"Векторы"

Тема: «Понятие вектора. Модуль и направление вектора. Равные вектора».

Цель: - ввести определение вектора, нулевого вектора, длины вектора, коллинеарных векторов, равных векторов, сонаправленных и противоположно направленных векторов,

- развитие навыков выполнения рисунков; правильности обозначения векторов;

- воспитывать внимательность и аккуратность при обозначении и построении

векторов, взаимопомощь при изучении темы.

Ход урок:

1. Организационный момент

«Образование – это не количество прослушанных уроков, а количество понятых. Так что, если хотите идти вперед, то поспешайте медленно и будьте внимательны»

2. Мотивация урока.

Мой первый слог - почтенный срок,

Коль прожит он недаром;

Модель второго на столе,

Румяна, с пылу с жару. (Век-тор)

Группа туристов вышла в трехдневный поход. На туристической базе было известно, что за день группа проходит 30 км. На следующий день группа связалась по рации с турбазой и только успела передать, что один из туристов повредил ногу и не может двигаться дальше, как связь прервалась. Что предпринять руководителю туристической базы? Что необходимо знать, чтобы как можно скорее прийти на помощь группе?

Спасибо за ваши предложения. Сегодня мы узнаем ответы на этот и многие другие вопросы, связанные с определением положения тела в произвольный момент времени. Мы ближе познакомимся с понятием вектора, перемещения, научимся изображать векторы, определять их направление.

3. Актуализация опорных знаний.

Приведите примеры:

-скалярные величины (имеют числовое значение): масса, площадь, длина, объём, время, температура.

- векторные величины (имеют числовое значение и направление): сила, перемещение, скорость, ускорение, вес.

4. Изучение нового материала.

Многие величины полностью характеризуются своими численными: длина, площадь, температура, цена. Их называют скалярными величинами или скалярами. Но есть и такие величины, которые характеризуются не только своим численным значением, но и направлением: сила, скорость, перемещение. Например, мало знать, что скорость поезда равна 50 км/ ч. Надо знать еще в каком направлении движется этот поезд. Указать направление можно, например, стрелкой.

Так, поезд движется со скоростью 50 км/ч из пункта А в пункт В. Величины, которые характеризуются не только своими числовыми значениями, но направлением, называются векторными величинами или векторами.

Из курса физики вам знакомы такие величины.

Пусть на тело действует сила 8 Н. Надо еще знать, в каком направлении действует сила.

Стрелка показывает направление силы, а длина отрезка соответствует в выбранном масштабе числовому значению силы.

Рассмотрим отрезок произвольной величины. Его концы – граничные точки отрезка. На данном отрезке можно отметить 2 направления.

Чтобы выбрать одно из направлений, одну граничную точку отрезка назовем началом, другую – концом. Теперь будем считать, что отрезок направлен от начала к концу.

Отрезок, для которого обозначены начало и конец, называется направленным отрезком или вектором.

На рисунке вектор обозначается отрезком со стрелкой, показывающей направление вектора. Обозначается вектор двумя заглавными латинскими буквами со стрелкой над ними, например , где А – начало вектора, В – конец вектора.

Вектор – направленный отрезок.

,

А – начало вектора

В В – конец вектора

А

Задание 1: Назовите векторы, изображенные на рис.85, 86.

Задание 2: (№406) Отметьте три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. навертите векторы АВ, ВС и АС.

Также любая точка плоскости – вектор. В данном случае вектор называется нулевым, т.е начало вектора совпадает с его концом. Обозначается такой вектор двумя одинаковыми заглавными латинскими буквами - или .

Длиной или модулем ненулевого вектора называется длина отрезка АВ. Длина вектора обозначается (). Длина нулевого вектора считается равной нулю: =0.

Коллинеарные векторы – это ненулевые векторы, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой: | | .

а) сонаправленные векторы.

 .

б) противоположно направлены.

 .

Т.к. у нулевого вектора начало и конец совпадают, поэтому определенного направления он не имеет.

Задание 3: По рис. 87-90 назвать виды векторов.

Ненулевые векторы называются равными, если их модули равны и они сонаправлены. Любые два нулевых вектора равны.

=

Задание 4: (№417) (Работа в парах) По рис. 97 назвать виды векторов.

Пусть дана точка А и А – начало вектора . Тогда вектор отложен от точки А.

От любой точки М можно отложить вектор, равный данному вектору , и притом только один.

5. Историческая справка.

