Разработка содержит задания: головоломки со спичками, числовые ребусы, логические задачи. Имеются ответы.
Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей
Внеурочное занятие по математике "Математические фокусы, головоломки".
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.
Просмотр содержимого документа
«Внеурочное занятие по математике "Математические фокусы, головоломки".»
Маршрутный лист
Занятие -2-3
Тема: Математические фокусы, головоломки.
1. ГОЛОВОЛОМКИ СО СПИЧКАМИ
Используя 12 спичек, соберите 6 одинаковых квадратов.
Используя 8 спичек, соберите квадрат и четыре треугольника.
Используя 9 спичек, соберите 7 одинаковых треугольников.
а) Найдите 2 способа переложить 1 спичку так, чтобы получилось правильное равенство (рис 1)
б) Измените положение 2 спичек, и неверное равенство станет верным (рис 2)
в) Добейтесь верного равенства, используя 1 дополнительную спичку (рис 3)
5) С помощью кусочков пластилина соорудили модель пирамиды из шести спичек одинаковой длины (рис 4) и заметили, что в этой конструкции содержится 4 равных равносторонних треугольника.
А нельзя ли выложить из тех же 6 спичек 4 равносторонних треугольника, расположенных в одной плоскости?
6) Передвинув 2 спички и добавив ещё 1, получите из правильного шестиугольника 2 ромба (рис 5)
IX+VI=XI VI+X=III 5+5+5=550
рис 1 рис 2 рис 3
рис 4 рис 5
5
РЕШЕНИЕ
Из 12 спичек построим куб, его грани-6 одинаковых квадратов.
Построим пирамиду с квадратом в основании. Боковые грани-4 треугольника.
Из 9 спичек построим две треугольные пирамиды с общим основанием, образуется 7 одинаковых треугольников.
См. рис. 6, 7, 8.
См. рис. 9.
См. рис. 10.
рис. 6 рис. 7 рис. 8
IX+VT=XVII=X-III 545+5=550
X+VT=XI
рис. 9 рис. 10
6 Математические фокусы и головоломки
ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ НОЖНИЦ
Задача 1.
Квадрат и чётность.
Квадрат разрезан на прямоугольники так, что никакая точка квадрата не является вершиной сразу четырёх прямоугольников. Докажите, что число точек квадрата, являющихся вершинами прямоугольников, четно.
Задача 2.
Сложите треугольник.
Три одинаковых треугольника разрезаны по разноимённым медианам. Сложите из шести полученных кусков один треугольник.
Задача 3.
Квадрат в квадрате.
Квадрат разбит на 5 прямоугольников так, как изображено на рис. 1 Известно, что площади прямоугольников, прилегающих к границе центрального прямоугольника, равны. Докажите, что центральный прямоугольник - квадрат.
рис. 1 рис. 2
7
РЕШЕНИЕ.
Задача 1.
Пусть всего прямоугольников n, а число вершин (не совпадающих с вершинами квадрата) – k. Тогда число углов прямоугольников равно 4n = 2k + 4 (т.к. в каждой вершине сходятся 2 угла). Поэтому k = 2n – 2, значит число точек квадрата, являющихся вершинами прямоугольников, чётно∎.
Задача 2.
Решение к задаче №2 представлено на рис. 2. Вам не трудно будет его обосновать.
Задача 3.
Пусть x1 х2, тогда у12. Так как х2у1 = х3у2, то мы получаем, что х2 х3. Но тогда у23. Из равенства х4у3 = х3у2опять получаем х3 х4, тогда у3 4. Снова, поскольку х1у4 = х4у3, получаем х4 х1, но это противоречит цепочке неравенств х1x2x3x4. Отсюда следует, что х1 = х2и х2 = х3 = х4, а это означает, что центральный прямоугольник – квадрат.
8 Математические фокусы и головоломки
ЧИСЛОВЫЕ РЕБУСЫ
Ребус – это загадка, в которой искомое слово или число изображено комбинацией фигур, букв и знаков.
Числовые ребусы с точками или звёздочками, за которыми скрываются произвольные цифры.
Числовые выражения, в которых цифры, участвующие в записи числового выражения, заменяются буквами, причём разные буквы соответствуют разным цифрам.
Пример 1. 249
× ***
***
+**8
2**__
****7
Пример 2.
КТО
+КОТ
ТОК
9
РЕШЕНИЕ.
Пример 1:
последняя цифра в третьей строке 7, т.к. она просто сносится в результат;
последняя цифра во втором множителе 3, т.к. только при умножении 9×3 получится последняя цифра 7;
теперь можно восстановить всю третью строчку 747;
находим предпоследнюю цифру произведения 2;
цифра 8 в четвёртой строке получается только при умножении 9×2, значит вторая цифра второго множителя 2;
теперь легко находим всю четвёртую строчку 498;
наконец, очевидно, что первая цифра второго множителя 1, и получаем окончательное решение: 248×123=30627.
