Образовательные:Изучить, что такое “вектор в пространстве", как определяются координаты, вектора, если известны координаты его начала и конца, научится решать задачи, связанные с векторами.
Развивающие: расширение кругозора учащихся, формирование умений применять приёмы сравнивания, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитие мышления, речи, умение комментировать, развитие учебно-познавательных компетенций учащихся
Воспитательные: воспитывать трудолюбие, чувство товарищества и взаимопомощи, привитие навыков самооценки, умения работать в коллективе, умения правильно оценивать работуодногруппников,прививать интерес к предмету.
План урока:
Организационный момент.
Актуализация знаний.
Изучение нового материала.
Закрепление знаний.
Итоги урока.
Самостоятельная подготовка.
Оборудование: Интерактивная доска
Тип урока: Комбинированный.
Ход урока:
1. Организационный момент.
Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку, организация внимания учащихся, раскрытие общих целей урока и плана его проведения.
2. Актуализация знаний
3. Изучение нового материала
Рассказ преподавателя:
ВЕКТОР. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ
В пространстве, как и на плоскости, вектором называется величина, которая задается своей длиной и направлением. Вектор изображатеся направленным отрезком, длина которого равна длине вектора.
(Слайд 2)
Буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия для векторов в пространстве: абсолютная величина вектора, направление вектора, равенство векторов.
Но это не простое повторение, а обобщение, распространение свойств двумерной геометрии на трехмерную. Если в планиметрии для задания вектора достаточно указать две его координаты, то в стереометрии — три координаты.
Определение. Координатами вектора , начало которого точка A(x1,y1,z1), а конец — точкаВ(х2, у2, z2), называются числа a1= х2- x1, a2=y2-y1, a3=z2-z1.
Записывают такой вектор, указывая его координаты: (a1 а2, а3) или (a1 а2, а3).
(Слайд 3)
Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Министерство образования, науки и молодежной политики Краснодарского края государственное бюджетное профессиональное образовательное учреждение Краснодарского края
Образовательные:Изучить, что такое “вектор в пространстве", как определяются координаты, вектора, если известны координаты его начала и конца, научится решать задачи, связанные с векторами.
Развивающие: расширение кругозора учащихся, формирование умений применять приёмы сравнивания, обобщения, выделения главного, переноса знаний в новую ситуацию, развитие мышления, речи, умение комментировать, развитие учебно-познавательных компетенций учащихся
Воспитательные: воспитывать трудолюбие, чувство товарищества и взаимопомощи, привитие навыков самооценки, умения работать в коллективе, умения правильно оценивать работуодногруппников,прививать интерес к предмету.
План урока:
Организационный момент.
Актуализация знаний.
Изучение нового материала.
Закрепление знаний.
Итоги урока.
Самостоятельная подготовка.
Оборудование: Интерактивная доска
Тип урока: Комбинированный.
Ход урока:
1. Организационный момент.
Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку, организация внимания учащихся, раскрытие общих целей урока и плана его проведения.
2. Актуализация знаний
3. Изучение нового материала
Рассказ преподавателя:
ВЕКТОР. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ
В пространстве, как и на плоскости, вектором называется величина, которая задается своей длиной и направлением. Вектор изображатеся направленным отрезком, длина которого равна длине вектора.
(Слайд 2)
Буквально так же, как и на плоскости, определяются основные понятия для векторов в пространстве: абсолютная величина вектора, направление вектора, равенство векторов.
Но это не простое повторение, а обобщение, распространение свойств двумерной геометрии на трехмерную. Если в планиметрии для задания вектора достаточно указать две его координаты, то в стереометрии — три координаты.
Определение. Координатами вектора , начало которого точка A(x1,y1,z1), а конец — точкаВ(х2, у2, z2), называются числа a1= х2- x1, a2=y2-y1, a3=z2-z1.
Записывают такой вектор, указывая его координаты: (a1 а2, а3) или (a1 а2, а3).
(Слайд 3)
Например, если точки А(4; 0; 3) и B(0; 6; 4) — начало и конец направленного отрезка , тогда
а1 = 0 - 4 = -4, а2 = 6- 0 = 6, а3= 4 - 3 = 1.
Значит, направленному отрезку соответствует вектор (-4; 6; 1) (рис. 67).
(Слайд 4)
Так же, как и на плоскости, равные векторы имеют соответственно равные координаты и, обратно, векторы с соответственно равными координатами равны. Это дает основание говорить о том, что любой вектор можно отложить от любой точки пространства.
(слайд 5)
Длину вектора (a1 а2, а3) можно выразить через его координаты. Отложим вектор от начала координат (рис. 68). Тогда четырехугольник OPAN — прямоугольник. Его стороны равны а1 и а2, поэтому ОАz2 = а12 + а22. В прямоугольном треугольнике ОА2 А второй катет Аz А = а3 и ОА2 = ОА2г + а32 = а12 + а22+ а32. Отсюда | | =
Длина любого ненулевого вектора — число положительное. Длина нулевого вектора равна нулю.
Вспомним, что два вектора, лежащих на одной прямой или параллельных прямых, называютколлинеарными. Коллинеарные векторы бывают сонаправлены (аb) или противоположно направлены (аb). Если векторы ON и ОМ коллинеарны, то точки О, N, М лежат на одной прямой. Нулевые векторы не имеют направлений и считаются коллинеарными к любому вектору.
ДЕЙСТВИЯ НАД ВЕКТОРАМИ В КООРДИНАТАХ
Действия над векторами в пространстве осуществляются аналогично тому, как они определялись для векторов на плоскости.
Определение. Суммой векторов a (a1 а2, а3) и b(b1 b2, b3) называется вектор а + b с координатами (а1 + b1; а2 + b2; а3 + b3)
Для любых векторов а , b и с справедливы равенства:
а+b=b+а — переместительный закон сложения;
а + (b + с) = (а+ b) + с — сочетательный закон сложения.
Чтобы доказать эти свойства, достаточно сравнить соответствующие
координаты левой и правой частей каждого векторного равенства.
Для любых трех точек А, В, С в пространстве имеет место векторное равенство + = .
Действительно, для любых трех точек A(a1 а2, а3), B(b1 b2, b3), C(c1, с2, с3) (b1 – а1; b2 - а2;b3 - а3) и (с1 - bг; с2 - b2, с3 - b3).
Отсюда + = (с1 – а1; с2 - а2; с3 - а3).
Геометрически сумму двух векторов пространства можно находить, пользуясь правилам треугольника(рис. 69).
Также применяется и правило параллелограмма. Оно часто используется в физике.
Если ABCD — параллелограмм (рис. 70), то + = .
Чтобы найти сумму нескольких векторов, используем правило многоугольника. Например, если в пространстве даны точки А, В, С, D, Е, F, то всегда
АВ + ВС +CD + DE + EF = AF.
(слайд 6)
Определение. Два вектора, сумма которых равна нулевому вектору, называютсяпротивоположными.
Из определения следует, что у противоположных векторов соответствующие координаты имеют противоположные знаки.
Определение. Разностью векторов а и b называется такой вектор с , который в сумме с вектором bдает вектор а .
Если а (а1; а2; а3) и b( b1; b2; b3), то - = (а1–b1;а2 - b2; а3 – b3).
Закрепление знаний
Работа студентов по слайдам. Решение задач у доски по желанию.
(слайд7)
(слайд 8)
(слайд9)
(слайд10)
5.Итоги урока.
Комментирование ответов и решений задач. Выставление отметок.