Как институт без ректора,

Так геометрия без вектора!

Теория векторов развивалась в XIX в. параллельно с теорией систем линейных уравнений. Направленные отрезки использовал Арган (J.R. Argand, 1768–1822) в работе "Опыт некоторого представления мнимых величин … ", опубликованной в 1806 году. Эти отрезки Арган обозначал символами →a, →b и т.п. Мëбиус обозначал отрезок с началом в точке A и концом в точке B символом AB . Он считается одним из основателей теории векторов. Термин "вектор" ввел Гамильтон приблизительно в 1845 году. Он же определил скалярное и векторное произведения векторов в 1853 году.

6. Закрепление знаний.

Графически: № 407, 409, 411.

У доски: № 415, 418.

7. Самостоятельная работа учащихся.

Решить в парах № 419.

Задание на повторение: (из курса «Геометрия 7 класс»)

Фронтальный опрос «Дальше, дальше…». Класс разбит на 3 команды. За каждый верный ответ-жетон.

• Что такое геометрия?

• Что такое планиметрия?

• Приведите примеры плоских и неплоских фигур.

• Опишите понятие точка.

• Опишите понятие прямая.

• Опишите понятие плоскость.

• Что означает запись А, В?

• Сформулируйте основное свойство расположения точки на прямой.

• Что такое луч?

• Как обозначается луч?

• Какие лучи называются дополнительными?

• Что такое отрезок?

• Что такое концы отрезка?

• В каких единицах измеряется отрезок?

• Сформулируйте основное свойство измерения отрезков.

• Что такое середина отрезка?

• Что такое расстояние между двумя точками?

• какая фигура называется углом?

• Как обозначаются углы?

• В каких единицах измеряются углы?

• Какой угол называется острым?

• Какой угол называется прямым?

• Какой угол называется тупым?

• Какой угол называется развернутым?

• Сформулируйте основное свойство измерения углов.

• Что такое биссектриса угла?

• Какие углы называются равными?

8.Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Выучить п. 12, вопросы с.112-113.

Решить: на 7 баллов- № 408, 410, на 9 баллов- № 408, 410, 412, на 12 баллов- № 408, 410,

412, 416, 420.

Сообщение « Из истории векторов».

• Что ты понял сегодня на уроке?

• Чего ты сегодня не понял на уроке?

• При выполнении каких заданий ты ошибся и почему?

• Укажи причины успехов и неудач своей деятельности.

• Что вам дало изучение понятия вектор?

• Каков смысл сегодняшнего урока?

Мировая наука начиналась с геометрии. Человек не может по настоящему развиваться культурно и духовно, если он не изучал в школе геометрию. Геометрия возникла не только из практических, но и духовных потребностей человека.

Тема: «Равные вектора».

Цель: - закрепить понятие вектора; коллинеарных, сонаправленных, равных векторов;

отработать навыки применения понятия вектор при решении задач.

- развитие умений выделять главное, сравнивать, обобщать, делать выводы, критически относиться к получаемой информации, аргументировать собственное высказывание;

- создание условий для формирования ответственного отношения к учебному

труду, умения работать в паре, микрогруппе.

Ход урок:

1. Организационный момент

Мудр не тот, кто знает много, а тот, чьи знания полезны.

Эсхил

Ребята, послушайте, какая тишина!

Это в школе начались уроки.

Мы не будем тратить время зря,

И приступим все к работе.

Мы сюда пришли учиться,

Не лениться, а трудиться.

Работаем старательно,

Слушаем внимательно.

Проверка готовности к уроку.

2. Мотивация урока.

Девизом нашего урока является высказывание: “Есть в математике нечто, вызывающее человеческий восторг”, так как на уроках геометрии очень важно уметь, смотреть и видеть, замечать и отмечать различные особенности геометрических фигур. Даю “установку”: Развивать и тренировать свое геометрическое зрение.

Кто ничего не замечает,

Тот ничего не изучает.

Кто ничего не изучает,

Тот вечно хнычет и скучает.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.(сверка с доской №420)

Фронтальный опрос:

-Что такое вектор?

- Как он изображается на рисунках?

- Какой вектор называется нулевым?

- Что такое длина вектора?

- Какие векторы называются коллинеарными?

- Сонаправленными?

- Противоположно направленными?

- Какие векторы называются равными?

? Какие из следующих величин являются векторными: скорость, масса, сила, время, температура, длина, площадь, работа? Докажите это.

