ТЕМА: Решение комбинаторных задач, алгебра 11 класс

Число, положение и комбинация - три взаимно пересекающиеся,

но различные сферы мысли, к которым можно отнести все математические идеи".

Английский математик Джеймс Джозеф Сильвестр (1814-1897)

План урока

Педагогический менеджмент урока по математике	КАТАЛОГ КОМПЕТЕНЦИЙ
ТЕМА: Решение комбинаторных задач		БК: Математические компетенции
Класс: 11
Преподаватель: Тикшекеева Роза Ахмоллаевна			СК: уметь применять полученные теоретические знания в повседневной жизни
Дидактическая степень/категория: I
Учебное заведение: Саумалкольская СШ №1			Операция перестановки, рассмотреть формулу для вычисления числа перестановок, ввести понятие факториала
	Карта знаний
	Информационная составляющая вид комбинаций: построения специальной схемы – дерева возможных вариантов и правила сложения. Учебник: Алгебра и начала анализа. Учебник для 11 класса. А.Е.Абылкасымова и др. Алматы «Мектеп» 2011.

Классификатор Организация
Учебное задание		Таксономия учебных задач по БЛЮМУ (уровень)		Время (мин)	Организационная форма / форма оценивания
Общее время урока:				45
1	Распознай понятия данной темы		1.11	2/	Работа в паре/взаимооценка
2.	Вспомни решение комбинаторных задач с помощью построения специальной схемы – дерева возможных вариантов (приложение 1) и правила умножения. Задание 1. Антон, Борис и Василий купили три билета на 1-е, 2-е и 3-е места первого ряда на футбольный матч. Сколькими способами они могут занять имеющиеся места?		1.11	2/	Работа в паре/взаимооценка
3	Вспомни способ решения (задание 1) с помощью правила умножения: На 1-е место может сесть любой из ____ друзей, на 2-е – любой из ____ оставшихся, а на 3-е – ____. По правилу умножения у троих ребят существует ___________ = ____ способов занять имеющиеся места.		1.21.	3/	Работа в паре/взаимооценка
4	Найди и запиши ответы, заменив буквами (смотрите на циферблат часов). (Приложение 2 ) 36 : 18 = 72 : 6 = 80 : 10 = 4,6 + 0,4 = 2,7 + 7,3 = 121 : 11 = 56 : 8 = 60 : 5 = 60 : 15 = ответ:____________________		1.21.	3/	Работа в паре/взаимооценка
5.	Прочитай (приложение 2) (справочная литература) и трансформируй понятие в тетрадь.		2.10	5/	индивидуальная /взаимооценка
6	Продолжи и вычисли…: Задание 3, (приложение 3)		2.30	3/	Работа в паре/взаимооценка
7.	Руководствуясь приложением 4 (справочная литература), заполни таблицу: Перестановки -соединения Размещения - соединения Сочетания- соединения Факториал		3	8/	Работа в паре /взаимооценка
8	Установи, сколько существует способов, чтобы рассадить четырех музыкантов из басни Крылова “Квартет” (Задание 4) «Проказница Мартышка, Осёл, Козёл, Да косолапый Мишка Затеяли играть квартет… Стой, братцы стой! – Кричит Мартышка, - погодите! Как музыке идти? Ведь вы не так сидите… И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет. Вот пуще прежнего пошли у них разборы И споры, Кому и как сидеть…». Сколькими способами можно рассадить четырех музыкантов? Решение запиши в тетрадь.		3	5/	Работа в паре/взаимооценка
9	Используя приложение 5 ( Библиографическая справка.) запиши в тетрадь: «Особая примета комбинаторных задач - вопрос, который начинался словами…».		3	3/	Работа в малой группе /взаимооценка
10	Распознай ребус. Приложение 6. Исторические сведения		4.10.	3/	индивидуальная/оценка учителя
11	Классифицируя обобщения: приложение 3, сформулируй: « В каждой из этих игр приходится рассматривать различные сочетания фигур, и выигрывает тот,…» ( кто их лучше изучает, знает выигрышные комбинации и умеет избегать проигрышных.)		5.30	4/	Работа в малой группе /оценка учителя
12	Аргументируя, что в сборнике 25 заданий по математике		6.10	4/	индивидуальная/оценка учителя

Приложение 1.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Приложение 2.

Комбинаторика – самостоятельная ветвь математической науки. Термин “КОМБИНАТОРИКА” происходит от латинского слова “combina”, что в переводе на русский означает – “сочетать”, “соединять”.

Как трактует это слово Большой Энциклопедический Словарь?

Комбинаторика – это раздел математики, в котором изучаются простейшие “соединения”: перестановки, размещения, сочетания. Этот раздел иначе называют “комбинаторный анализ”.

Сегодня мы будем рассматривать перестановки, размещения, сочетания, как соединения, как комбинаторные конфигурации.

Разделы комбинаторики: перечислительная, структурная, вероятностная, топологическая .

