Творческий проект "Современный урок математики, ориентированный на повышение качества знаний учащихся"

Творческий проект учителей математического цикла на тему :

«Современный урок математики ,

ориентированный на повышение качества знаний учащихся»

Выполнила: Жук Т.В

Цели :

Познакомить с основными понятиями , тремя самыми главными аксиомами и следствиями из них.

Обеспечить высокое качество знаний учащихся по теме .

Задачи :

Создать условия для усвоения основных понятий , аксиом , теорем.

Сформировать умение работать с текстом учебника , таблицами , находить примеры на предметах окружающего мира , умение мыслить пространственно.

Содействовать развитию навыка самостоятельной работы учащихся посредством вовлечения их в исследовательскую деятельность (анализировать , наблюдать , делать выводы.)

Активизировать интерес к изучаемому материалу , используя практико-ориентированные задачи.

Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Аксиомы стереометрии

«Старайтесь , прежде чем приступить к выполнению любого задания на уроке или дома , чётко определить вид своей деятельности»

«планиметрия»  – наименование смешанного происхождения: от греч. metreo  – измерять и лат. planum  – плоская поверхность (плоскость)

ПЛАНИМЕТРИЯ

7-9 классы

ГЕОМЕТРИЯ на плоскости

Школьный курс ГЕОМЕТРИИ

СТЕРЕОМЕТРИЯ

10-11 классы

ГЕОМЕТРИЯ в пространстве

«стереометрия»  – от греч. stereos  – пространственный ( stereon  – объем ).

4

Т

m

М

Основные понятия стереометрии

А

С

Р

К

 = ( РКС)



| PK |

A   , KC   , P   , | PK | = 2 см

5

Аксиомы стереометрии

Слово аксиома греческого происхождения и в переводе означает истинное, исходное положение теории

Система аксиом стереометрии дает описание свойств пространства и основных его элементов

Понятия точка прямая плоскость расстояние принимаются без определений: их описание и свойства содержатся в аксиомах

5

А-1

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой проходит плоскость, и притом только одна

Р

С

К



 = ( РКС)

7

С

М

m

А-2

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.



М, C  

m  

М, C  m ,

Если

то

m

А-3

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

М   , М   , М  m



М

m   , m  



   = m

m

СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

Т-1

Через любую прямую и не принадлежащую ей точку можно провести плоскость, и притом только одну.

Дано : М  m

В

А

Доказательство

м

Пусть точки A , B  m .



• Так как М  m , то точки А , В и M не принадлежат одной прямой. По А-1 через точки А , В и M проходит только одна плоскость — плоскость ( ABM ) , Обозначим её  . Прямая m имеет с ней две общие точки — точки A и B , следовательно, по аксиоме А-2 эта прямая лежит в плоскости  .. Таким образом, плоскость  проходит через прямую m и точку M и является искомой .
• Докажем, что другой плоскости, проходящей через прямую m и точку M , не существует . Предположим, что есть другая плоскость —  , проходящая через прямую m и точку M . Тогда плоскости  и  проходят через точки А , В и M , не принадлежащие одной прямой , а значит, совпадают. Следовательно, плоскость  единственна .
• Теорема доказана

к

m

СЛЕДСТВИЕ ИЗ Т-1

Через две ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

В

А

м



m

СЛЕДСТВИЯ ИЗ АКСИОМ

Т-2

Через любые две пересекающиеся прямые можно провести плоскость, и притом только одну.

Дано : m  n = M

n

Доказательство



м

Отметим на прямой m произвольную точку N , отличную от М.

N

• Рассмотрим плоскость  =( n, N). Так как M   и N   , то по А-2 m   . Значит обе прямые m , n лежат в плоскости  и следовательно  , является искомой
• Докажем единственность плоскости  . Допустим, что есть другая, отличная от плоскости  и проходящая через прямые m и n , плоскость  .

Так как плоскость  проходит через прямую n и не принадлежащую ей точку N , то по T -1 она совпадает с плоскостью  . Единственность плоскости  доказана .

• Теорема доказана

14

Слайд

№ 15

Сформулируйте содержание аксиом А 1 , А 2 , А 3 , А 4

Прокомментируйте их с помощью приведенных ниже рисунков.

Чертеж

запись

формулировка

А, В, С  одной прямой

А, В, С  α

α - единственная плоскость

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

α

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости.

А, В  α , АВ  α

α

С  α , β ;

α  β = с;

С  с.

Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

Следствия из аксиом стереометрии

Чертеж

Следствие 1

формулировка

Следствие 2

Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна.

Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Как в пространстве можно однозначно задать плоскость?

• По трем точкам, не лежащим на одной прямой
• По прямой и точке, не лежащей на этой прямой
• По двум пересекающимся прямым
• По двум параллельным прямым

16

ОТВЕТЬТЕ НА ВОПРОСЫ

• Сколько существует способов задания плоскости?
• Сколько плоскостей можно провести через выделенные элементы?

Как при помощи двух нитей столяр может проверить , лежат ли концы четырёх ножек стола в одной плоскости?

?

Задача Дан тетраэдр МА BC , каждое ребро которого равно 6 см. D принадлежит МВ, Е принадлежит МС, F принадлежит АВ, AF=FB , P принадлежит МА . Дайте ответы на поставленные ниже вопросы с необходимыми обоснованиями.

• Назовите прямую, по которой пересекаются плоскости:

А) (МАВ) и ( MFC) Б) ( MCF) и (АВС)

• А) (МАВ) и ( MFC) Б) ( MCF) и (АВС)

2. Найдите длину отрезка CF и площадь треугольника АВС.

• а) Объясните, как построить точку пересечения прямой DE с плоскостью (АВС)

б) Постройте точку пересечения прямой PD с плоскостью (АВС).

Задача пересечение двух плоскостей ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб, K принадлежит DD 1 , DK=KD 1 . Дайте ответы на поставленные ниже вопросы с необходимыми обоснованиями.

1. Объясните, как построить точку пересечения прямой B 1 K с плоскостью (АВС)?

2. Объясните, как построить линию пересечения плоскостей ( AB 1 K) и (ADD 1 ) ?

3. Объясните, как построить линию пересечения плоскостей ( AB 1 K) и (AD С ) ?

4. Вычислите длины отрезков АК и АВ 1 , если А D=a.

Задача ABCD – ромб, О – точка пересечения его диагоналей, М – точка пространства, не лежащая на плоскости ромба. Точки A , D , O лежат на плоскости α . Дайте ответы на поставленные ниже вопросы с необходимыми обоснованиями.

1. Лежат ли на плоскости α точки В и С?

2. Лежит ли на плоскости (МОВ) точка D ?

3 . Назовите линию пересечения плоскостей (МОВ) и ( ADO ).

4. Вычислите площадь ромба, если сторона его равна 4 см, а угол равен 60 0 . Назовите различные способы вычисления площади ромба.

В стереометрии мы будем рассматривать ситуации, задающие различные расположения в пространстве основных фигур относительно друг друга

Определите: верно, ли суждение?

ДА

• Любые три точки лежат в одной плоскости.
• Любые четыре точки лежат в одной плоскости.
• Любые четыре точки не лежат в одной плоскости.
• Через любые три точки проходит плоскость и при том только одна.
• Если прямая пересекает 2 стороны треугольника, то она лежит в плоскости треугольника.
• Если прямая проходит через вершину треугольника, то она лежит в плоскости треугольника.
• Если прямые не пересекаются, то они параллельны.
• Если плоскости не пересекаются, то они параллельны.

НЕТ

НЕТ

НЕТ

ДА

НЕТ

НЕТ

ДА