Задание 1. Назовите векторы, укажите их начало и конец.

Задание 2.( обсуждение в парах) Укажите:

а) коллинеарные;

б) сонаправленные;

в) противоположно направленные;

г) равные;

д) равные по модулю;

4. Решение упражнений по теме «Понятие вектора. Модуль и направление вектора. Равные вектора».

решить устно: № 421( в группах),423,

решение у доски: 424, 425, 426,

6. Физминутка для глаз.

-Не поворачивая головы, обведите взглядом стену класса по периметру по часовой стрелке, классную доску по периметру против часовой стрелки, треугольник, изображенный на стенде по часовой стрелке и равный ему треугольник против часовой стрелки. Поверните голову налево и посмотрите на линию горизонта, а теперь на кончик своего носа. Закройте глаза, сосчитайте до 5, откройте глаза и …

Мы ладонь к глазам приставим,
Ноги крепкие расставим.
Поворачиваясь вправо,
Оглядимся величаво.
И налево надо тоже
Поглядеть из под ладошек.
И – направо! И еще
Через левое плечо!
а теперь продолжим работу.

7. Самостоятельная работа учащихся.

Работа в парах. Решить № 430.

Задание на повторение: (из курса «Геометрия 7 класс»)

1)Назовите пары смежных углов и вертикальных углов:

B

С

О

D

А

С

B

О

А

2) Найти величины остальных углов.

8.Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Повторить п.12. Решить на 8 баллов- № 424, 427, на 12 баллов- № 424, 427, 431, 433.

Что вы узнали нового? На уроке:

• вы рассматривали …

• вы анализировали …

• вы получили …

• вы сделали вывод …

• вы пополнили словарный запас следующими терминами …

Тема урока: «Координаты вектора»

Цель урока:

1. обучающая: ввести понятие координат вектора, координат равных векторов, координат противоположных векторов; формирование навыков решения простейших задач методом координат;

2. развивающая: развитие мыслительных операций (анализ, синтез, сравнение);

3. воспитательная: развивать у учащихся культуру речи, аккуратность ведения записей.

Ход урок:

1. Организационный момент

Ребята, послушайте, какая тишина!

Это в школе начались уроки.

Мы не будем тратить время зря,

И приступим все к работе.

Девизом к сегодняшнему уроку будут слова древнегреческого математика Фалеса:

- Что есть больше всего на свете? – Пространство.

- Что быстрее всего? – Ум.

- Что мудрее всего? – Время.

- Что приятнее всего? – Достичь желаемого.

Хочется, чтобы каждый из вас на сегодняшнем уроке достиг желаемого результата.

2. Мотивация урока.

Мы познакомились с понятием координат точки на плоскости. Сегодня на уроке мы узнаем о координатах вектора, равных и противоположных векторов, познакомимся с формулой для нахождения длины вектора.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.(сверка с доской №434)

Фронтальный опрос:

1. Дайте определение вектора

[Вектором или направленным отрезком называется отрезок для которого указано, какая из его граничных точек считается началом, а какая – концом.]

2 Длина или модуль ненулевого вектора АВ – это

[длина отрезка АВ]

3.Ненулевые вектора называются коллинеарными, если…

[они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых]

4.Сколько векторов равных данному можно отложить от точки

[один]

5. Два коллинеарных вектора направленные одинаково называются

[сонаправлеными]

6. Векторы называются равными, если…

[они сонаправлены и их длины равны]

«Математическая разминка»

- отгадайте слово: ровная, гладкая поверхность, когда человек отпускается в нравственном отношении, говорят о нём, что он катится по наклонной… (плоскости)

1. Под каким углом пересекаются координатные прямые х и у, образующие систему координат на плоскости?

Ответ: координатные прямые х и у пересекаются под прямым углом.

1. Как называют каждую из этих прямых?

Ответ: координатную прямую х называют осью абсцисс, а координатную прямую у – осью ординат.

1. Как называют точку пересечения этих прямых?

Ответ: точку пересечения этих прямых называют началом координат.

1. Как называют пару чисел, определяющих положение точки на плоскости?

Ответ: эту пару чисел называют координатами точки.

1. Как называют первое число? Второе число?

Ответ: первое число – абсцисса точки,

второе число – ордината точки.

Задание: Назовите координаты точек. Найдите расстояние между точками А и Д.

4. Изучение нового материала.

Координаты вектора с началом в точке А и концом в точке В:

В(х₂; у₂)

(х₂ – х₁; у₂ – у₁).

