kopilkaurokov.ru - сайт для учителей

Создайте Ваш сайт учителя Курсы ПК и ППК Видеоуроки Олимпиады Вебинары для учителей

Урок алгебры по теме: "Бином Ньютона"

Нажмите, чтобы узнать подробности

Данный урок рекомендуется для изучения темы "Бином Ньютона" в 10 классе.

Вы уже знаете о суперспособностях современного учителя?
Тратить минимум сил на подготовку и проведение уроков.
Быстро и объективно проверять знания учащихся.
Сделать изучение нового материала максимально понятным.
Избавить себя от подбора заданий и их проверки после уроков.
Наладить дисциплину на своих уроках.
Получить возможность работать творчески.

Просмотр содержимого документа
«Урок алгебры по теме: "Бином Ньютона"»

Урок алгебры в 10 классе


Тема: Бином Ньютона

Цель урока:

  • Введение понятия степень двучлена, формулы Бином Ньютона. Вычисление биномиальных коэффициентов. Представление степени двучлена в виде многочлена по формуле Бином Ньютона.

  • Развитие логического мышления, мыслительных операций, таких как синтез и анализ, обобщение и сравнение.

  • Создание условий для формирования информационной культуры учащихся.


Оборудование: интерактивная доска, проектор, презентация


Ход урока

1. Мотивационный момент.

Сообщение темы, целей урока, практической значимости рассматриваемой темы.

2. Проверка домашнего задания

Перестановки


1) Сколько трехсловных предложений можно составить из трех слов: сегодня, дождь, идет?

Р3 = 3! = 6

2) Сколькими способами 6 человек могут сесть на 6 стульев? Р6 = 6! = 720


Размещение


1) В чемпионате участвуют 12 команд. Сколькими различными способами могут быть распределены 3 различные медали? 1320


Сочетания

  1. В группе 30 человек. Надо выбрать троих для работы на компьютере. Сколькими способами можно это сделать? 4060

  2. Сколькими способами можно составить команду из 4 человек для соревнований по бегу, если имеются 7 бегунов? С47 = 35


3. Актуализация опорных знаний и постановка проблемы.


Вопросы к учащимся:

прочитайте выражения: (х +2у)2, (а- b)3, (c - d)2

(квадрат суммы двух выражений х и 2у; куб разности двух выражений а и b; квадрат разности двух выражений с и d.)

Что общего в заданных выражениях?

(каждый случай является какой либо степенью многочлена из двух выражений или степенью двучлена.)

Представьте каждую степень двучлена в виде многочлена. Какими формулами воспользуетесь?


Формулами квадрата суммы и разности, куба суммы

(х +2у)2 = х2 +4ху + 4у2

(а - 2)3 = а3 - 3а2 2 +3а 22 - 23= а3 - 6а2+12а -8.


4. Введение нового материала.

Открываем тетради и записываем новую тему "Бином Ньютона".

Бином Ньютона - это отношение, позволяющая представить выражение (a + b)n (n ∈ Z+) в виде многочлена.

С помощью следующей таблицы можно определить значения биномиальных коэффициентов для любой степени. Строится он следующим образом - любое число образуется суммой рядом стоящих чисел над ним. Именно потому эта таблица имеет название треугольник Паскаля.

Слева указана степень n, справа значения соответствующих биномиальных коэффициентов.

  • Что означают коэффициенты перед слагаемыми?


  • Столько раз эти слагаемые встретились при приведении подобных слагаемых в многочлене. Количество этих слагаемых есть не что иное, как число сочетаний С, где n - степень двучлена, m - степень второго выражения.



Степень одного из множителей в одночленах с3а или са3 равна 1, количество таких слагаемых, по определению сочетания, равно С = ==4, что подтверждается вашими вычислениями.


Проверим нашу гипотезу на слагаемом 6с2а2 : С = ==6, что также верно.


Заметим, что первое и последнее слагаемое стоит с коэффициентом 1, так как степень одного из выражений в этом одночлене равна 0, а по свойствам сочетаний С= С= 1.


Объединим ваши замечания в следующие правила:

  1. Каждый одночлен является произведением первого и второго выражения в различных степенях и некоторого числа;

  2. Степени всех одночленов раны степени двучлена в условии;

  3. Степень первого выражения одночлена в разложении убывает, начиная со степени двучлена и заканчивая нулевой;

  4. Степень второго выражения одночлена в разложении возрастает, начиная с нулевой и заканчивая степенью двучлена.

  5. Коэффициенты при слагаемых многочлена равны числу сочетаний С, где n - степень двучлена , m - переменная величина, пробегающая значения от 0 до n и соответствующая степени второго выражения.


А теперь запишем формулу бинома Ньютона - формулу представления степени двучлена в многочлен.

Определение:


Д
ля каждого натурального числа n и произвольных чисел a и b имеет место равенство


Равенство называется формулой бинома Ньютона, числа С- биномиальными коэффициентами.



Запишем пример, используя бином Ньютона:

(х -2)5 = Сх5 + Сх4(-2)1 + Сх3 (-2)2 + Сх2 (-2)3х1 (-2)4(-2)5=


Посчитаем биномиальные коэффициенты, используя определение и свойства числа сочетаний:

С= С=1; С= С==5; С= С===10.)