Пример 2:
очевидно, что ни одна из букв не может равняться 0;
К
из анализа второго столбика следует, что Т=9;
но тогда К=4 и О=5;
получаем результат 495+459=954.
Такие рассуждения можно применять к подобным задачам. Математические ребусы – очень увлекательное и интересное занятие, которое поможет развить мышление.
10 Математические фокусы и головоломки
ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДаЧИ
Переправа
Ряд логических задач предусматривает переправу через реку с одного берега на другой. При этом обычно трудности переправы связаны с недостатком плавательных средств (одна лодка) и с количеством и особенностями пассажиров.
Задача № 1. Десять солдат подошло к левому берегу реки, и им всем нужно переправиться на другой берег. У берега в челноке плавали два подростка. Других плавательных средств не было. Челнок может выдержать на воде двух подростков или одного взрослого человека.
Как организовать переправу солдат на правый берег, и за сколько рейсов это можно сделать?
Задача №2. Как перевезти в лодке с одного берега на другой волка, козла и капусту, если известно, что волка нельзя оставить без присмотра с козлом, а козёл «неравнодушен» к капусте. В лодке только два места, поэтому можно брать с собой одновременно или одно животное, или капусту.
11
РЕШЕНИЕ
Задача № 1. Посчитаем количество рейсов с берега на берег для переправы одного солдата.
Первый рейс. Подростки вдвоём на челноке переправляются на правый берег.
Один из подростков остаётся на правом берегу, а второй подросток на челноке возвращается на левый берег.
Второй рейс. На левом берегу подросток покидает челн, передав его одному из солдат. Солдат переправляется на правый берег и передаёт челн второму подростку.
Второй подросток переправляется на левый берег. Таким образом, для переправы одного солдата потребовалось два рейса. Значит, для переправы десяти солдат потребуется двадцать рейсов.
Задача №2. Опишем организацию перевозки с левого берега направый волка, козла и капусты, при которой без присмотра не будут оставаться одновременно волк с козлом или козёл с капустой.
В первом рейсе перевозчик берёт с собой козла, оставляя на левом берегу волка и капусту.
Переехав на правый берег, перевозчик оставляет там козла и возвращается на левый берег.
Во втором рейсе перевозчик берёт с собой волка, оставляя на левом берегу капусту. Переехав на правый берег, перевозчик оставляет там волка, забирает с собой козла и возвращается с ним на левый берег.
В третьем рейсе перевозчик берёт с собой капусту, оставляя на левом берегу козла. Переехав на правый берег, оставляет там капусту (с волком) и возвращается на левый берег.
И, наконец, в четвёртом рейсе он перевозит с левого берега направый козла.
Такие рассуждения можно применять к подобным задачам. Вам могут помочь рисунки, на которых всё будет наглядно видно.
12 Математические фокусы и головоломки
Сообрази и посчитай
Сюда отнесены логические задачи, в которых приходится найти цепочку логических рассуждений, позволяющих в итоге с помощью простых арифметических вычислений дать ответы на вопросы.
Задача №1.Собрался Иван-царевич на бой со Змеем Горынычем, трёхглавым и трёххвостым.
«Вот тебе меч-кладенец – говорит ему Баба Яга. – Одним ударом ты можешь срубить либо одну голову, либо две головы, либо один хвост, либо два хвоста. Но запомни: срубишь один хвост – два вырастут, срубишь два хвоста – голова вырастет, срубишь голову – голова вырастет, срубишь две головы – ничего не вырастет».
За сколько ударов Иван-царевич может срубить Змею все головы и хвосты?
Подсказка: Хвосты можно рубить пополам
Задача №2.На соревнованиях по стрельбе Алёша девять раз выстрелил по стандартной мишени (рис. 1) и выбил 76 очков.
Сколько было попаданий в «пятёрку» и «семёрку», если «девяток» было четыре, а других попаданий и промахов не было?
13
РЕШЕНИЕ
Задача №1. Так как, по условию задачи, только рубка двух голов Змея одновременно приводит к их полной ликвидации, то перед полной ликвидацией Змея необходимо добиться, чтобы у него оставалось только чётное число голов. Поскольку Змей имеет три головы, то следует рубить ему хвосты так, чтобы это привело к получению ещё трех голов. В связи с этим Иван-царевич может поступать следующим образом:
Первыми тремя ударами Иван-царевич рубит каждый хвост пополам, и тогда у змея будет шесть хвостов.
Следующими тремя ударами Иван-царевич рубит хвосты Змея попарно и в результате получает к имеющимся трём ещё три головы.
Наконец, последними тремя ударами Иван-царевич рубит попарно шесть голов Змея, и тот побеждён девятью ударами.