А(х₁; у₁)

Равные векторы имеют равные соответствующие координаты:

(а₁; а₂) = (b₁; b₂)

а₁ = b₁

а₂ = b₂

Модуль (длина вектора). Задание: По рисунку определить длину вектора.

Из формулы расстояния между двумя точками следует, что для вектора (а₁; а₂):

| | =

5. Динамическая пауза.

Быстро встали, улыбнулись.

- Выше-выше потянулись.

- Ну-ка, плечи распрямите,

- Вправо, влево повернитесь,

- Рук коленями коснитесь.

- Сели, встали. Сели, встали

- И на месте побежали.

6. Закрепление нового материала.

Решить № 445, 446, 447, 448, 452, 454.

7.Самостоятельная работа.

Решить в парах № № 450.

8.Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Выучить п.13. Вопросы с.119. Решить на 8 баллов- № 449, 451, на 12 баллов- № 455, 459,

449, 451.

Что нового узнали на уроке?

- Чему научились?

- Оцените свои знания по таблице:

Знаю: Сомневаюсь:

Не знаю:

Тема: «Сложение и вычитание векторов»

Цель: - дать определение суммы и разности векторов; научить учащихся строить сумму двух данных векторов, используя правила треугольника и параллелограмма, содействовать формированию навыков выполнения действий над векторами;

- развитие графической культуры и вычислительных навыков школьников;

- воспитание навыков учебного труда.

Ход урок:

1. Организационный момент

2. Мотивация урока.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.(сверка с доской №434)

Фронтальный опрос:

• Что называют координатами данного вектора?

• Что можно сказать о координатах равных векторов?

• Как найти координаты вектора, если известны координаты его начала и конца?

• Как найти модуль вектора, если известны его координаты?

Решить № 456, 460.

4. Формирование новых знаний.

1. Правило треугольника.

В

+ =

А  С

2. (а₁; а₂) + (b₁; b₂) = (а₁ +b₁; а₂ +b₂).

3. Правило параллелограмма

В С

+ =

А D

4. Свойства сложения векторов.

а) + =

б) + = +

в) ( + ) + = + ( + ) .

Правилом треугольника сложения векторов называется следующий способ:  Пусть есть произвольные векторы ā и b. Надо от конца вектора a отложить вектор b`, равный вектору b. Тогда вектор, начало которого совпадает с началом вектора ā, а конец совпадет с концом вектора b`, будет суммой ā + b. Векторное сложение можно производить также по правилу параллелограмма, равносильному правилу треугольника: при построении параллелограмма оба слагающих вектора откладывают от одной точки и они служат сторонами параллелограмма. Тогда диагональ параллелограмма, проведенная из той же точки, есть векторная сумма.

Разность векторов

Вычитание векторов, как и вычитание чисел, - это действие, обратное сложению. Разность двух векторов и называется такой вектор , который в сумме с вектором дает вектор . Разность векторов и обозначается так: - . Построить разность векторов и можно следующим образом. Отложим от произвольной точки О векторы и . Получим векторы = и =. Тогда вектор и будет разностью - , поскольку

=+. Итак, == - = - .

Вычитание векторов можно свести к сложению точно так же, как и в случае чисел а и b:

а - b = а + (- b), где числа b и + (- b) - противоположные.

Итак, нам надо доказать, что результат вычитания вектора из вектора тот же, что и результат сложения векторов а + (- b).

(а₁; а₂) – (b₁; b₂) = (а₁ – b₁; а₂ – b₂)

5. Физкультминутка.

Чтоб глаза твои зоркие были,

Чтоб в очках тебе не ходить,

Эти лёгкие движенья

Предлагаю повторить.

Вдаль посмотри и под ноги,

Вправо, влево побыстрей.

Удивимся, что такое?

И закроем их скорей.

А теперь по кругу быстро,

Словно стрелочка часов,

Проведём глазами дружно,

Ну, а дальше будь здоров!

6. Закрепление нового материала.

Решить № 458, 459, 470, 480.

7.Самостоятельная работа.

Решить в парах № 484.

8.Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Выучить п. 14 . Вопросы с. 127 . Решить на 8 баллов- № 480, 471 , на 12 баллов- № 480, 471,485, 483.

Что нового узнали на уроке?

- Чему научились?

