Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера

Практическая работа № 2

Тема: Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Цель: научиться решать системы линейных уравнений по формулам Крамера.

Материальное обеспечение: практическая работа.

Общие теоретические положения

Определители впервые были введены для решения системы уравнений первой степени. В 1750г. швейцарский математик Г. Крамер дал общие формулы, выражающие неизвестные через определители, составленные из коэффициентов системы.

Рассмотрим систему трех уравнений первой степени с тремя неизвестными



^{a1 x  b1 y  c1 z  h1,}

x, y, z :

a

_{ 2} x  b₂

^a x  b

y  c y  c

₂ z  h₂ ,  1 

z  h

 3 3 3 3

(коэффициенты заданными).

a₁ , a₂ , a₃ , b₁ , b₂ , b₃ , c₁ , c₂ , c₃

и свободные члены

h₁ , h₂ , h₃

считаются

Тройка чисел

x₀ , y₀ , z₀

называется решением системы  1 , если в результате

подстановки этих чисел вместо

x, y, z все три уравнения  1  обращаются в тождество.

В дальнейшем основную роль будут играть следующие четыре определителя:

a₁

  a₂

a₃

b₁ c₁

b₂ c₂ ,

b₃ c₃

h₁

 _x  h₂

h₃

b₁ c₁

b₂ c₂ ,

b₃ c₃

a₁

 _y  a₂

a₃

h₁ c₁

h₂ c₂ ,

h₃ c₃

a₁

 _z  a₂

a₃

b₁ h₁

b₂ h₂

b₃ h₃

Определитель  называется определителем системы  1 . Определители

 _x ,

^{ y} ,  _z

получаются из определителя системы  заменой свободными членами элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов.

Возможны три случая:

1. Если определитель  системы  1  отличен от нуля (   0 ), то существует, и притом единственное, решение этой системы и оно выражается формулами

x  ^x ,



y  ^y ,



z  ^z



(формулы Крамера)  2 

1. Если определитель  системы  1 

равен нулю (   0 ) и хотя бы один из

определителей  _x , ^{ y} ,  _z отличен от нуля, то система не имеет решения (несовместна).

1. Если

  0 и

^{x   y  z  0} , то система  1 

либо совсем не имеет

решений, либо если система  1 

имеет хотя бы одно решение, то она имеет

бесконечно много решений. В этом случае, одно из трех уравнений является следствием двух других. Система сводится к двум уравнениям с тремя неизвестными и имеет бесчисленное множество решений.

Задание к работе:

ВАРИАНТ 1.

Решить системы:

ВАРИАНТ 2.

Решить системы:

ВАРИАНТ 3.

Решить системы:

ВАРИАНТ 4.

Решить системы:

ВАРИАНТ 5.

Решить системы:

ВАРИАНТ 6.

Решить системы:

ВАРИАНТ 7.

Решить системы:

ВАРИАНТ 8.

Решить системы:

Порядок выполнения работы:

1. Изучить инструкцию к практической работе.

2. Выполнить задание.

3. Оформить отчет.

Вопросы для самоконтроля:

1. Любую систему уравнений можно решить правилом Крамара?

2. Как проверить правильность решения системы?