Тема урока "Правила сложения и умножения в комбинаторики"

Тема урока « Правила сложения и умножения в комбинаторике»

Спецкурс по математике в 6 классе.

Тип урока : усвоение и закрепление новых знаний

Цели урока :

Предметные : отработка правил сложения и вычитания вероятностей ; умение выделять главное и существенное при установлении типа комбинаторных задач.

Метапредметные : умение контролировать процесс и результат учебной и математической деятельности.

Личностные : проявлять интерес к изучению темы и желание применить приобретенные знания и умения .

Организационный этап

Эпиграф урока:

«Число, место и комбинация – три взаимно перекрещивающиеся, но отличные сферы мышления, к которым можно отнести все математические идеи».

Дж. Сильвестр

.

.

ГЛ = К

Актуализация знаний

Что такое комбинаторика?

Комбинаторика – это раздел математики, посвященный решению задач на перебор различных вариантов, удовлетворяющих каким-либо условиям.

Здесь изучаются вопросы о том, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Латинское слово combinare означает «соединять, сочетать».

Из истории комбинаторики

С комбинаторными задачами люди столкнулись в глубокой древности. В Древнем Китае увлекались составлением магических квадратов. В Древней Греции занимались теорией фигурных чисел.

Комбинаторные задачи возникли и в связи с такими играми, как шашки, шахматы, домино, карты, кости и т.д. Комбинаторика становится наукой лишь в 18 в. – в период, когда возникла теория вероятности .

В каждой из этих игр приходилось рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывал тот, кто их лучше изучал, знал выигрышные комбинации и умел избегать проигрышных.

В Древней Греции

подсчитывали число различных комбинаций длинных и коротких слогов в стихотворных размерах, занимались теорией фигурных чисел, изучали фигуры, которые можно составить из частей и т.д .

Со временем появились различные игры

(нарды, карты, шашки, шахматы и т. д.)

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1.07.1646 - 14.11.1716)

Леонард Эйлер(1707-1783)

рассматривал задачи о разбиении чисел, о паросочетаниях, циклических расстановках, о построении магических и латинских квадратов, положил начало совершенно новой области исследований, выросшей впоследствии в большую и важную науку—топологию, которая изучает общие свойства пространства и фигур.

Комбинаторику, как самостоятельный раздел математики первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666г. Он также впервые ввел термин «Комбинаторика».

Для вывода формул автор использовал наиболее простые и наглядные методы, сопровождая их многочисленными таблицами и примерами. Сочинение Я. Бернулли превзошло работы его предшественников и современников систематичностью, простотой методов, строгостью изложения и в течение XVIII века пользовалось известностью не только как серьёзного научного трактата, но и как учебно-справочного издания.

Практическая деятельность по изучению

нового материала

Методы решения комбинаторных задач

• Правило суммы.

2. Правило произведения

Правило суммы

• Если пересечение конечных множеств А и В пусто, то число элементов в их объединении равно сумме чисел элементов множеств А и В :

Задача №1.

• На одной полке книжного шкафа стоит 30 различных книг, а на другой – 40 различных книг (не такие как на первой). Сколькими способами можно выбрать одну книгу.

• Решение:

30 + 40 = 70 (способами).

Правило умножения.

• Если множества А и В конечны, то число N возможных пар ( а ; в ), где а из А, в из В равно произведению чисел элементов этих множеств:

N = n (A) *n (B)

Задача № 2

Пусть существует три кандидата на пост командира и 2 на пост инженера. Сколькими способами можно сформировать экипаж корабля, состоящий из командира и инженера?

1

1

2

1

2

2

1

3

Решение:

3 * 2 = 6 (способ).

2

1. Имеется 3 вида конвертов и 4 вида марок. Сколько существует вариантов

выбора конверта с маркой?

2 .В кружке 6 учеников. Сколькими способами можно выбрать старосту

кружка и его заместителя?

3

4 . В буфете есть 4 сорта пирожков. Сколькими способами ученик может

купить себе 2 пирожка?

Проверка и закрепление освоенного

1. Сколькими способами можно записать в виде произведения простых множителей число 30?

2. Сколько диагоналей в выпуклом десятиугольнике?

3. Встретились несколько друзей и все обменялись рукопожатиями. Всего было сделано 15 рукопожатий. Сколько встретилось друзей?

4. Сколько словарей надо создать, чтобы можно было непосредственно выполнять перевод с любого из пяти языков на любой другой из этих языков?

5. Из 100 человек 85 знают английский, 80 - испанский, 75 - немецкий. Сколько человек заведомо знают все три языка?

6. Придумайте как можно больше комбинаторных задач с использованием данных объектов: Четверо друзей: Катя, Олег, Света, Андрей.

Самостоятельная работа

1 вариант.

1. Сколько можно составить четырехзначных чисел из цифр 1, 5, 8, 3, если: а) цифры в числе не повторяются;

б) цифры могут повторяться.

2. В среду в 5 «Б» классе 5 уроков: русский, информатика, естествознание, ИЗО, иностранный. Сколько можно составить вариантов расписания на день? Сколько можно составить вариантов расписания на день, зная, что информатика –первый урок?

1. Сколько можно составить трехзначных чисел из цифр 4, 9, 7, если: а) цифры в числе не повторяются;

б) цифры могут повторяться.

2. В среду в 5 «А» классе 5 уроков: русский, литература, естествознание, математика, иностранный. Сколько можно составить вариантов расписания на день? Сколько можно составить вариантов расписания на день, зная, что математика – второй урок?

Рефлексия, подведение итогов

Анкета :

• На уроке я работал - активно / пассивно
• Своей работой на уроке я - доволен / не доволен
• Урок для меня показался - коротким / длинным, полезным / бесполезным, интересен / скучен
• На уроке я - устал / не устал
• Мое настроение стало - лучше / стало хуже
• Материал урока был мне - понятен / не понятен

Домашнее задание

Придумайте, какую комбинаторную задачу может решать: повар, диспетчер автовокзала, домохозяйка, завуч школы