6: перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону.

Учитель: а чем является биссектриса в равнобедренном треугольнике, проведенная к основанию треугольника?

Ученик 7: в равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является медианой и высотой.

Учитель: а какие еще утверждения справедливы, исходя из этой теоремы?

Ученик 8: высота равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является биссектрисой и медианой.

Ученик 9: медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, является высотой и биссектрисой.

1. Изучение нового материала

Учитель: а теперь переходим к изучению новой темы. Рассмотрим еще одну теорему о равенстве треугольников и докажем ее.

Теорема: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны. (слайд 2)

Запишите теорему в тетрадь со слайда.

Слайд 2: Теорема: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Запись в тетрадях:

Теорема: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Учитель: давайте докажем эту теорему.

Рассмотрим треугольники ABCи A₁B₁C₁, у которых AB = A₁B₁, А = А₁, =B₁(рис 1) .Докажем, что ∆ABC = ∆ A₁B₁C_1. (слайд 3)

Запишите это себе в тетради со слайда.

Слайд 3:

Дано: ∆ABC, ∆A₁B₁C₁, AB = A₁B₁, А = А₁, = B₁

Доказать, что ∆ABC = ∆ A₁B₁C₁

Рис.1

Запись в тетрадях:

Дано: ∆ABC, ∆A₁B₁C₁, AB = A₁B₁, А = А₁, = B₁

Доказать, что ∆ABC = ∆ A₁B₁C₁

С₁

А₁ В₁

Учитель: наложим треугольник АВС на треугольник A₁B₁C₁так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁, сторона АВ – с равной ей стороной А₁В₁, а вершины С и С₁ оказались по одну сторону от прямой А₁В₁.

Запись на доске:

Наложим ∆ АВС на ∆ A₁B₁C₁так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁, сторона АВ – с равной ей стороной А₁В₁, а вершины С и С₁ оказались по одну сторону от прямой А₁В₁.

Учитель:

Так какА = А₁ и =B₁ , то вы результате наложения какие еще стороны треугольника АВС совместятся с лучами треугольника A₁B₁C₁?

Ученик: сторона АС наложится на луч А₁С₁, а сторона ВС – на луч В₁С₁.

Запись на доске:

Так какА = А₁ и =B₁ , то сторона АС наложится на луч А₁С₁, а сторона ВС – на луч В₁С₁.

Учитель:а на какой вершине образуется общая точка у сторон треугольников после наложения?

Ученик:вершина Сстанет общей точкой сторон АС и ВС, так как окажется лежащей как на луче А₁С₁, так и на луче В₁С₁.

Запись на доске:

Вершина С – общая точка сторон АС и ВС – окажется лежащей как на луче А₁С₁, так и на луче В₁С₁.

Учитель:следовательно вершина С совместится с общей точкой этих лучей – вершиной С₁. Какие стороны совместятся при этом?

Ученик:совместятся стороны АС и А₁С₁, ВС и В₁С_1.

Запись на доске:

Вершина С, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей – вершиной С₁. Значит, совместятся стороны АС и А₁С₁, ВС и В₁С_1.

Учитель: Итак, треугольники АВС и A₁B₁C₁ полностью совместятся. Какой вывод из этого следует?

Ученик: треугольники АВС и A₁B₁C₁ равны.

Запись на доске:

Итак, ∆АВС и ∆A₁B₁C₁ полностью совместятся, следовательно, они равны. Теорема доказана.

Учитель: Верно. Теорема доказана. Запишите доказательство со слайда в тетради.

Запись в тетрадях:

Доказательство:

Наложим ∆АВС на ∆A₁B₁C₁так, чтобы вершина А совместилась с вершиной А₁, сторона АВ – с равной ей стороной А₁В₁, а вершины С и С₁ оказались по одну сторону от прямой А₁В₁.

Так какА = А₁ и =B₁ , то сторона АС наложится на луч А₁С₁, а сторона ВС – на луч В₁С₁. Поэтому вершина С – общая точка сторон АС и ВС – окажется лежащей как на луче А₁С₁, так и на луче В₁С₁ и, следовательно, совместится с общей точкой этих лучей – вершиной С₁. Значит, совместятся стороны АС и А₁С₁, ВС и В₁С_1.

Итак, ∆АВС и ∆A₁B₁C₁ полностью совместятся, следовательно, они равны. Теорема доказана.

Учитель: Доказанная теорема выражает признак (равенство у треугольников стороны и прилежащих к ней углов, по которому можно сделать вывод о равенстве треугольников. Он называется вторым признаком равенства треугольников. (слайд 4)

Слад 4:

Доказанная теорема выражает признак (равенство у треугольников стороны и прилежащих к ней углов, по которому можно сделать вывод о равенстве треугольников. Он называется вторым признаком равенства треугольников.

Запись в тетрадях:

Доказанная теорема выражает признак (равенство у треугольников стороны и прилежащих к ней углов, по которому можно сделать вывод о равенстве треугольников. Он называется вторым признаком равенства треугольников.

1. Первичное закрепление материала

Учитель: а теперь мы с вами разберем несколько номеров, чтобы закрепить рассмотренный признак равенства треугольников.

К доске вызывается ученик.