5 -5 х4 2+ 10х3 22 - 10х2 23 +5х 24-25= х5 -10х4 + 40х3 - 80х2 +80х -32.


Как видите, мы достигли того же результата, но гораздо быстрее.


И можем добавить ещё одно правило


Что ещё, связанное с коэффициентами вы заметили?

Крайние коэффициенты равны 1, и все коэффициенты симметричны, относительно середины.

Добавим ещё одно правило, связанное со знаками между одночленами, в формуле бином Ньютона задана сумма, у нас же появились минусы.

Степень разности будет представлена в виде многочлена, знаки в котором чередуются, начиная со знака +, так как нечётная степень отрицательного выражения будет отрицательной, чётная степень всегда положительна.

Вы видите, насколько рационализируется работа по возведению двучлена в степень, если использовать бином Ньютона. Но на самом деле нашу работу можно ещё упростить. Достаточно долго вы вычисляли биномиальные коэффициенты, а коэффициенты - это сочетания. Посмотрите внимательно, все ли свойства сочетаний, которые были ранее введены, мы использовали?


4. Практическая работа.


1). Составьте формулы бинома Ньютона, используя первую, вторую и третью строки.

Для n=1 а+b = a+b - получается вполне естественное тождество.

Для n=2 (а + b)2 = a2 + 2ab+b2;

Для n=3 (а + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3;

Какой вывод вы сможете сделать?

Известные формулы квадрата и куба суммы или разности двух выражений являются частным случаем формулы бином Ньютона для n =2;3.


5. Обучающая самостоятельная работа с последующей проверкой

1. Представьте степень двучлена в виде многочлена, используя бином Ньютона

а) (х+у)6

б) (1- 2а)4

Решение:


1а) (х+у)6= х6 +6х5у +15х4 у2 +20х3у3 +15х2у4 +6ху56.

1б) (1- 2а)4 = 1 * 14 (2а)0 – 4* 13 2а + 6*12 (2а)2 - 4 * 11 * (2а)3 + 1 * 10(2а)4 == 1 - 8а + 24а2 - 32а3 + 16а4.


6. Подведение итогов самостоятельной работы.

7. Подведение итогов урока. Можно ещё раз повторить выводы

8. Домашнее задание:

Выучить формулу бином Ньютона.

Представить в виде многочлена: (х - 1)7 (2х - 3)4

Учитель: Послушайте рассказ и сделайте вывод о полезности комбинаторики: "Однажды Шерлок Холмс и доктор Ватсон отправились в путешествие на воздушном шаре.

Вдруг шар понесло ветром, затем он стал терять высоту. Увидев неподалеку человека, путешественники решили поинтересоваться, куда их занесло.

- Господин, скажите, пожалуйста, хотя бы приблизительно, где мы находимся? - спросил Холмс.

- Почему же приблизительно? Я могу сказать вам совершенно точно. Вы находитесь в корзине воздушного шара.

В этот момент порывом ветра шар унесло снова ввысь.

- Вот черт! Угораздило же попасть именно на математика, - пробормотал Холмс.

- Я, как всегда, восхищен вами, Холмс. Но как вы узнали, что этот человек - математик? - удивился Ватсон.

- Это элементарно, его ответ настолько же точен, насколько и бесполезен.

4




Получите в подарок сайт учителя

Предмет: Математика

Категория: Уроки

Целевая аудитория: 10 класс

Скачать
Урок алгебры по теме: "Бином Ньютона"

Автор: Гаенко Елена Михайловна

Дата: 15.10.2017

Номер свидетельства: 432459

Похожие файлы

object(ArrayObject)#851 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(142) "конспект урока математики по теме  "Признаки возрастания и убывания функции". "
    ["seo_title"] => string(80) "konspiekt-uroka-matiematiki-po-tiemie-priznaki-vozrastaniia-i-ubyvaniia-funktsii"
    ["file_id"] => string(6) "116382"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(5) "uroki"
    ["date"] => string(10) "1412439795"
  }
}
object(ArrayObject)#873 (1) {
  ["storage":"ArrayObject":private] => array(6) {
    ["title"] => string(103) "Программа математического кружка "Успешный абитуриент" "
    ["seo_title"] => string(61) "proghramma-matiematichieskogho-kruzhka-uspieshnyi-abituriient"
    ["file_id"] => string(6) "131681"
    ["category_seo"] => string(10) "matematika"
    ["subcategory_seo"] => string(12) "planirovanie"
    ["date"] => string(10) "1416209572"
  }
}


Получите в подарок сайт учителя

Видеоуроки для учителей

Курсы для учителей

ПОЛУЧИТЕ СВИДЕТЕЛЬСТВО МГНОВЕННО

Добавить свою работу

* Свидетельство о публикации выдается БЕСПЛАТНО, СРАЗУ же после добавления Вами Вашей работы на сайт

Удобный поиск материалов для учителей

Ваш личный кабинет
Проверка свидетельства