- Оцените свои знания по таблице:

Знаю: Сомневаюсь:

Не знаю:

Тема: «Умножение вектора на число»

Цели урока:

Образовательные: рассмотрение правил треугольника и параллелограмма сложения векторов в пространстве, законы сложения векторов; изучение правил сложения нескольких векторов в пространстве и его применение при нахождении векторных сумм, не прибегая к рисункам; рассмотрение правил умножения вектора на число и основные свойства этого действия, а так же их применение при решении задач.

Развивающие: развитие памяти, математической речи, наблюдательности, развитие графических навыков у учащихся.

Воспитательные: формирование культуры ученического труда.

Ход урок:

1. Организационный момент

Добрый день! Добрый час!

Как я рада видеть вас.

Прозвенел уже звонок

Начинается урок.

Улыбнулись. Подровнялись.

Друг на друга поглядели

И тихонько дружно сели.

2. Мотивация урока.

Дорогие ребята!

Я надеюсь, что этот урок пройдет интересно, с большой пользой для всех. Очень хочу, чтобы те, кто еще равнодушен к царице всех наук, с нашего урока ушел с глубоким убеждением, что геометрия – интересный и нужный предмет.

Французский писатель XIX столетия Анатоль Франс однажды заметил: “Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”.

Давайте последуем совету писателя на сегодняшнем уроке: будьте активны, внимательны, поглощайте с большим желанием знания, которые пригодятся вам в дальнейшей жизни.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Экспресс- опрос:

1. Что называют суммой и разностью векторов?

2. Какие существуют способы нахождения суммы и разности векторов?

3. Каково взаимное расположение векторов при нахождении :

а) суммы двух векторов используя правило треугольника и правило параллелограмма?

б) разности двух векторов?

в) вектора противоположного данному?

4. Что называют длинной вектора?

Решить № 475, 490, 492.

4. Изучение нового материала.

1. Произведение вектора на число.

Определив сложение двух векторов, мы можем рассмотреть суммы вида: а+а, а+а+а и т.д.. Такие суммы, как и в алгебре, обозначаются 2а,3а и т.д. (рисунок1). Этот пример показывает, что удобно ввести операцию умножения вектора на число, и подсказывает, как дать соответствующее определение.

Произведением ненулевого вектора на число k называется такой вектор, длина которого равна  k*, причем векторы и сонаправлены при k  0 и противоположно направлены при k

Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

2. Следствия из определения:

1. 1 = для любого вектора.

Действительно, если 0, то по определению 1 =1 = и т.к. k=1 0, то

1 1 =. Если =0, то1 =0 1 = для любого вектора.

2. (-1) = - для любого вектора .

Действительно, если 0, то (-1)  = -1= и т.к. k=-1 =0

(-1) = - для любого вектора .

3. Если k =0, то либо k=0, либо =0.

Действительно, если k =0, то  k= k=0, т.е. либо  k=0, либо =0, что и означает, либо k=0, либо =0.

4. Если k = k и k0, то =.

Действительно, если  k= k, то  k= k, отсюда =. Если k 0, то k, k, а т.к. k = k, .

Если же kk, k, а т.к. k = k, то.

Итак,= и , т.е. =

3. Законы умножения вектора на число

Умножение вектора на число подчиняется тем же законам, что и умножение чисел. Докажем три закона, справедливые для любых векторов и и любых чисел k и m.

1.( k + m) = k+ m ( I распределительный закон)

2. k( + ) = k+ k ( II распределительный закон)

3. (k m) = k (m) ( сочетательный закон)

5. Упражнение «Чудо-нос».

После слов «задержу дыхание» учащиеся делают вдох и задерживают дыхание. Учитель читает стихотворный текст, ребята только выполняют задание.

Выполним задание,

Задержим дыхание.

Раз, два, три, четыре –

Снова дышим:

Глубже, шире…

глубоко вдохнули.

спину потянули,

руки вверх подняли

радугу нарисовали

повернулись на восток,

продолжаем наш урок.

6. Закрепление нового материала.

Решить устно № 530, 531, 532, письменно № 522, 540, 543(1).

7.Самостоятельная работа.

Решить в парах № 493, 543(3).

8.Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Выучить п. 15 . Вопросы с. 137 . Решить № 523, 541, 544.

На листочках поставьте:

1 – если на уроке вам было интересно и понятно;

2 – интересно, но не понятно;

3 – не интересно, но понятно;

4 – не интересно, не понятно.

• Что больше всего тебе запомнилось на уроке?

• Что удивило?

• Что понравились больше всего?

• Каким ты хочешь увидеть следующий урок?