Давайте вспомним известное вам из детства сказание о том, как богатырь или другой добрый молодец, доехав до развилки трех дорог, читает на камне: “Вперед поедешь – голову сложишь, направо поедешь – коня потеряешь, налево поедешь – меча лишишься”. А дальше уже говорится, как он выходит из того положения, в которое попал в результате выбора. Но выбирать разные пути или варианты приходится и современному человеку. Эти пути и варианты складываются в самые разнообразные комбинации. И целый раздел математики, именуемый КОМБИНАТОРИКОЙ, занят поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую.

Итак, комбинаторика – раздел математики, в котором изучается, сколько различных комбинаций, подчиненных тем или иным условиям, можно составить из заданных объектов.

Определение. Для сокращения записи произведения первых n натуральных чисел в математике используется символ n! (читается как “эн факториал”), т.е. n!=1∙2∙3∙…∙(n-1)∙n (записать формулу в тетрадь).

Задачей комбинаторики можно считать задачу размещения объектов по специальным правилам и нахождение числа способов таких размещений.

Перестановки-соединения, которые можно составить из n предметов, меняя всеми возможными способами их порядок; число их Количество всех перестановок из n элементов обозначают

Число n при этом называется порядком перестановки.

Произведение всех натуральных чисел от n до единицы, обозначают символом n! (Читается “эн - факториал”). Используя знак факториала, можно, например, записать:

1! = 1,

2! = 2•1 = 2,

3! = 3 •2 •1 = 6,

4! = 4 •3 •2 •1 = 24,

5! = 5 •4 •3 •2 •1 = 120.

Необходимо знать, что 0!=1, 1!=1 .

------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Приложение 3.

Вычислите (устно, работа в парах):

а) 4! = 1•2•3•4 = ______;

б) 5! = 1•2•3•___________ = __________-;

в) 4! + 5! = 1•2•3•4 + 1•2•3•4•5 =___+___ = _____;

г) 5•4! =5•________ = ______

(письменно): д) 4! •5! = __________________= _____________ =_____________;

Е);

ж)

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Приложение 4.

Термин “перестановки” употребил впервые Якоб Бернулли в книге “Искусство предположений”.

Перестановками называют комбинации, состоящие из одних и тех же п различных элементов и отличающиеся только порядком их расположения. Число всех возможных перестановок обозначается Р_n и оно равно n!, т.е. Р_n = n!, где n ! = 1∙2∙3∙…∙n

Примеры решения задач:

Задача №1. Сколькими способами 7 книг разных авторов можно расставить на полке в один ряд?

Решение: Р₇ = 7!, где 7! = 1∙2∙3∙4∙5∙6∙7 =5040, значит существует 5040 способов осуществить расстановку книг. Ответ: 5040 способов.

-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Размещения – соединения, содержащие по m предметов из числа n данных, различающихся либо порядком предметов, либо самими предметами; число их.

В комбинаторике размещением называется расположение “предметов” на некоторых “местах” при условии, что каждое место занято в точности одним предметом и все предметы различны.

В отличие от сочетаний размещения учитывают порядок следования предметов. Так, например, наборы и являются различными, хотя состоят из одних и тех же элементов {1,2,3} (то есть, совпадают как сочетания).

Термин “Размещение” употребил впервые Якоб Бернулли в книге “Искусство предположений”.

Примеры решения задач:

Задача № 3. Сколько можно составить телефонных номеров из 6 цифр каждый, так чтобы все цифры были различны? Это пример задачи на размещение без повторений.

Размещаются здесь десять цифр по 6. Значит, ответ на выше поставленную задачу будет: Ответ:151200 способов

Задача № 4. В 9 классе обучается 24 учащихся.. Сколькими способами можно составить график дежурства по классу, если группа дежурных состоит из трех учащихся?

Решение: число способов равно числу размещений из 24 элементов по 3, т.е. равно А³₂₄. По формуле находим

Ответ: 12144 способа

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Сочетания-соединения, содержащие по m предметов из n, различающиеся друг от друга, по крайней мере, одним предметом; число их .

Таким образом, количество вариантов при сочетании будет меньше количества размещений.

В комбинаторике сочетанием из n по m называется набор m элементов, выбранных из данных n элементов. Наборы, отличающиеся только порядком следования элементов (но не составом), считаются одинаковыми, этим сочетания отличаются от размещений.

Термин “сочетание” впервые встречается у Блеза Паскаля в 1665 году.

Примеры решения задач:

Задача №5. Сколько трехкнопочных комбинаций существует на кодовом замке (все три кнопки нажимаются одновременно), если на нем всего 10 цифр?

Решение: Так как кнопки нажимаются одновременно, то выбор этих кнопок – сочетание. Отсюда возможно

Ответ: 120 вариантов.

Задача № 6. Сколько экзаменационных комиссий, состоящих из 3 членов, можно образовать из 10 преподавателей?

Решение: По формуле находим:

комиссий

Ответ: 120 комиссий.

