Составление математической модели при решении финансовых задач

Составление математической модели при решение финансовых задач.

В последние годы хорошим шансом стала возможность получить 3 балла за решение 17 задачи профильного экзамена по математике. Выпускники к моменту сдачи экзамена народ весьма образованный, хорошо владеющие процентами, знающие сумму арифметической и геометрической прогрессий. Задачи финансовой математики можно решать даже с 9 класса, т.к. уже в 9 классе есть база необходимых знаний. Правда есть вечная проблема недостаточного количества времени. При наличии элективных курсов, факультативных занятий к решению финансовых задач необходимо приступать в 10 классе. Одним из важнейших моментов является составление математической модели, т.к. применение готовых формул на экзамене не приветствуется.

Хорошей формой работы является проектная работа учащихся. Работая над которой, ученик тщательно изучает материал, делает свои открытия.Предлагаю вашему вниманию работу ученика 10 класса. В которой как раз и показано составление математической модели и решение 17 задачи.

1 марта 2010 года Аркадий взял в банке кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 1 марта каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 10%), затем Аркадий переводит в банк платеж. Весь долг Аркадий выплатил за 3 платежа, причем второй платеж оказался в два раза больше первого, а третий – в три раза больше первого. Сколько рублей взял в кредит Аркадий, если за три года он выплатил банку 2 395 800 рублей?

Решение.

1. Создание математической модели.

Пусть сумма кредита А рублей. Тогда по истечении первого года банк начислит 10% и сумма долга станет

А+ 0,1А= А(1+0,1)=1,1А

Аркадий выплатил некоторую сумму Х рублей. Его долг банку составит

1,1А- Х.

За второй год сумма долга станет

(1,1А- Х)×1,1

Аркадий выплатил по условию задачи в 2 раза больше, т.е. 2Х, следовательно сумма его долга перед банком останется

(1,1А- Х)×1,1- 2Х.

За третий год долг будет

((1,1А- Х)×1,1- 2Х) ×1,1

Аркадий выплатил в три раза больше, чм в первый раз, т.е. 3 Х. Так как после этого долг погашен получаем

((1,1А- Х)×1,1- 2Х) ×1,1 -3 Х=0.

Математическая модель готова.

Сумма всех выплат

Х+2 Х+3 Х=2 395 800.

Следовательно Х=399 300руб.

Осталось найти сумму вклада. Имеем уравнение:

((1,1А- Х)×1,1- 2Х) ×1,1 -3 Х=0.

Раскроем скобки:

1,1³×А-1,1²× Х-2,2 Х-3 Х=0

1,331А-1,21 Х-2,2 Х-3 Х=0

1,331А=6,41 Х Х мы уже нашли

А=6,41×399 300:1,331

А=1 923 000.

Ответ. Сумма кредита 1 923 000.

Задача решена. Математическая модель построена и это очень важно для получения 3 баллов за решение задачи. Решение доведено до конца, получен обоснованный верный ответ.