Задача 2.Обозначим число попаданий в «5» через х, а в «7» - черезу. Тогда из условия задачи следует равенство: 5 × х + 7 × у + 40 = 76. Из этого равенство переходим к уравнению с двумя неизвестными: 5х + 7у = 36. Так как последнее уравнение необходимо решить в целых положительных числах, то для этого, очевидно, достаточно перебрать целые значения х от 1 до 8, выясняя каждый раз, будет ли при этом целым числом значение у.
Нетрудно показать, что уравнение имеет в целых числах единственное решение:
х = 3, у = 3.
14 Математические фокусы и головоломки
Задачи о лгунах
Задачи такого типа определяются по принципу: имеется одно, два или три множества людей. Представители одного из множеств говорят только правду, представители другого – ложь, а представители третьего множества могут говорить как правду, так и ложь.
Задача №1.Три ученика различных школ города Нижнего Новгорода приехали на отдых в один летний лагерь.
На вопрос вожатого, в каких школах Н. Новгорода они учатся, каждый дал ответ:
Петя: «Я учусь в школе №24, а Лёня – в школе №8».
Лёня: «Я учусь в школе №24, а Петя – в школе №30».
Коля: «Я учусь в школе №24, а Петя – в школе №8».
Вожатый, удивлённый противоречиями в ответах ребят, попросил их объяснить, где правда, а где ложь.
Тогда ребята признались, что в ответах каждого из них одно утверждение верно, а другое – ложно.
В какой школе учится каждый из мальчиков?
Задача №2.На острове живут два племени:аборигены и пришельцы.Аборигены всегда говорят правду,а пришельцы всегда врут.Путешественник,приехавший на остров,нанял жителя острова в проводники.Они пошли и увидели другого жителя острова.Путешественник послал проводника узнать,к какому племени принадлежит этот туземец.Проводник вернулся и сказал, что туземец говорит,что он абориген.
Кем был проводник пришельцем или аборигеном?
15
РЕШЕНИЕ.
Задача №1. Предположим, что верно первое утверждение Пети: «Петя учится в школе №24». Тогда, очевидно, будут ложными второе утверждение Пети и первые утверждения Лёни и Коли. Но при этом истинными оказываются утверждения Лёни и Коли: «Петя учится в школе №30» и «Петя учится в школе №8»
В результате исходного предположения мы пришли к противоречию: Петя оказался учеником трёх школ. Значит, наше предположение об истинности первого утверждения неверно.
Предположим, теперь, что верно второе утверждение Пети: «Лёня учится в школе №8». Тогда, очевидно, ложны первые утверждения Пети и Лёни и второе утверждение Коли. Но при этом оказывается истинным второе утверждение Лёни и первое утверждение Коли, которые не дают противоречия. Значит, Лёня учится в школе №8, Петя – в школе №30, а Коля – в школе №24.
Задача №2.Чтобы выяснить, к какому племени принадлежит проводник (к пришельцам или аборигенам), нужно установить, каков ответ мог дать проводнику встречный житель острова.
Легко видеть, что ответ встречного жителя мог быть только один: «Я – абориген». Этот ответ является правдой для аборигена и ложью для пришельца. Следовательно, проводник сказал путешественнику правду, и поэтому он принадлежит к племени аборигенов.
15 Математические фокусы и головоломки
ЛАБИРИНТЫ
Попробуйте выйти /дойти до центра в лабиринтах.
Определённого решения у нас не дано.
Подсказка: Попробуйте начать лабиринт с конца/середины
18 Математические фокусы и головоломки
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………………………….3
ГОЛОВОЛОМКИ СО СПИЧКАМИ……………………………………………….4
РЕШЕНИЕ…………………………………………………………………………………5
ЗАДАЧИ ПО ГЕОМЕТРИИ НОЖНИЦ…………………………………………6
РЕШЕНИЕ…………………………………………………………………………………7
ЧИСЛОВЫЕ РЕБУСЫ…………………………………………………………………8
РЕШЕНИЕ…………………………………………………………………………………9
ЛОГИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ. Переправа………………………………………….10
РЕШЕНИЕ……………………………………………11
Сообрази и посчитай…………………………12
РЕШЕНИЕ……………………………………………13
Задачи о лгунах………………………………….14
РЕШЕНИЕ……………………………………………15
ЛАБИРИНТЫ……………………………………………………………………………16
ИСТОЧНИКИ…………………………………………………………………………….17
19
Для заметок:
20
Для заметок:
Полезное для учителя
Распродажа видеоуроков!
2110 руб.
2640 руб.
1660 руб.
2070 руб.
1920 руб.
2400 руб.
1900 руб.
2380 руб.
Курсы ПК и ППК для учителей!
1000 руб.
4000 руб.
1000 руб.
4000 руб.
1000 руб.
4000 руб.
1000 руб.
4000 руб.
ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО
* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт
Удобный поиск материалов для учителей
Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства