Урок в 8-ом классе теорема Пифагора

Канарейкина С. Е. Мой лучший урок.

Заявка участника.

Канарейкина Светлана Евгеньевна 24.11.1973 года рождения

Место работы: МОУ Шолоховская средняя общеобразовательная школа Красносельского

района Костромской области

Учитель математики

Педагогический стаж: 13 лет

Конкурс «Мой лучший урок».

Тема работы: Урок геометрии в 8 – ом классе. Тема урока: Теорема Пифагора.

Домашний адрес: 157951, Костромская область, Красносельский район, д. Шолохово,

микрорайон Льнозавода, д.8, кв. 4, тел: 8(49432)35727

Руководитель МОУ: Черепенина Светлана Леонидовна

Адрес МОУ: 157951, Костромская область, Красносельский район, д. Шолохово, ул.

Центральная, 1^а, тел: 8(49432)35419

Содержание.

• Конспект урока.

• Технологическая карта урока.

• Приложение 1. Нахождение площадей плоских фигур для определения темы урока.

• Приложение 2. Доклад на тему: Легенды, связанные с именем Пифагора.

• Приложение 3. Доказательство теоремы Пифагора.

• Приложение 4. Решение задачи на нахождение гипотенузы.

• Приложение 5. Решение задачи на нахождение катета.

• Приложение 6. Исторические задачи для домашнего решения.

Канарейкина С. Е. Мой лучший урок. Конспект урока.

Конспект урока по геометрии в 8 – ом классе.

Тема урока: Теорема Пифагора.

Цели урока:

• Доказать теорему Пифагора

• Научиться применять ее в различных ситуациях.

• Учиться логически мыслить, анализировать , рассуждать, выделять главное и делать выводы.

Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

План урока:

• Организационный момент. (1 минута).

• Повторение изученного материала. (4 минуты).

• Практическая работа для определения темы урока. (8 минут).

• Постановка целей урока. (2 минуты).

• Доклад по истории теоремы Пифагора. (5 минут).

• Актуализация знаний. (4 минуты).

• Работа над доказательством теоремы.(8 минут).

• Решение задач с применением теоремы. (10 минут).

• Подведение итогов урока. (2 минуты).

• Постановка домашнего задания. (1 минута).

Оборудование:

• Видеопроектор + компьютер.

• Карточки.

РS:

Урок проведён в ходе аттестации на высшую квалификационную категорию, высоко оценен членами областной аттестационной комиссии, без замечаний по методике проведения.

Ход урока.

Учитель: Перед тем как приступить к изучению нового материала, повторим правила

нахождения площадей плоских фигур. (На экране слайд №1).

По мере появления вопросов на экране, дети на них отвечают.

Примерные ответы учащихся:

• Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.

• Площадь прямоугольника равна произведению длин смежных сторон.

• Площадь параллелограмма равна произведению длины его стороны на длину высоты, проведённой к этой стороне.

• Площадь треугольника равна половине произведения длины его стороны на длину высоты, проведённой к этой стороне.

• Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов.

• Площадь ромба равна половине произведения длин его диагоналей.

• Площадь трапеции равна произведению полусуммы длин оснований на длину высоты.

Учитель: Для того, чтобы узнать тему нашего сегодняшнего урока, вам придётся немно-

го потрудиться.

Торопись, ведь дни проходят,

Мы у времени в гостях.

Не рассчитывай на помощь,

Помни: все в твоих руках!

Перед вами лежат карточки (Приложение 1), на них изображены фигуры. Найдите площадь каждой фигуры. Буквы, соответствующие верным ответам, вы видите на экране. (Слайд №2).

Занесите их в таблицу, которая также есть на карточке. Если вы всё сделаете правильно, то в результате узнаете тему урока.

Учащиеся работают в парах, все вычисления выполняют на черновиках.

Итак, все площади найдены, таблица заполнена. У меня к вам вопрос: Какова же тема урока? (Теорема Пифагора). (Слайд №3).

А теперь запишите в тетрадях число и тему урока «Теорема Пифагора».

Давайте определимся с тем, какие цели мы поставим перед собой при изучении данной темы. (Слайд №4).

Сначала выясним, а нужна ли вообще эта теорема. Потом, как и всякую теорему, её надо доказать. Конечно же, необходимо рассмотреть примеры применения при решении задач. Ну и наконец, научиться самим применять эту теорему.

Ну а начнём мы, пожалуй, с того, что узнаем, кто же такой этот Пифагор, и о чём говорит его теорема. Для этого одна из учениц подготовила небольшой реферат. Предоставим ей слово.

Учащиеся слушают доклад по истории теоремы Пифагора. (Приложение 2).

Итак, теорема связывает стороны прямоугольного треугольника. Вот её шуточная формулировка.

Если дан нам треугольник, да еще с прямым углом,

То квадрат гипотенузы обязательно найдем.

Катеты в квадрат возводим, сумму их легко находим.

После нескольких трудов и ответ уже готов.

Посмотрим, для чего же она необходима. Может быть, и не стоит её изучать. Рассмотрим несколько старинных задач.

Задача №1: Задача индийского математика XII века Бхаскары. (Слайд №5).

На берегу реки рос тополь одинокий. Вдруг ветра порыв его ствол надломал.
Бедный тополь упал. И угол прямой с теченьем реки его ствол составлял.
Запомни теперь, что в этом месте река в четыре лишь фута была широка.
Верхушка склонилась у края реки. Осталось три фута всего от ствола,
Прошу тебя, скоро теперь мне скажи: у тополя как велика высота?

Задача предполагает нахождение гипотенузы прямоугольного треугольника с помощью известных катетов. Решить её поможет только теорема Пифагора.

Задача №2: Задача из китайской "Математики в девяти книгах". (Слайд №6).

"Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его. Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?"

Опять появился прямоугольный треугольник, в котором надо найти катет и гипотенузу. Это легко сделать с помощью уравнения и теоремы Пифагора.

Задача №3: Задача из учебника "Арифметика" Леонтия Магницкого. (Слайд №7).

"Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп. И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать."

Повторимся, если скажем, что в данной задаче потребуется найти катет по известным гипотенузе и второму катету.

Задача №4: Современная практическая задача. (Слайд №8).

Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?

Снова имеем прямоугольный треугольник, в котором необходимо найти гипотенузу для ответа на вопрос, сколько же метров троса надо для крепления мачты.

Итак, ребята, нужна ли нам теорема Пифагора. (Конечно, нужна).

Давайте запишем в тетрадь современную её формулировку и сделаем соответствующий рисунок. (Слайд №9).

Доказательство проведём следующим образом: У вас на партах есть листочки, на которых проведено доказательство, но в нём есть пробелы, которые вы должны заполнить самостоятельно. Первый раз я читаю доказательство полностью. Потом даю вам время для того, чтобы вы заполнили пропуски. Второй раз читаю, а вы в местах пропусков хором читаете нужные фразы. (Листок с доказательством в приложении 3).

В момент первого прочтения учащиеся внимательно слушают учителя и следят за текстом. После прочтения заполняют пропуски. В момент второго прочтения хором зачитывают пропущенный места.

Дальше мы должны научиться применять эту теорему при решении задач. Рассмотрим задачу №1. (Слайд №10).

Что неизвестно в данном прямоугольном треугольнике? (Гипотенуза).

С помощью какой теоремы можно найти её? (Теорема Пифагора).

Сформулируйте теорему. (В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов).

Посмотрите на листочки, в которых приведено решение этой задачи. (Приложение 4).

По такому же плану выполните решение задачи №2 устно. (Слайд №11).

Один из учащихся рассказывает о решении задачи устно. Дан прямоугольный треугольник. В нём известны катеты АС = 8 см, ВС = 6 см. Найти гипотенузу АВ. Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС. По теореме Пифагора с² = а² + b², с² = 6² + 8², с² = 36 + 64, с² = 100, с = 10 см. Ответ: 10 см.

Ну а задачу №3, которую вы видите на экране, полностью оформите в тетради с рисунком и решением. (Слайд № 12).

Во всех предыдущих задачах надо было найти гипотенузу. Но теорема Пифагора помогает найти катеты, если известен один из них и гипотенуза. Рассмотрим следующую задачу. (Слайд № 13).

Решение этой задачи у вас на листочках также приведено, давайте обратимся к нему. (Приложение 5).

Учащиеся самостоятельно рассматривают решение задачи.

Решение следующей задачи (Слайд № 14) вы должны оформить в тетрадях.

Учащиеся оформляют решение задачи в тетрадях. Озвучивают только ответ.

Итак, давайте вспомним, о чём мы вели речь на сегодняшнем уроке? (О теореме Пифагора). Давайте посмотрим, выполнили ли мы с вами поставленные цели? (Слайд № 4).

Итак, мы выяснили, что эта теорема необходима? (Да).

Мы провели доказательство? (Да).

Мы рассмотрели применение этой теоремы при решении задач. (Да).

Значит, поставленные цели выполнены? (Да).

Значит, урок прошёл не зря? (Да).

Обратимся ещё раз к тем задачам, которые были рассмотрены в начале урока. Сможем ли мы решить их и помочь математикам древности.

На экране слайды №5, 6, 7 и 8.

Сможем ли мы решить эти задачи, применяя теорему Пифагора? (Да).

В таком случае каждому желающему я предлагаю взять домой распечатку задач (Приложение 6) для того, чтобы дома найти их решение. Это творческое домашнее задание, его выполнение отмечается оценкой «отлично». Ну а на следующий урок вы записываете в дневниках домашнее задание: выучить доказательство теоремы по листочкам, которые вы заполнили в ходе урока, вклеить эти листочки в ваши альбомы, решить задачи №483(а, б), №484(а, б).

Итак, урок закончен, всем спасибо за работу.

Канарейкина С. Е. Мой лучший урок. Технологическая карта урока.

Канарейкина С. Е. Мой лучший урок. Приложение 1.

Найдите площади всех фигур, изображённых на рисунке.

Буквы, соответствующие верным ответам, занесите в таблицу.

S₁ – е S₂ – а S₃ – 0 S₅ – п

S₆ – р S₇ – г S₈ – ф

ЛЕГЕНДЫ,
СВЯЗАННЫЕ С ИМЕНЕМ ПИФАГОРА

    По одной из легенд отцом Пифагора был сириец Мнесарх. Однажды по торговым делам он прибыл из своего родного Тира на остров Самос. Год был неурожайным, население голодало, и Мнесарх устроил бесплатную раздачу хлеба народу. В благодарность его удостоили самосского гражданства.

    По словам историка Апулея "Мнесарх славился среди мастеров своим искусством вырезать геммы, но стяжал скорее славу, чем богатство". Сохранилось предание, согласно которому Мнесарх вместе со своим учеником вырезал перстень дивной красоты. Этот перстень перешёл к правителю острова Самос Поликрату и ценился им превыше всего на свете.

    Однажды египетский фараон Амасис, состоящий с самосским тираном в дружеских отношениях, встревожился его великим преуспеванием и написал Поликрату письмо, в котором говорил так: "приятно узнать, что друг мой счастлив. Но всё те твои успехи не радуют меня, так я знаю, сколь ревниво божество к человеческому счастью. Поэтому я желал бы, чтобы и у меня самого, и моих друзей одно удавалось, а другое – нет, чтобы лучше на своём веку мне непременно сопутствовали успехи и неудачи, чем быть счастливому всегда. Ведь мне не приходилось слышать ещё ни об одном человеке, кому бы всё удавалось, а в конце концов он не кончил плохо. Поэтому послушайся моего совета теперь и ради своего счастья поступи так: обдумай, что тебе дороже всего на свете и потеря чего может больше всего огорчить тебя. Эту вещь ты закинь так, чтобы она не попадалась никому в руки. И если и тогда успехи у тебя не будут сменяться неудачами, то и впредь применяй то же средство по моему совету". Поликрат нашёл совет Амасиса мудрым. "Посадив людей на корабль, он сам поднялся на борт и приказал затем выйти в море. Когда корабль отошёл далеко от острова, Поликрат снял перстень и на глазах у всех своих спутников бросил в море. После этого, опечаленный потерей, он вернулся во дворец.