Тема: «Коллинеарные вектора»

Цели урока:

- закрепить понятие коллинеарных векторов, рассмотреть их свойства;

- развитие навыков выполнения рисунков; правильности обозначения векторов;

- воспитывать внимательность и аккуратность при обозначении и построении

векторов, взаимопомощь при изучении темы.

Ход урок:

1. Организационный момент

Добрый день! Добрый час!

Как я рада видеть вас.

Прозвенел уже звонок

Начинается урок.

Улыбнулись. Подровнялись.

Друг на друга поглядели

И тихонько дружно сели.

2. Мотивация урока.

Однажды Сократ, окружённый учениками, поднимался к храму. Навстречу им спускалась известная афинская гетера. “Вот ты гордишься своими учениками, Сократ, - улыбнулась она ему, - но стоит мне только легонько поманить их, как они покинут тебя и пойдут вслед за мной”. Мудрец же ответил так: “Да, но ты зовёшь их вниз, в тёплую весёлую долину, а я веду их вверх, к неприступным, чистым вершинам”.

Вот и мы с вами сегодня должны подняться на одну ступеньку вверх, “преодолевая” задачи, которые будут рассмотрены на сегодняшнем уроке.

Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Повторить свойства умножения вектора на число:

  =

Свойства умноження.

а) ( + )  =  + 

б) ( + ) =  + 

в) г)

2

– 2 –

д) || = || ||

е) и одинаково направлены, если  0.

ж) и противоположно направлены, если 

Решить № 543(2), 551, на построение № 527.

1. Изучение свойств коллинеарных векторов.

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору.

а) сонаправленные векторы.

 .

б) противоположно направлены.

 .

Условие коллинеарности векторов (следствия 1 и 2)

Векторы коллинеарны, если абсцисса первого вектора относится к абсциссе второго так же, как ордината первого — к ординате второго.

(а₁; а₂)

(b₁; b₂)

Даны два вектора a(xa;ya) и b(xb;yb). Эти векторы коллинеарны, если xa = λxb и ya =λ yb, где λ €R.

5. Физкультминутка.

Провести физкультминутку, применив математическую считалочку:

« Один, два - не собьюсь,

Четыре, пять – не собьюсь,

Семь, восемь – не собьюсь,

Десять, одиннадцать – не собьюсь,

Тринадцать, четырнадцать – не собьюсь,

Шестнадцать, семнадцать – не собьюсь,

Девятнадцать, двадцать – не собьюсь»

А итог подведём с помощью старинной притчи. Слушайте!

6. Закрепление нового материала.

Решить № 542, 549, 552.

7.Самостоятельная работа.

Решить в парах № 559.

8.Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Повторить п. 15 . Вопросы с. 137 . Решить № 550, 557, 536.

Шёл мудрец, а навстречу ему три человека, которые везли под солнцем тележки с камнями для строительства. Мудрец остановился и задал каждому по вопросу. У первого спросил: «Что ты делал целый день?» И тот с ухмылкой ответил, что целый день возил проклятые камни. У второго мудрец спросил: «А ты, что делал целый день?» и тот ответил: «А я добросовестно выполнял свою работу». А третий улыбнулся, его лицо засветилось радостью и удовольствием: «А я принимал участие в строительстве храма».

Ребята, давайте попробуем оценить каждый свою работу за урок.

- Кто работал, как первый человек, закрашивает круг синим цветом.

- Кто работал добросовестно – зелёным.

- Кто принимал участие в строительстве храма – красным.

Тема: «Скалярное произведение векторов и его свойства».

Цель: Образовательная – ввести понятие угла между векторами, ввести понятие “скалярное произведение векторов”, его свойств и формировать умение применять скалярное произведение векторов при решении геометрических задач;

развивающая – способствовать формированию умения определять угол между векторами, научить применять формулу для нахождения скалярного произведения векторов, способствовать развитию математического кругозора и логического мышления;

воспитательная – содействовать воспитанию интереса к теме “векторы”, воспитывать чувство коллективизма, самоконтроля, ответственности.

Ход урок:

1. Организационный момент

Тех, кто готов работу начать

Улыбки свои я прошу показать!

Все группы готовы? Тогда повторяем,

Систематизируем, изучаем и обобщаем,

ИТАК, НАЧИНАЕМ!

2. Мотивация урока.

Дорогие ребята!