Слайд 5:

Задача 1.

Дано: а) 1 = 2 , 3 = 4

б) 1 = 2 , 3 = 4, СD = 26 см, AD = 15см

а) Доказать, что ∆АВС = ∆СDA

б) Найти: АВ и ВС

Запись на доске и тетрадях:

Задача 1.

Дано: а) 1 = 2 , 3 = 4

б) 1 = 2 , 3 = 4, СD = 26 см, AD = 15см

а) Доказать, что ∆АВС = ∆СDA

б) Найти: АВ и ВС

Решение

а) доказательство

Ученик: треугольник АВС равен треугольнику CDA, так как 1 = 2 , 3 = 4 – по условию, сторона АС – общая, следовательно, выполняется второй признак равенства треугольников.

Запись на доске и в тетрадях:

а) доказательство

∆АВС = ∆СDA, так как 1 = 2 , 3 = 4 – по условию, сторона АС – общая, следовательно, выполняется второй признак равенства треугольников.

б)

Ученик: так как, ∆АВС = ∆СDA, то стороны этих треугольников совпадают.

1 = 2 , 3 = 4 следовательно, сторона АВ треугольника АВС равна сторонеCD треугольника CDA, а сторона ВС равна стороне AD. СD = 26, AD = 15 – по условию, следовательно АВ = CD = 26 (см) , BC = AD = 15 (см).

Запись на доске и в тетрадях:

б) Так как, ∆АВС = ∆СDA, 1 = 2 , 3 = 4 , то АВ = CD, BC = AD.

СD = 26, AD = 15 – по условию, следовательно АВ = CD = 26 (см) , BC = AD = 15 (см).

Ответ: 26 см, 15 см.

Учитель: разберем еще одну задачу. (вызывается к доске ученик)

Слайд 6:

Задача 2. На рисунке DAB = CBA, CAB= DAB, AC = 13. Найдите BD.

Запись на доске

Задача 2.

D

С

13

O

А

А В

Дано: DAB = CBA, CAB= DBА, AC = 13

Найти: BD.

Решение.

Учитель: внимательно посмотрите на рисунок, что нам известно и что нужно найти. И давайте рассмотрим треугольник АОВ. Что на в нем известно?

Ученик: в треугольнике АОВ DAB = CBA.

Учитель:какой вывод из этого можно сделать?

Ученик: треугольник АОВ, равнобедренный, следовательно, его боковые стороны равны.

Запись на доске:

1. В ∆АОВ: DAB = CBA – по условию, значит ∆АОВ – равнобедренный, следовательно, АО = ОВ.

Учитель: а теперь давайте посмотрим на углы САО и DBO. Что мы про них можем сказать?

Ученик:CAB= DBА, DAB = CBA, но CAB = DAB + САО, DBА = CBA + DBO, следовательно угол САО равен углу DBO.

Запись на доске:

1. CAB= DBА, DAB = CBA, но CAB = DAB + САО, DBА = CBA + DBO, следовательно САО = DBO.

Учитель: а теперь возьмем треугольники DBOи САО и посмотрим что у них общего.

Ученик: в этих треугольниках углы САО и DBO равны, углы ВОDи COA также равны как накрест лежащие, и стороны ОВ и ОА равны, как боковые стороны равнобедренного треугольника АОВ. Следовательно, по второму признаку равенства треугольников, треугольник DOB равен треугольнику COA. Тогда стороны DBи АС также равны, следовательно, DB = AC = 13.

Запись на доске:

1. ∆DBO= ∆CAO (по второму признаку равенства треугольников), так как:

• САО = DBO

• DOB = COA – как накрест лежащие

• ОА = ОВ – как боковые стороны равнобедренного треугольника АОВ.

Откуда, АС = BD = 13

Ответ: 13.

Запись в тетрадях:

Задача 2.

Дано: DAB = CBA, CAB= DBА, AC = 13

Найти: BD.

Решение.

1. В ∆АОВ: DAB = CBA – по условию, значит ∆АОВ – равнобедренный, следовательно, АО = ОВ.

2. CAB= DBА, DAB = CBA, но CAB = DAB + САО, DBА = CBA + DBO, следовательно САО = DBO.

3. ∆DBO = ∆CAO (по второму признаку равенства треугольников), так как:

• САО = DBO

• DOB = COA – как накрест лежащие

• ОА = ОВ – как боковые стороны равнобедренного треугольника АОВ.

Откуда, АС = BD = 13

Ответ: 13.

1. Подведение итогов урока и домашнее задание.

Учитель: сегодня на уроке мы познакомились с теоремой, которая выражает второй признак равенства треугольников, доказали ее и научились решать задачи, используя этот признак. Итак, как же звучит эта теорема?

Ученик: если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Учитель: а как еще можно назвать эту теорему?

Ученик: теорема о равенстве треугольников по стороне и прилежащим к ней углам.

Учитель: на этом мы урок заканчиваем, запишите задание на дом. § 19, № 132, 133. (слайд 7)

Запись на доске и в тетрадях:

Д/з: § 19, № 132, 133

Учитель: если есть ко мне какие-то вопросы, задавайте.

Выставляются оценки.

Учитель: урок окончен. До свидания.