Түзу мен жазықтықтың параллельдігі тақырыбы бойынша есеп шығару

ТҮЗУ МЕН ЖАЗЫҚТЫҚТЫҢ ПАРАЛЛЕЛЬДІГІ ТАҚЫРЫБЫ БОЙЫНША ЕСЕП ШЫҒАРУ

1-ЖАТТЫҒУ

A және B нүктелері α жазықтығында жатыр, ал C нүктесі осы жазықтықта жатқан жоқ. AC және BC кесінділерінің ортасы арқылы өтетін түзу осы α жазықтығына паралель екендігін дәлелдеңіз

Дәлелдеу

 – AC кесіндісінің ортасы,   ­– BC кесіндісінің ортасы болсын. M нүктесі α жазықтығында жатқан жоқ, себебі егер де ол осы жазықтықта жатса, онда AM түзуі де, яғни   нүктесі де α жазықтығында жататын еді, бұл шартқа қарама-қайшы.
Дәл осылайша,   нүктесі де α жазықтығында жатқан жоқ. ABC үшбұрышын қарастырайық.   – осы үшбұрыштың орта сызығы. Қасиеті бойынша MN түзуі ABтүзуіне параллель. MN түзуі   түзуіне параллель, ал AB түзуі α жазықтығында жатыр. Олай болса, MN түзуі α жазықтығына параллель. Тұжырымдама дәлелденді.

1-тұжырым

Егер жазықтық басқа жазықтыққа параллель түзу арқылы өтсе және осы жазықтықпен қиылысса, онда жазықтықтардың қиылысу түзуі берілген түзуге параллель болады.

α

β

Дәлелдеу:
α жазықтығына параллель a түзуі арқылы α жазықтығын b түзуімен қиятын β жазықтығы өтсін делік. а және b түзулері параллель екендігін дәлелдейік. 

Шынымен де, a және b түзулері бір  жазықтығында жатыр және қиылыспайды, себебі кері жағдайда a түзуі α жазықтығын қиятын еді, ал бұл мүмкін емес, себебі шарт бойынша aтүзуі α жазықтығына параллель. Олай болса, a және b түзулері параллель болады. Тұжырымдама дәлелденді.

2-тұжырым

Егер екі параллель түзулердің бірі берілген жазықтыққа параллель болса, онда екінші түзу берілген жазықтыққа параллель немесе осы жазықтықта жатады.

Дәлелдеу:
a және b параллель түзулер болсын, сонымен қатар a түзуі α жазықтығына параллель. Бұдан a түзуі α жазықтығымен қиылыспайды. Онда жазықтық пен параллель түзулердің қиылысуы туралы лемма бойынша, b түзуі де α жазықтығымен қиылыспайды. Ал бұл дегеніміз b түзуі α жазықтығына параллель (а суреті) немесе оның бойында жатыр (б суреті) дегенді білдереді. Тұжырымдама дәлелденді.

a-суреті

б-суреті

2-ЖАТТЫҒУ

Екі параллель a және b түзулері арқылы, сәйкесінше, α және β жазықтықтары өтеді. Олардың қиылысу түзуі l түзуі a және b түзулеріне параллель екендігін дәлелдеңіз.

Дәлелдеу:
Берілгені бойынша a түзуі β жазықтығында жатқан bтүзуіне параллель. Түзу мен жазықтықтың параллельдігінің белгісі бойынша, a түзуі   жазықтығына параллель.β жазықтығы α жазықтығына параллель a түзуі арқылы өтеді және β жазықтығын l түзуімен қияды. 1-тұжырымдамаға сәйкес   түзуі a түзуіне параллель.Дәл осылайша, b түзуі α жазықтығынада жатқан a түзуіне параллель. Түзу мен жазықтықтың параллельдігінің белгісі бойынша, b түзуі α жазықтығына параллель.  жазықтығы α жазықтығына параллель b түзуі арқылы өтеді және α жазықтығын l түзуінің бойымен қияды. 1-тұжырмадамаға сәйкес l түзуі b түзуіне параллель.Біз a және b түзулері l түзуіне параллель екендігін дәлелдедік.

3-ЖАТТЫҒУ

ABC үшбұрышының AC қабырғасы α жазықтығына параллель, ал AB және BCқабырғалары осы жазықтықпен M және N нүктелерінде қиылысады. ABC және MBN үшбұрыштары ұқсас екендігін дәлелдеңіз.

Дәлелдеу:
ABC үшбұрышының жазықтығы α жазықтығына параллель   түзуі арқылы өтеді және α жазықтығына   түзуімен қияды. Олай болса, 1-тұжырымдама бойынша AC түзуі MN түзуіне параллель.

ABC және MBN үшбұрыштарын қарастырайық.   түзуі MN түзуіне параллель, осы түзулер AB түзуімен қиылысады, яғни ∠BAC және   бұрыштары сәйкес бұрыштар сияқты тең.   бұрышы -  ABC және MBN үшбұрыштары үшін ортақ. ABC және MBN үшбұрыштары екі бұрышы бойынша ұқсас үшбұрыштар болады. Тұжырымдама дәлелденді.

Шешу мысалы

ABCD параллелограмының AB және BC қабырғалары α жазықтығын қияды. AD және DC түзулері де AD және DC α жазықтығын қиятындығын дәлелдеңіз.

4-ЖАТТЫҒУ

ABCD параллелограмының AB және BC қабырғалары α жазықтығын қияды. AD және DC түзулері де AD және DC α жазықтығын қиятындығын дәлелдеңіз.

5-ЖАТТЫҒУ

D нүктесі KLMN тік төртбұрышының жазықтығында жатқан жоқ. MN∥DKL екендігін дәлелдеңіз.

Дәлелдеу:
KL және   түзулері параллель, ал KL түзуі   жазықтығына тиесілі. Бұдан, түзу мен жазықтықтың параллельдігінің белгісі бойынша MN түзуі DKL жазықтығына параллель. Тұжырымдама дәлелденді.