Французский писатель XIX столетия Анатоль Франс однажды заметил: “Учиться можно только весело… Чтобы переваривать знания, надо поглощать их с аппетитом”.

Давайте последуем совету писателя на сегодняшнем уроке: будьте активны, внимательны, поглощайте с большим желанием знания, которые пригодятся вам в дальнейшей жизни.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

Повторим ранее пройденный материал:

1. Табличные значения косинуса и синуса углов

2. Что такое вектор?

3. Чем характеризуется вектор?

4. По какой формуле вычисляется длина вектора?

5. Какие координаты имеет нулевой вектор?

6. Могут ли нулевые координаты быть у ненулевого вектора?

7. Посмотрите на рисунок и скажите:

- Какие вектора коллинеарные?

- Какие вектора неколлинеарные?

- Какие вектора сонаправленные?

- Какие противоположно направлены?

А В

С М

К Р

8. Какие действия вы умеете уже выполнять над векторами?

9. Что получается в результате этих операций?

10. Какую операцию еще не рассматривали?

Так вот сегодня мы будем изучать произведение векторов.

4. Формирование новых знаний.

1. Угол между векторами.

а)

 (, ) = 30°

30°

б)

120°  (, ) = 120°

в)

 (, ) = 180°

2. Если векторы сонаправлены, то  (, ) = 0°

3. Если = 0 или = 0, то  (, ) = 0°

4. Скалярное произведение векторов:

(а₁; а₂), (b₁; b₂)

 = а₁b₁ + а₂b₂

5. Если  , то  = 0

6. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению модулей этих векторов на косинус угла между ними.

;

y

х

0

=

cos () =

7. Свойства скалярного произведения векторов:

1) ( при ≠0 );

2) ;

3);

4) .

8. ² = | |²

5. Релаксация:

Закройте глаза, расслабьте тело,

Представьте – вы птицы, вы вдруг полетели!

Теперь в океане дельфином плывете,

Теперь в саду яблоки спелые рвете.

Налево, направо, вокруг посмотрели,

Открыли глаза, и снова за дело!

6.Закрепление нового материала.

Выполнить задание по рисункам 137, 138, № 581.

• Решить № 585(1, 2), 583(1-3), 596.

• Даны векторы (2;6), (2;1). Найдите вектор = -4. Докажите, что векторы и перпендикулярны.

• Докажите, что треугольник с вершинами А(4;1), В(2;5), С(8;8) прямоугольный.

7. Самостоятельная работа.

Работа в парах:

Решить № 585(3), 583(4), 594.

8. Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Выучить п.15, вопросы с.151. Решить № 597, 584, 586, 582.

• Поднимите руки те, кто получил ту оценку, которую планировал получить в начале урока?

• А теперь те, кто получил выше запланированной?

• А кто же из вас получил ниже запланированной?

• Как вы думаете, что помешало получить ту оценку, которую вы планировали?

• Какие выводы вы для себя сделали?

Урок по теме «Обобщение и систематизация знаний по теме «Векторы на плоскости»

Цель урока:

• Образовательные: закрепление и обобщение знаний учащихся, полученные при изучении темы; выработка умения выбрать нужный, рациональный способ решения.

• Развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, умений сравнивать и обобщать.

• Воспитательные: воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры.

Ход урока.

1. Организационный момент.

В класс вошел – не хмурь лица,

Будь разумным до конца.

Ты не зритель и не гость –

Ты программы нашей гвоздь.

Не ломайся, не смущайся,

Всем законам подчиняйся.

А законы у нас сегодня будут такие: каждый из вас имеет возможность получить оценку за урок по результатам работы на различных его этапах. Для этого у вас на партах лежат карты результативности, в которые вы будете фиксировать свои успех в баллах. И еще один не обсуждаемый закон: для ответа на поставленный вопрос вы поднимаете руку и ни в коем случае не перебиваете друг друга. Желаю всем удачи.

2. Мотивация урока.

Девизом нашего урока является высказывание: “Есть в математике нечто, вызывающее человеческий восторг”, так как на уроках геометрии очень важно уметь, смотреть и видеть, замечать и отмечать различные особенности геометрических фигур.

3. Актуализация опорных знаний. Проверка д/з.

1) Разминка проводится в виде устного фронтального опроса. Учащиеся отвечают сидя. Каждый должен ответить не менее, чем на 4 вопроса. Вопросы повторяются по нескольку раз. Оценка объявляется после опроса и выставляется в лист открытого анализа.

