Составление квадратного трехчлена по его корням

Класс: 8 «Б» Предмет: Алгебра Дата: _______

Урок № 64 Тема: «Составление квадратного трехчлена по его корням»

Цели урока: научить составлять квадратный трехчлена по его корням.

Задачи урока:

Обучающая: повторить понятие квадратного трехчлена и его корней; формировать умение составлять квадратный трехчлена по его корням.

Развивающая: развитие логического мышления, познавательных интересов.

Воспитательная: воспитание организованности, дисциплинированности, аккуратности, усидчивости.

Тип урока: урок изучения нового материала и первичного закрепления

Методы и приемы: словесный, наглядный, практический.

Материально-техническое обеспечение: дидактический материал.

План урока:

1. Организационный момент

2. Актуализация знаний

3. Первичное усвоение новой учебной информации

4. Осознание и осмысление

5. Закрепление

6. Информация о домашнем задании

7. Подведение итогов урока

Ход урока

І. Организационный момент

ІІ. Актуализация знаний

ІІІ. Первичное усвоение новой учебной информации

§  54 . Разложение  квадратного   трехчлена  на линейные множители

В этом параграфе мы рассмотрим следующий вопрос: в каком случае  квадратный  трехчлен  ax²  + bx + c можно представить в   виде   произведения

(a₁x + b₁) (a₂x + b₂)

двух линейных  относительно х множителей  с действительными коэффициентами     a₁, b₁, a₂, b₂     (a₁ =/=0, a₂ =/=0) ?

1.  Предположим, что данный  квадратный   трехчлен  ax²  + bx + c  представим в виде

ax²  + bx + c  = (a₁x + b₁) (a₂x + b₂).                   (1)

Правая часть формулы (1) обращается в нуль при  х =  —  b₁/ a₁ и х = —  b₂/ a₂  (a₁иa₂ по условию не равны нулю). Но в таком случае числа  —  b₁/ a₁ и  —  b₂/ a₂  являются корнями уравнения

ax²  + bx + c = 0.

Следовательно, дискриминант  квадратного   трехчлена  ax²  + bx + c должен быть неотрицательным.

2.  Обратно,   предположим,   что   дискриминант  D = b² — 4ас квадратного трехчлена ax²  + bx + c  неотрицателен.  Тогда этот  трехчлен  имеет действительные корни x₁ и x₂. Используя теорему Виета,  получаем:

ax²  + bx + c  = а (x² + ^b/_a х + ^c/_a) = а [x² — (x₁ + x₂) х + x₁x₂] =

= а [(x²— x₁x ) — (x₂x — x₁x₂)] = а [х (х — x₁) — x₂(х — x₁) =

= a(х — x₁)(х — x₂).

Итак,

ax²  + bx + c = a(х — x₁)(х — x₂),                 (2)

где x₁ и x₂ — корни  трехчлена  ax²  + bx + c. Коэффициент а можно отнести к любому из двух линейных множителей,  например,

a(х — x₁)(х — x₂) = (aх — ax₁)(х — x₂).

Но это означает, что в рассматриваемом случае  квадратный   трехчлен  ax²  + bx + c представим в виде произведения двух линейных множителей с действительными коэффициентами.

Объединяя результаты, полученные в пунктах 1 и 2, мы приходим к следующей теореме.

Теорема.  Квадратный   трехчлен  ax²  + bx + c тогда и тoлько тогда можно представить в виде произведения двух линейных множителей с действительными коэффициентами,

ax²  + bx + c = (aх — ax₁)(х — x₂),

когда дискриминант этого  квадратного   трехчлена  неотрицателен (то есть когда этот  трехчлен  имеет действительные корни).

Пример 1.   Разложить на линейные множители 6x² — х —1.

Корни этого  квадратного   трехчлена  равны x₁ = ¹/₂  и x₂ = — ¹/₃.

Поэтому по формуле (2)

6x² — х —1 = 6 (х — ¹/₂)(х + ¹/₃) = (2х — 1) (3x + 1).

Пример 2.  Разложить на линейные множители x² + х + 1. Дискриминант    этого     квадратного      трехчлена     отрицателен:

D = 1² — 4•1•1 = — 3

Поэтому данный   квадратный   трехчлен   на линейные множители с действительными  коэффициентами   не раскладывается.

Упражнения

Разложить   на   линейные   множители   следующие  выражения (№ 403 — 406):

403. 6x² — 7х + 2.                  405. x² — х + 1.

404.   2x² — 7ах + 6а².             406. x² — 3ах + 2а² — аb— b².

Предположим, что нам нужно  составить  квадратное уравнение, корнями которого были бы числа x₁ и x₂. Очевидно, что в качестве искомого уравнения можно выбрать уравнение

a(х — x₁)(х — x₂) = 0,                      (1)

где а — любое отличное от нуля действительное число. С другой стороны, как было показано в § 54, каждое квадратное уравнение с корнями x₁ и x₂ можно записать в виде (1).

Таким образом, формула (1) полностью решает поставленную выше задачу. Из всех квадратных уравнений корни x₁ и x₂ имеют уравнения вида (1) и только, они.

ІV.Осознание и осмысление

Пример. Составить квадратное уравнение, корни которого равны  1  и — 2.

Ответ.   Корни 1 и —2 имеют все квадратные уравнения вида

а(х — 1)(х + 2) = 0,

или

ах² + ах — 2а = 0,

где а — любое отличное от нуля действительное число. Например,   при   а = 1   получается   уравнение

х² + х — 2 = 0.

V. Закрепление

Упражнения

1.  Составить квадратное уравнение, корнями которого были бы  числа:

а) 2 и — 3;    б) — 1 и — 5;      в) ¹/₄ и ¹/₆;    г) — ¹/₂ и — ¹/₃ .

2.  Составить квадратное уравнение с целыми коэффициентами так, чтобы его корни были равны:

а) — ¹/₅   и  ²/₃;    б) ⁴/₇  и 5;    в) — ³/₂  и  ²/₉;    г) — ³/₁₀  и — ²/₅.

3.   Составить квадратное уравнение с целыми  коэффициентами, корни которого равны ⁵/₇ и — ¹/₂, а сумма всех коэффициентов равна 36.

Решение: (х-5/7)(х-1/2)=0 х²-17/14х+5/14=0 14х²-17х+5=0 14+17+5=36

4.  Могут ли  корнями  квадратного уравнения с натуральными коэффициентами   быть  числа ⁶/₅ и — ¹/₇?

Решение: (х-6/5)(х+1/7)=0 35х²-37х-6=0 (да)

5.  Составить квадратное уравнение с целыми  коэффициентами, если известно, что один из его корней равен:

а) 2 + √3 ;       б) 3 —√2 

в) √3-5

Решение

Второй корень будет сопряжён первому, т. е. x₁ = √3−5; x₂ = −√3−5.
Ищем квадратное уравнение в виде x² + ax + b = 0,
тогда по теореме Виета a = −(x1+x2) = −2•(−5) = 10, b = x1•x2 = (−5)²−(√3)² = 22.
ОТВЕТ: x²+10x+22 = 0.

Решить №3,№5 на стр.97-98 проверь себя, дополнительно №242 (1,2).

VI.Информация о домашнем задании

№228, №234+ Повторить пройденную тему§12.

VII.Подведение итогов урока

Давайте теперь подведем итоги урока :

Учитель благодарит за урок и объявляет оценки.