    А спустя пять или шесть дней какой-то рыбак поймал большую красивую рыбу и решил, что это достойный подарок Поликрату. Он принёс рыбу во дворец, а слуги, выпотрошив её, нашли в брюхе тот Поликратов перстень. Поликрат понял тогда, что это божественное знамение, и написал Амасису обо всём.

    Амасис же, прочтя послание Поликрата, убедился, что ни один человек не может уберечь другого от предречённой ему участи и что Поликрат не кончит добром, так как он преуспевает во всём и даже находит то, что забросил.

    Пророчество Амасиса сбылось. Опасаясь владычества Поликрата на море, персы хитростью выманили Поликрата из Самоса, и зверски убили его.

    Легенда о Поликратовом перстне, в котором нашла отражение вечная тема непостоянства земного счастья, стала популярным литературным сюжетом. Вспомним "Поликратов перстень" Шиллера:

Имя матери Пифагора не сохранилось. Некоторые называли её Пифаидой, дочерью рода Анкея – основателя Самоса. Другие утверждали, будто бы сам Мнесарх назвал жену Пифаидой, а сына – Пифагором в честь дельфийской прорицательницы Пифии. Сделал же так Мнесарх после того, как получил от Дельфийского оракула весть о том, что жена подарит ему необыкновенного сына. Наконец, многие, имея на то основания, считали, что Пифагор – это не имя, а прозвище. Поскольку мудрый учитель высказывал истину столь же постоянно и авторитетно, как и дельфийская Пифия, он был прозван Пифагором.

    Слово Пифагор можно перевести как вещающий (прорицающий) как Пифия. Версия о том, что Пифагор это имя не собственное, а прозвище, представляется наиболее правдоподобной. Ведь и знаменитый философ Аристокл известен нам не по своему настоящему имени, а по прозвищу, которое он получил за свою мускулатуру гимнаста, – широкий, широкоплечий, по-гречески Платон.

Пифагор сделал много важных открытий, но наибольшую славу учёному принесла доказанная им теорема, которая сейчас носит его имя.

Пифагоровы штаны во все стороны равны.

Это шуточная формулировка теоремы.

В современных учебниках теорема сформулирована так: "В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов".

Предполагают, что во времена Пифагора теорема звучала по-другому: "Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах". Действительно, с² – площадь квадрата, построенного на гипотенузе, а² и b² – площади квадратов, построенных на катетах (рис. 8).

Вероятно, факт, изложенный в теореме Пифагора, был сначала установлен для равнобедренных прямоугольных треугольников. Квадрат, построенный на гипотенузе, содержит четыре треугольника. А на каждом катете построен квадрат, содержащий два треугольника. Из рисунка видно, что площадь квадрата, построенного на гипотенузе равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах.

А вот и "Пифагоровы штаны во все стороны равны"

Такие стишки придумывали учащиеся средних веков при изучении теоремы, рисовали шаржи. Вот, например, такие.

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах она встречается за 1200 лет до Пифагора. По-видимому, он первым нашёл её доказательство. Сохранилось древнее предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже сто быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он "запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы". В связи с этим более правдоподобной можно считать следующую запись: "… когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста".

На протяжении последующих веков были найдены другие доказательства теоремы Пифагора. В настоящее время их насчитывается более ста. Большинство способов её доказательства сводятся к разбиению квадратов на более мелкие части.

Вот опорный конспект одного из способов доказательства теоремы.

Вспомнив этот рисунок, можно вспомнить дополнительное построение и начало доказательства теоремы.