Вопросы:

1. Что такое вектор? Как можно задать вектор?

2. Что такое абсолютная величина вектора?

3. Какие векторы называются равными?

4. Что такое координаты вектора?

5. Дайте определение сложения векторов.

6. Дайте определение разности векторов.

7. Дайте определение умножения вектора на число.

8. Какие векторы называются коллинеарными?

9. Дайте определение скалярного произведения векторов.

10. Как определить угол между векторами?

11. Чему равен угол между одинаково направленными векторами? Противоположно направленными векторами?

12. Приведите примеры векторных величин из курса физики.

13. Объясните, какой вектор называется нулевым.

14. Чему равна длина нулевого вектора?

Каждый заносит результат разминки в лист учета.

Составление кластера:

длина

отрезок

вектор

начало

направление

обозначение

конец

Коллинеар

ные

не коллинеарные

Противополо

жно направленные

сонаправленные

Геометрический диктант:

I. А(x1,y1) и B(x2,y2). Найти , .

II. a (a1,a2), b (b1,b2). Записать координаты векторов a+b, a-b, λa.

III. a b Постройте a+b, 3a, -b.

IV. a (-1,2). Назовите координаты вектора, коллинеарного данному.

V. a (a1,a2), b (b1,b2). Найти a * b.

Каждый заносит результат геометрического диктанта в лист учета.

1. Решение заданий по теме.

Практика:

Часть 1. Р М

Даны векторы КР и МS. К S

1. Сложить векторы по правилу треугольника.

2. Сложить векторы по правилу параллелограмма.

3. Вычесть вектор MS из вектора КР.

4. Вычесть вектор КР из МS.

5. Умножить вектор МS на число k = - ½.

Часть 2.

F G

Е H

В

С

А D

2.1. На рисунке отметить векторы: АВ, ВС, СD, DA, EF, FG, GH, HE, AE, BF, CG, DH.

2.2. Для вектора DA выписать векторы:

1. коллинеарные;

2. сонаправленные;

3. противоположно направленные;

4. равные;

5. противоположные.

Часть 3.

Верно ли, что для всех векторов АВ и CD выполняются следующие условия:

3.1. Если векторы АВ и CD равны, то они являются сонаправленными?

3.2. Если длина вектора АВ равна длине вектора CD, то сами векторы АВ и CD также равны?

3.3. Если векторы АВ и CD коллинеарны, то они противоположно направленные?

3.4. Если векторы АВ и CD являются противоположными, то они являются коллинеарными?

3.5. Если векторы АВ и CD противоположно направлены и их длины равны, то эти векторы являются противоположными?

Часть 4.

Дано:

1. Найти:

2. Перпендикулярны ли векторы

3. Каким (острым, тупым или прямым) является угол между векторами

4. Вычислить скалярное произведение векторов ;

5. Даны векторы и . При каком значении x векторы перпендикулярны.

6. Найдите косинус угла между векторами и

5. Самостоятельная работа.

Самостоятельная работа проводится в трех вариантах и оценивается сразу после написания.

1) Дано а (-1,3), b (-2,10), c(2,1).

I. II. III.

2) Дано: a (2,-1), b(1,5), m( -1,3), n(2,-3). Найти косинус угла между векторами.

I. a и b II. a и n. III. m и n

3) I. a (2,-4), b(1,m). a и b коллинеарны. Найти m.

II. a(1,m), b(3,-4). a┴b. Найти m.

III. m(3,-1), n(x,4). m и n коллинеарны. Найти x.

Каждый заносит результат самостоятельного работы в лист учета.

1. Итоги урока. Рефлексия. Д/з.

Принцип «Микрофон». (Ученики по очереди дают аргументированный ответ на один из вопросов).

• На уроке я работал активно / пассивно

• Своей работой на уроке я доволен / не доволен

• Урок для меня показался коротким / длинным

• За урок я не устал / устал

• Мое настроение стало лучше / стало хуже

• Домашнее задание мне кажется легким / трудным

интересно / не интересно

Повторить п.12-16. Решить №1-12 с.156.

Тема: Контрольная работа по теме «Векторы на плоскости».

Цели:

1. Проверить знания, умения и навыки учащихся по изученной теме;

2. Развивать внимание, логическое мышление, письменную математическую речь;

3. Воспитывать самостоятельность, трудолюбие.

Ход урока

1.Организационный момент.

2.Мотивация урока.

3. Контрольная работа

4. Итоги урока.

Повторить п.12-16.