Решение СЛУ по формулам Крамера

ПрактическАЯ РАБОТА

Тема: Решение систем линейных уравнений методом Крамера

Цели:

• познакомиться с понятием определителя второго и третьего порядков

• познакомиться с формулами Крамера для решения систем линейных уравнений

• научиться применять формулы Крамера для решения систем линейных уравнений второго и третьего порядков

Оснащение занятия: конспект лекций.

Критерии оценок

оценка «5» ставится за верное выполнение всех заданий работы

оценка «4» ставится за верное выполнение любых двухзаданий работы

оценка «3» ставится за верное выполнение любого задания работы

Порядок выполнения работы

Задание 1.

- Ознакомиться с лекцией № 21

- Записать в тетрадь разобранные примеры по вычислению определителей второго и третьего порядков и примеры на решение систем линейных уравнений

Лекция 21.

Тема «Решение систем линейных уравнений по формулам Крамера»

Определители второго и третьего порядков. Определителем второго порядка называется число, определяемое равенством

= а₁₁а₂₂ – а₂₁а₁₂

Числа а₁₁, а₁₂, а₂₁, а₂₂ называются элементами определителя; при этом элементы а₁₁ и а₂₂ образуют главную диагональ, а элементы а₁₂ и а₂₁-побочную диагональ. Таким образом, определитель второго порядка равен произведению элементов главной диагонали минус произведение элементов побочной диагонали.

Определителем третьего порядка называется число, определяемое

Равенством

=а₁₁а₂₂а₃₃ + а₁₂а₂₃а₃₁ + а₁₃а₂₁а₃₂ – а₁₃а₂₂а₃₁ – а₁₁а₂₃а₃₂ – а₁₂а₂₁а₃₃

Таким образом, каждый член определителя третьего порядка представляет собой произведение трех его элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца. Эти произведения берутся с определенными знаками: со знаком «плюс» - три члена, состоящие из элементов главной диагонали и из элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали; со знаком «минус» - три члена, расположенные аналогичным образом относительно побочной диагонали.

Алгоритм решения систем линейных уравнений по формулам Крамера.

Габриель Крамер (1704–1752) швейцарский математик.

Данный метод применим только в случае систем линейных уравнений, где число переменных совпадает с числом уравнений. Кроме того, необходимо ввести ограничения на коэффициенты системы. Необходимо, чтобы все уравнения были линейно независимы, то есть ни одно уравнение не являлось бы линейной комбинацией остальных. Для этого необходимо, чтобы определитель матрицы системы не равнялся , .

Действительно, если какое-либо уравнение системы есть линейная комбинация остальных, то если к элементам какой-либо строки прибавить элементы другой, умноженные на какое-либо число, с помощью линейных преобразований можно получить нулевую строку. Определитель в этом случае будет равен нулю.

 Система из двух уравнений с двумя неизвестными

 решается с помощью формул Крамера:

 , ,

 где  и , .

 При решении системы возможны три случая:

1. Определитель системы . Тогда система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера.

2. Определитель системы . Если при этом хотя бы один из определителей и  не равен нулю, то система не имеет решений.

3. Если ,  и , то одно из уравнений есть следствие другого, система сводится к одному уравнению с двумя неизвестными и имеет бесчисленное множество решений.

 Пример. Решить систему уравнений .

Решение. Вычислим определитель системы , и дополнительные определители , 

 Система имеет единственное решение

 , 

 Ответ: .

Пример. Решить систему уравнений .

Решение. Вычислим определитель системы , и дополнитель­ные определители , . Коэффициенты уравнений системы пропорциональны, а свободные члены не подчинены той же пропорции. Система не имеет решений.

Ответ: нет решений.

Пример. Решить систему уравнений 

Решение. Вычислим определитель системы , и дополнительные определители  .

Так как , то одно уравнение есть следствие другого (второе уравнение получено из первого умножением на ).

Система сводится к одному уравнению и имеет бесчисленное множество решений, каждое из которых вычисляется по формуле: , где числовые значения  задаются произвольно и вычисляются соответствующие значения .

Ответ:  – общее решение данной системы, а решения  – частные.

 Система из двух уравнений с тремя неизвестными

 Из основной матрицы  при помощи поочередного вычеркивания столбцов получаем определители

 , , .

 Дополнительные определители , .

Возможны три случая:

1. Если из трех определителей

 , , 

 хотя бы один не равен нулю, то система имеет бесчисленное множество решений, причем одному неизвестному можно дать любое значение. Пусть, например, отличен от нуля , тогда неизвестному  можно придать любое значение (если , то , если , то ), а исходную систему переписать в виде, . Отсюда неизвестные  определяются по формулам Крамера.

2. Все определители   , но один из определителей, , ,  не равен нулю. В этом случае система несовместна, то есть не имеет решений.

3. Все выписанные определители равны нулю. Система имеет бесчисленное множество решений.

Пример. Решить систему уравнений 

 Решение. Основная матрица системы  . Вычислим определители  ,  , , система имеет бесчисленное множество решений.

Любое значение можно придать одному из неизвестных , так как  и . Неизвестному  придать любое значение нельзя, так как .

Решим систему относительно  . Вычислим определитель системы  . Вычислим

 и 

Ответ: , , – общее решение системы.

Система из трех уравнений с тремя неизвестными

 При решении системы из трех уравнений с тремя неизвестными возможны три случая:

1. Определитель системы . Система имеет единственное решение, определяемое формулами Крамера  ,

  , , где  и , 
, .

 2. Определитель системы равен нулю, . Если при этом хотя бы один из определителей , не равен нулю, то система несовместна, решений не имеет.

3. Если  и , то система имеет бесчисленное множество решений.

 Пример. Решить систему уравнений 

 Решение. Вычислим определитель системы  и дополнительные определители

 и , .

По формулам Крамера имеем, что  .

Ответ: .

Задание 1. Решите системы линейных уравнений по формулам Крамера.

Примеры для самостоятельного решения.

Контроль знаний обучающихся:

• проверить практическую работу;

Требования к оформлению практической работы:

Задание должно быть выполнено в тетради для практических работ

Работу сдать после занятия