Теорема Пифагора – одна из главных теорем геометрии, потому что с её помощью можно доказать много других теорем и решить множество задач.

Особенностью теоремы Пифагора является то, что она неочевидна. Например, свойства равнобедренного треугольника можно увидеть непосредственно на чертеже. Но сколько ни смотри на прямоугольный треугольник, никак не увидишь, что его стороны находятся в соотношении
с² = а² + b².

Значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач.

Популярность теоремы столь велика, что её доказательства встречаются даже в художественной литературе, например в рассказе известного английского писателя Хаксли "Юный Архимед". Такое же доказательство, но для частного случая равнобедренного прямоугольного треугольника приводится в диалоге Платона "Менон". Этой теореме даже посвящены стихи.

О  т е о р е м е  П и ф а г о р а

(Отрывок из стихотворения А. Шамиссо)

Канарейкина С. Е. Мой лучший урок. Приложение 3.

Теорема Пифагора.

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Дано: Доказательство:

_ АВС – прямоугольный 1. Рассмотрим __________________треугольник АВС

_ С – прямой с катетами ___ и ___ и гипотенузой ___.

а и b – катеты 2. Достроим его до квадрата со стороной ( а + b ).

с – гипотенуза b а

Доказать: b

с² = а² + b² а с с b

с

с с а

b с с

а b

3. Найдём площадь этого квадрата: S = ( а + b )² = ___ + 2аb + ___.

4. Построенный квадрат состоит из ___ прямоугольных треугольников с катетами ___

и ___ и гипотенузой ___ и квадрата со стороной ___. Причём эти треугольники

равны по _____ _________.

5. Площадь каждого из треугольников равна _ • __ • __, площадь квадрата равна

___² _ S = 4• _ • а • b + с².

6. Таким образом ( а + b )² = 2аb + с² ⇒ ___ + 2аb + ___ = 2аb + с² ⇒

___ + 2аb + ___ - 2аb= с² ⇒ а² + b² = с², что и требовалось доказать.

Канарейкина С. Е. Мой лучший урок. Приложение 4.

Решение задач.

А №1. Решение:

3 см ? Рассмотрим прямоугольный

треугольник АВС.

С 4 см В По теореме Пифагора с² = а² + b²

с² = 4² + 3²

с² = 16 + 9

с² = 25

Ответ: АВ = 5 см. с = 5

Канарейкина С. Е. Мой лучший урок. Приложение 5.

Решение задач.

№4.

Решение: А 8 см С

Рассмотрим прямоугольный

треугольник АВС. 10 см ?

По теореме Пифагора

с² = а² + b² ⇒ а² = с² – а² В

а² = 10² - 8²

а² = 100 – 64

а² = 36

а = 6 Ответ: ВС = 6 см.

Канарейкина С. Е. Мой лучший урок. Приложение 6.

ИСТОРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

Задача индийского математика
XII века Бхаскары

Задача из китайской
"Математики в девяти книгах"

    "Имеется водоем со стороной в 1 чжан = 10 чи. В центре его растет камыш, который выступает над водой на 1 чи. Если потянуть камыш к берегу, то он как раз коснётся его.

    Спрашивается: какова глубина воды и какова длина камыша?"

Задача из учебника "Арифметика"
Леонтия Магницкого

    "Случися некому человеку к стене лестницу прибрати, стены же тоя высота есть 117 стоп. И обреете лестницу долготью 125 стоп.И ведати хочет, колико стоп сея лестницы нижний конец от стены отстояти имать."

Современная задача

Для крепления мачты нужно установить 4 троса. Один конец каждого троса должен крепиться на высоте 12 м, другой на земле на расстоянии 5 м от мачты. Хватит ли 50 м троса для крепления мачты?

ПИФАГОР

Суть истины вся в том, что нам она – навечно, Когда хоть раз в прозрении её увидим свет, И теорема Пифагора через столько лет Для нас. Как для него, бесспорна, безупречна …