Игра Шахматы: Выдающиеся шахматисты Клод Шеннон и Михаил Ботвинник внесли огромный вклад в создание математической модели шахматной игры и способствовали прогрессу в интеллектуализации программ для нее.

Компьютерные шахматы — едва ли не самый убедительный пример за полвека развития информационных технологий, когда именно в интеллектуальной деятельности автомат успешно соперничает с человеком.

Игра Кубик Рубика: Необыкновенно популярной головоломкой стал кубик Рубика, изобретенный в 1975 году преподавателем архитектуры из Будапешта Эрне Рубиком для развития пространственного воображения у студентов.

Лучшее время, показанное на чемпионате мира 1982 г. по скоростной сборке кубика Рубика, составило всего 22,95 секунды.

Кубик Рубика служит не только развлечением, но и прекрасным наглядным пособием по комбинаторике.

Приложение 5. Библиографическая справка. Общее у всех этих задач то, что их решением занимается отдельная область математики, называемая комбинаторикой. “Особая примета” комбинаторных задач – вопрос, который всегда можно сформулировать так, чтобы он начинался словами: “Сколькими способами…?”.

___________________________________________________________________________________

Приложение 6. Исторические сведения

Комбинаторика как наука стала развиваться в XIII в. параллельно с возникновением теории вероятностей.

Первые научные исследования по этой теме принадлежат итальянским ученым Дж. Кардано, Н. Чарталье (1499-1557), Г. Галилею (1564-1642) и французским ученым Б.Пискамо (1623-1662) и П. Ферма.

Комбинаторику, как самостоятельный раздел математики, первым стал рассматривать немецкий ученый Г. Лейбниц в своей работе «Об искусстве комбинаторики», опубликованной в 1666г. Он также впервые ввел термин «Комбинаторика».

В 1970-1980 гг. комбинаторика добилась новых успехов. В частности, с помощью ЭВМ решена проблема четырех красок: доказано, что любую карту можно раскрасить в четыре цвета так, чтобы никакие две страны, имеющие общую границу, не были окрашены в один и тот же цвет.

Решение задач на умножение возможностей:

а) Проказница Мартышка, Осел, Козел, Да косолапый Мишка Затеяли играть квартет …

Стой, братцы стой! –

Кричит Мартышка, - погодите!

Как музыке идти?

Ведь вы не так сидите…

И так, и этак пересаживались – опять музыка на лад не идет.

Тут пуще прежнего пошли у них раздоры

И споры,

Кому и как сидеть…

Вероятно, крыловские музыканты так и не перепробовали всех возможных мест. Однако способов не так уж и много. Сколько?

Решение: Всего 4 места и 4 музыканта. На первое место - 4 способа посадки музыкантов, на второе место - 3,

На третье место - 2 и на четвертое - 1, то есть 4*2*3*1=24 способа

Педагогический менеджмент урока по математике	КАТАЛОГ КОМПЕТЕНЦИЙ
ТЕМА:Пирамида		БК: Математические компетенции
Класс: 11
Преподаватель: Тикшекеева Роза Ахмоллаевна			СК: уметь применять полученные теоретические знания в повседневной жизни
Дидактическая степень/категория: I
Учебное заведение: Саумалкольская СШ №1			Операция Определение пирамиды как нового вида многогранника, площади поверхностей пирамиды с четким выделением существенных свойств вводимых понятий.
	Карта знаний
	Информационная составляющая Работа с текстом, формула площади поверхностей пирамиды Учебник: Геометрия. Учебник для 11 классов естественно-математического направления общеобразовательных школ. В.Гусев, Ж. Кайдосов. А. Кагазбаева, Алматы «Мектеп» 2011.

Классификатор						Организатор
№	Учебное задание		Таксономия учебных задач по БЛЮМУ (уровень)		Время (мин.)	Организационная форма
Общее время урока					45
1		Усвой способ получения пирамиды, основные элементы и запиши в тетрадь, учебный материал стр 17		1.10	4	Работа в паре
2		Прочитай учебный материал на стр. 17-18, и представь выводы в виде таблицы, запиши в тетрадь		2.10	4	Индивидуальная
3		Установи свойства усеченной пирамиды, вывод запиши в тетрадь		2.20	5	Индивидуальная
4		Установи связь площади поверхностей пирамиды и выдели существенные свойств, запиши в тетрадь (стр. 19-20)		3	4	Работа в малой группе
5		Используй пример решения задач на стр. 21 составь алгоритм решения задач.		3	8	Индивидуальная
6		Используй полученные знания для решения в тетради задачи № 7, 9, 11 на стр. 23		3	8	Работа в паре
7		Констатируя свойства усеченной пирамиды, запиши в тетрадь решение задания № 13, 14 на стр.23		4.20	4	Работа в паре
8		Предложи и запиши в тетрадь практическое применение свойств пирамид		5.10	4	Индивидуальная
9		Аргументируй полезность пирамид в современном обществе, выводы запиши в тетрадь		6.20	4	Индивидуальная